创生 (范畴论) [创生(范畴论)]
创生 (范畴论) [创生(范畴论)]
定义
对于指标范畴 $I$, 称函子 $F\colon \mathcal C\to \mathcal D$ 创生 $I$-极限是指:
- 若 $\mathcal C$ 中的图 $X\colon I\to\mathcal C$ 在 $\mathcal D$ 中有极限 $\operatorname{lim}FX$, 则 $X$ 有极限 $\operatorname{lim}X$ 且 $F(\operatorname{lim}X) = \operatorname{lim}FX$.
对余极限可同理定义.
例
遗忘函子
“创生” 极限主要是对遗忘函子谈论的. 一种直观为: 较复杂结构的极限可由较简单结构的极限创生或计算.
- 遗忘函子 $\mathsf{Grp} \to\mathsf{Set}$ 创生所有的极限. 这就是说, 群的极限可以用集合的极限来计算. 这件事对任何代数理论甚至任何单子都是成立的.
- 遗忘函子 $\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D) \to\mathsf{Fun}(\operatorname{Ob}\mathcal C,\mathcal D)$ 创生所有的极限. 这就是说, 函子范畴中的极限可以逐对象计算, 如果它存在的话.