百科. 局部化 (范畴论) [局部化(范畴论)]

观念

在范畴论中, 局部化是一种万有的使一些态射变得可逆的方法.

另见局部化 (环), Bousfield 局部化 (稳定同伦论).

定义

设 $\mathcal{C}$ 为范畴, $S$ 为 $\mathcal{C}$ 中的一族态射. 定义 $\mathcal C$ 关于 $S$ 的局部化为满足如下条件的范畴 $\mathcal C[S^{-1}]$ 配备函子 $\mathcal C \to \mathcal C[S^{-1}]$:

• 对任意函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, 若 $F$ 将 $S$ 中的每个态射变为同构, 则 $F$ 唯一地穿过 $\mathcal C \to \mathcal C[S^{-1}]$, 即存在唯一的 $\mathcal C[S^{-1}] \to \mathcal D$ 以及交换图 $$ \begin{array}{ccc} \mathcal C & \rightarrow & \mathcal C[S^{-1}] \\ & \searrow & \downarrow \\ & & \mathcal D. \end{array} $$

等价地, 可定义 $\mathcal C[S^{-1}]$ 为范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的如下推出, $$ \begin{array}{ccc} \bigsqcup_S \{\cdot\to\cdot\} & \rightarrow & \bigsqcup_S \{\cdot\leftrightarrow\cdot\} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathcal C & \rightarrow & \mathcal C[S^{-1}] \end{array} $$ 其中 $\{\cdot\to\cdot\}$ 是游走的箭头.