自反子范畴 [自反子范畴]

定义

自反子范畴, 又称自反局部化 (reflective localization), 是有左伴随的全忠实函子.

性质

命题. 设 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$, 有伴随 $F\dashv G$. 如下两条件等价:

• $G$ 为全忠实函子;
• 余单位 $FG \to\mathrm{id}_{\mathcal D}$ 为同构.

对偶地, 如下两条件等价:

• $F$ 为全忠实函子;
• 单位 $\mathrm{id}_{\mathcal C}\to GF$ 为同构.

证明.

由对偶性, 只需证明第一个命题. $G$ 为全忠实函子, 当且仅当 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(-,-)\to \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(G-,G-)$ 为同构; 由伴随, 这等价于 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(-,-)\to \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FG-,-)$ 为同构. 由米田引理, 这等价于余单位 $FG \to\mathrm{id}_{\mathcal D}$ 为同构.