反映 (范畴论) [反映(范畴论)]
反映 (范畴论) [反映(范畴论)]
定义
对于指标范畴 $I$, 称函子 $F\colon \mathcal C\to \mathcal D$ 反映 $I$-极限是指:
- 若 $\mathcal C$ 中的图 $X\colon I\to\mathcal C$ 上的锥 $\operatorname{const}L\to I$ 在 $\mathcal D$ 中被映射为极限锥 $FL=\operatorname{lim}FX$, 则这个锥本身是极限锥, $L = \operatorname{lim}X$.
对余极限可同理定义.
反映同构
特别地, 对于 $I=1$, 反映 $I$-极限称为反映同构. 这就是说,
- 若 $\mathcal C$ 中的态射 $f$ 在 $\mathcal D$ 中被映射为同构, 则 $f$ 本身为同构.
反映同构的函子又称为保守函子.
例
嵌入
全忠实函子反映所有极限和余极限.