教程 : 高阶范畴论
一个高阶范畴是一类对象和对象之间的态射构成的全体; 不同于普通范畴的是, 高阶范畴两个对象 $X,Y$ 之间的态射全体 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ 本身也构成高阶范畴, 从而可以谈论态射之间的态射 ($2$-态射), 态射之间的态射之间的态射 ($3$-态射), …, 以至于无穷.
(n,r)-范畴
根据有效信息的层级, 可将高阶范畴用两个整数 $n,r$ 分类. 见 $(n,r)$-范畴.
与生象的关系
生象, 又称 $\infty$-群胚, 即 $(\infty,0)$-范畴, 是一类重要的高阶范畴.
对于每个高阶范畴 $\mathcal C$, 都可以去掉其中所有不可逆的态射, 仅保留对象与对象之间的同构, 得到一个生象 $\mathcal C^{\simeq}$, 称为 $\mathcal C$ 的对象的生象. 一般地, $(n,r)$-范畴也可遗忘为 $(n,r')$-范畴 ($r' < r$).
范畴的范畴
高阶范畴之间也有态射, 称为函子. 函子不仅将对象映射到对象, 而且将态射范畴映射到态射范畴. 最重要的函子是 “态射” 函子
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,-) \colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C \to \mathsf{Cat}.
$$
由此可以给出态射的复合, 以及复合的结合律等.
因此, 高阶范畴的全体也构成一个高阶范畴.
$(n,r)$-范畴的全体构成一个 $(n+1,r+1)$-范畴.
相关页面
一种朴素的建立高阶范畴的尝试