定义
设 $\mathcal A$ 为加性范畴, 记 $\mathsf {Ch}(\mathcal A)$ 为其中链复形的范畴 ($1$-范畴).
记 $S$ 为 $\mathcal A$ 中链同伦等价的全体, 定义链复形 ∞-范畴为局部化
$$
\mathsf K(\mathcal A) := \mathsf {Ch}(\mathcal A)[S^{-1}].
$$
它是一个稳定无穷范畴. (它也是 $\mathsf {Ch}(\mathcal A)$ 作为微分分次范畴的微分分次脉.)
注意与导出范畴的区别.
性质
例. 拓扑空间映射的同伦诱导奇异链复形态射的同伦, 链同伦的两个态射诱导相同的同调群同态; 这就是说同调群 $H_*\colon \mathsf{Top} \to \mathsf{Ab}^{\mathbb{Z}}$ 有如下分解:
$$
\mathsf{Top} \overset{\operatorname{Sing}}{\to} \mathsf{K}(\mathsf{Ab}) \overset{H_*}{\to} \mathsf{Ab}^{\mathbb{Z}}.
$$
命题. $\mathsf {Ch}(\mathcal A)$ 上存在一个模型范畴结构使得
在这种模型结构中, 纤维性对象与内射对象有关. (k-injectivity?)
命题. 存在正合的伴随函子
$$
\mathsf K(\mathcal A) \rightleftarrows \mathsf D(\mathcal A),
$$
其中右伴随 $\mathsf D(\mathcal A)\to\mathsf K(\mathcal A)$ 全忠实, 左伴随 $\mathsf K(\mathcal A)\to\mathsf D(\mathcal A)$ 是一种纤维性替换, 其核为 $\mathsf K(\mathcal A)$ 中的零调复形.
t-结构
$\mathsf D(\mathcal A)$ 上有明显的 t-结构 $(\mathsf D(\mathcal A)^{\leq 0},\mathsf D(\mathcal A)^{\geq 0})$, 且 $H^0$ 诱导等价 $\mathsf D(\mathcal A)^\heartsuit \to \mathcal A$.
有界导出范畴
设 Abel 范畴 $\mathcal A$ 具有足够多内射对象. 定义 $\mathsf D^+(\mathcal A) = N_{\text{dg}}(\mathsf {Ch}^+(\mathcal A_{\text{inj}}))$.
设 Abel 范畴 $\mathcal A$ 具有足够多投射对象. 定义 $\mathsf D^-(\mathcal A) = N_{\text{dg}}(\mathsf {Ch}^-(\mathcal A_{\text{proj}}))\simeq\mathsf D^{+}(\mathcal A^{\text{op}})^{\text{op}}$.
$\mathsf D^-(\mathcal A)$ 具有如下泛性质. 对任意带有左完备 t-结构的稳定无穷范畴 $\mathcal C$, 如下资料等价:
- t-右正合函子 $\mathsf D^-(\mathcal A)\to\mathcal C$, 将 $\mathcal A_{\text{proj}}$ 映射到 $\mathcal C^\heartsuit$;
- 右正合函子 $\mathcal A\to\mathcal C^\heartsuit$.
对于右正合函子 $\mathcal A\to\mathcal C^\heartsuit$, 称对应的函子 $\mathsf D^-(\mathcal A)\to\mathcal C$ 为其导出函子.
相关概念
微分分次范畴: 充实于 $1$-范畴 $\mathsf {Ch}(\mathsf {Ab})$ 的范畴.