Higher Algebra Done Right [HADR]
Higher Algebra Done Right 是我和一些朋友 2023 年建立的群组, 以及 2026 年秋季学期组织的讨论班的名称.
讨论班主页: https://simplicialcat.github.io/HADR
高阶代数就是在高阶范畴中做的代数. 稍有高阶范畴经验的人就会明白, 高阶范畴的所有本质困难, 或者说特色, 都来源于对 “相等” 这件事情的重新理解. 在传统数学中, 两个东西的相等是个命题, 要么真要么假. 在高阶范畴中, 两个东西的相等是一种新的东西, 而这种新的东西之间又可以谈论相等, 以至于无穷. 这是同伦类型论居于高阶范畴语言的核心的原因. 代数就是处理运算与等式的学问. 在高阶代数中, 我们永远不应该手动制造相等, 而是要用范畴论机器自动地生产出所有的相等. 这就是高阶代数的总纲领.
本部分大致对应 Lurie HA 第 2 章 $\infty$-Operads.
详见代数模式, 这里仅列举要点:
一个代数模式是一个范畴 $\mathcal O$ 配备分解系统 $(\mathcal O_{\mathrm{act}},\mathcal O_{\mathrm{int}})$, 分别称为活性映射与惰性映射, 以及全子范畴 $\mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$, 称为基本对象的范畴.
我们的观念是
- 底层结构是基本对象的范畴 $\mathcal O_{\mathrm{el}}$ 上的预层;
- 代数模式所表达的结构是底层结构上的代数结构, 即单子性函子 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O} \to \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}}$;
- 代数模式只是代数结构的表现, 正如景是意象的表现.
代数模式 $\mathcal O$ 在积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的 Segal 对象是一个函子 $F\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 满足 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}$ 是 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张.
重要的例子包括
Lurie 意义下的算畴是一种特殊的代数模式 $\mathcal O \to \Gamma$, 所谓弱 Segal 纤维化.
关于代数模式方向约定的解释. 在本页面与代数模式页面, 我们使用的方向约定 (即代数模式的底层范畴 $\mathcal O$ 及其子范畴的方向) 与 Chu–Haugseng 以及 Lurie 都相反. 我认为两种约定都有道理, 并且两者可以视为一对代数–几何对偶,
- 我们约定中的代数模式 $\mathcal O$ 可视为 “代数侧”, 其对象大致可理解为基本对象生成的自由代数对象, 态射可理解为变量代换, 例如 $\mathbb{Z}[t] \to \mathbb{Z}[x,y]$, $t\mapsto x+y$.
- 而 Chu–Haugseng 与 Lurie 约定中的范畴 $\mathcal O$ ($\mathcal O^{\otimes}$) 可视为对偶的 “几何侧”, 态射可视为运算, 例如 $\mathbb A^2 \to \mathbb A^1$, $(x,y)\mapsto x+y$.
例子: 游走的自同态
记录一个小例子, 可以作为习题检验自己对代数模式的理解.
考虑仅有一个点 $*$ 和一条边
$*\to *$
的有向图, 问这个有向图自由生成的范畴是什么. 注意到它是 $\Delta_{\mathrm{el}}$ 上的预层范畴中的终对象, 通过右 Kan 扩张得到的代数模式 $\Delta_{\mathrm{int}}$ 的 Segal 对象
$$
X\colon \Delta_{\mathrm{int}}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}.
$$
仍是终对象 (右 Kan 扩张保持终对象):
$$
X ([n]) = 1.
$$
我们通过左 Kan 扩张求其自由生成的 $\Delta$ 的 Segal 对象:
$$
\operatorname{LKE}(X)([1]) = \operatorname{colim}_{[1] \to [n]} X([n]) =
\big|
\{[1]\to [n]\}
\big|,
$$
其中 $|{-}|$ 表示取范畴的底层生象. 这个指标范畴认真写出来是:
- 对象为 $[1]\to [n]$,
- 态射为交换图 $\begin{array}{ccc}
[1] & & \\
\downarrow & \searrow & \\
[n] & \rightarrowtail & [m]
\end{array}$, 其中 $[n]\rightarrowtail [m]$ 是惰性的.
断言. 指标范畴 $\{[1]\to [n]\}$ 是 $\mathbb{N}$ 个范畴的无交并, 其中每个部分都是弱可缩范畴.
为了证明上述断言, 考虑每个态射 $[1]\to [n]$ 的活性部分. 对指标范畴中的任意态射 $\begin{array}{ccc}
[1] & & \\
\downarrow & \searrow & \\
[n] & \rightarrowtail & [m]
\end{array}$, 由于 $[n]\rightarrowtail [m]$ 是惰性的, 其两边 $[1]\to [n]$ 和 $[1]\to [m]$ 的活性部分相同, 这就将指标范畴归为了 $\mathbb{N}$ 个连通分支. 另一方面, 设 $[1] \to [n]$ 的活性部分为 $[1] \to [k]$, 则由正交分解, 存在唯一的惰性映射 $[k]\rightarrowtail [n]$ 连接两者; 故这个连通分支是弱可缩的.
…
不难发现左 Kan 扩张给出的自由的 Segal 生象 $\operatorname{LKE}(X)$ 为游走的自同态 $\mathbf{B}\mathbb{N}$.
代数模式 $\mathrm{Assoc}$
前面介绍的代数模式的态射 $\gamma\colon \Delta \to \Gamma$ (另见 Segal 函子 $\gamma$) 未能通过左 Kan 扩张给出结合代数的交换化, 因为左 Kan 扩张不保持 Segal 条件. 事实上, 我们可以将 $\Delta$ 替换为 (或者说是补全为) $\Gamma$ 上的另一个代数模式 $\mathrm{Assoc} \to \Gamma$, 不改变其 Segal 对象, 同时又能通过左 Kan 扩张直接给出结合代数的交换化.
定义代数模式 $\mathrm{Assoc}$ 如下:
- 范畴 $\mathrm{Assoc}$ 的对象为 $\langle 0 \rangle, \langle 1 \rangle, \langle 2 \rangle, \cdots$, 态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$ 对每个 $i\in\{1,\cdots, n\}$ 赋予互不相交的子集 $S_i\subset \{1,\cdots,m\}$ 以及 $S_i$ 上的一个全序 (注意这是 $\mathrm{Assoc}$ 与 $\Gamma$ 的区别所在).
- 活性映射, 惰性映射与 $\Gamma$ 的定义相同, 即惰性映射为每个元素对应一个单元子集, 活性映射为所有像之并等于全集.
- 基本对象为 $\langle 1 \rangle$.
由定义很明显有代数模式的态射 $u\colon \mathrm{Assoc} \to \Gamma$ (甚至每个对象 $\langle n \rangle$ 在两种模式中所含的基本对象的范畴都相同, 都是 $n$ 个对象的离散范畴).
另外还有一个函子 $\Delta \to \mathrm{Assoc}$:
- 将 $[n]\in\Delta$ 对应到 $\langle n \rangle \in \mathrm{Assoc}$,
- 单纯形映射 $[n] \to [m]$ 把 $[n]$ 的每个基本箭头 $0\to 1, 1\to 2,\cdots, (n-1)\to n$ 对应到 $[m]$ 的连续若干个 (也可能是零个) 箭头的复合; 这些箭头当然带有继承自 $[m]$ 的全序), 从而给出 $\mathrm{Assoc}$ 中的态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$.
这样我们可以看到 $\Delta$ 与 $\mathrm{Assoc}$ 的区别: $\Delta$ 中的态射是保序映射, 而 $\mathrm{Assoc}$ 的态射不必保序 (毕竟对象上本身没有序), 而是要在每个元素打到的子集上手动指定一个序.
尽管如此, 代数模式 $\mathrm{Assoc}$ 的 Segal 对象还是等同于结合代数. 直观上, 给定结合代数 $X$ 作为 Segal 对象 $X\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 要得到 Segal 对象 $X\colon \mathrm{Assoc}^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$, 即对每个态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$ 指定 $X^m \to X^n$, 只需要将 $X^m$ 重组为 $\prod_{i=1}^n X^{S_i}$, 排列每个 $S_i$, 然后将若干个 $X^{S_i}\to X$ 拼起来就可以了.
沿 $u\colon \mathrm{Assoc} \to \Gamma$ 的左 Kan 扩张给出
$$
u_! A = \operatorname{colim}_{\langle 1\rangle\leadsto\langle m \rangle} A^m.
$$
(这里左 Kan 扩张公式中的指标范畴可以只取活性映射.) 注意到指标范畴的对象 $\langle 1\rangle\leadsto\langle m \rangle$ 上有对称群的作用, 我们看到任意 $m$ 个元素的不同顺序的乘法在 $u_! A$ 中都等同起来了.
Lurie 的算畴 (对称算畴)
上面介绍的 $\mathrm{Assoc}$ 是 Lurie HA 定义的算畴的一例. 其实 Lurie 的每个算畴都可视为代数模式.
在我们使用的约定中 (参见代数模式; 注意我们与 Lurie 相差一个反范畴), 一个算畴是一个函子
$$
p\colon \mathcal O \to \Gamma,
$$
记 $p^{-1}(\langle n\rangle)$ 为 $\mathcal O_{\langle n \rangle}$, 满足以下条件:
- (惰性提升) $\Gamma$ 中每个惰性映射 $\langle n\rangle \rightarrowtail \langle m \rangle$ 都有沿 $p$ 的水平 (Cartesian) 提升, 且给出反向的函子 $\mathcal O_{\langle m \rangle} \to \mathcal O_{\langle n \rangle}$; 合起来这给出 $\Gamma_{\mathrm{int}}$ 上的拉回纤维化;
- (Segal 条件) 由惰性映射 $\rho_i\colon \langle 1\rangle \rightarrowtail \langle n\rangle$ (将 $\{1\}$ 唯一的元素对应到单元子集 $\{i\}\subset \{1,\cdots,n\}$) 给出的态射 $\mathcal O_{\langle n \rangle} \to \prod_{i=1}^n \mathcal O_{\langle 1 \rangle}$ 是等价;
- 对于 $X\in\mathcal O_{\langle k\rangle}$, $Y\in\mathcal O_{\langle \ell\rangle}$ 以及 $\Gamma$ 中任意态射 $f\colon \langle k\rangle \to \langle \ell \rangle$,
$$
\operatorname{Hom}^f(X,Y) \simeq \prod_{i=1}^{k}\operatorname{Hom}^{f\rho_i}(X_i,Y),
$$
其中 $X_i$ 是 $X$ 根据第二条 (Segal 条件) 分解出的第 $i$ 分量.
我们构造 $\mathcal O$ 上的一个代数模式结构:
- 基本对象的范畴取 $\mathcal O_{\langle 1\rangle}$;
- 惰性映射就是定义中的惰性提升;
- 活性映射就是居于 $\Gamma$ 中的活性映射之上的映射.
上述结构的底不必为 $\Gamma$, 而是可以推广到任意代数模式上. 若代数模式的态射 $\mathcal O \to \mathcal P$ 满足上述条件, 则称之为弱 Segal 纤维化.
以下是一个对照表.
| Lurie HA | HADR |
|---|
| $\mathcal O^{\otimes} \to \mathrm{N}(\mathrm{Fin}_*)$ | $\mathcal O \to \Gamma$ (注意约定相反) |
| fibration of $\infty$-operads | 弱 Segal 纤维化 |
| coCartesian fibration of $\infty$-operads | Segal 纤维化 |
对称算畴的基本例子
例. 记 $\mathsf{Triv} := \Gamma_{\mathrm{int}} \to \Gamma$, 称之为平凡算畴. 平凡算畴的代数就是没有任何结构的对象.
例. 记 $\mathbb E_0 \to \Gamma$ 为 $\Gamma$ 中 “将每个元素对应到一个至多一元子集” 的映射构成的宽子范畴, $\mathbb E_0$-代数就是带基点对象.
例. $\Gamma$ 上的 Segal 纤维化 $\mathcal C \to \Gamma$, 对应于 Segal 对象 $\Gamma^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$, 即对称幺半范畴 (其底层范畴为 $\mathcal C_{\langle 1\rangle}$); 它也构成对称算畴.
非对称算畴
称 $\Delta$ 上的弱 Segal 纤维化为非对称算畴. 直观上, 一个算畴给出一族无序 $n$ 元运算, 而一个非对称算畴给出一族有序 $n$ 元运算.
例. 记 $\Delta_{\leq n} \hookrightarrow \Delta$ 为对象 $[0],[1],\cdots,[n]$ 构成的全子范畴, 则 $\Delta_{\leq n}$ 继承 $\Delta$ 的代数模式结构, 构成一个非对称算畴; 称该模式为 $\mathbb A_n$.
算畴的操作
余积
对称算畴 $\mathcal C \to \Gamma$, $\mathcal D \to \Gamma$ 的余积为
$$
\mathcal C \times\mathcal D \to \Gamma\times\Gamma\overset{\times}{\to}\Gamma.
$$
其中 $\times\colon \Gamma\times\Gamma\to\Gamma$ 是 $\Gamma$ 中的范畴论积 $\langle n \rangle \times \langle m \rangle = \langle n + m \rangle$.
对称幺半包络
设 $\mathcal O$ 是可扩张代数模式, $p\colon \mathcal C \to \mathcal O$ 是弱 Segal 纤维化. 定义其 $\mathcal O$-幺半包络 (monoidal envelope) 为
$$
\operatorname{Env}_{\mathcal O}(\mathcal C) := \mathcal C \times_{\mathcal O}\operatorname{Act}(\mathcal O) = \{(c\in\mathcal C,\alpha\colon o\leadsto p(c))\}.
$$
它构成一个 $\mathcal O$-幺半范畴, 也即 Segal 纤维化 $\operatorname{Env}_{\mathcal O}(\mathcal C)\to \mathcal O$, 对应的函子 $\mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ 为
$$
o\mapsto \{o\leadsto p(c)\}.
$$
特别地, 取 $\mathcal O = \Gamma$, 我们就得到: 对任意对称算畴 $\mathcal C$, 其对称幺半包络 $\operatorname{Env}_{\Gamma}(\mathcal C)$ 是一个对称幺半范畴 $\Gamma^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Cat}$,
$$
\langle n\rangle\mapsto \{\langle n \rangle \leadsto p(c)\},
$$
其底层范畴为 $\{\langle 1 \rangle \leadsto p(c)\}$.
含幺算畴
设 $p\colon \mathcal O \to \Gamma$ 为算畴, 即代数模式的弱 Segal 纤维化. 考虑唯一的活性映射 $f\colon \langle 1\rangle \to \langle n \rangle$, $\mathcal O$ 中居于 $f$ 上的态射可理解为 $n$ 元运算. 特别地, $n=1$ 时, 颜色范畴 $\mathcal O_{\langle 1 \rangle}$ 中的活性态射即是 $1$ 元运算.
现在我们考虑一个更基本的对象, 即 $0$ 元运算. 它是 $\mathcal O$ 中居于 $\langle 1 \rangle \to \langle 0 \rangle$ 上的态射. 注意 $\mathcal O_{\langle 0 \rangle} = 1$, 我们记 $\mathcal O_{\langle 0 \rangle}$ 中唯一的对象为 $\varnothing$, 因为它的直观确实是 “$0$ 个颜色放在一起”.
定义. 若对任意 $X \in \mathcal O_{\langle 1 \rangle}$, $\operatorname{Hom}_{\mathcal O}(X,\varnothing) = 1$, 换言之 $\varnothing$ 是 $\mathcal O$ 的零对象, 则称 $\mathcal O$ 为含幺算畴 (unital operad).
例.
- $\Gamma$ 自身是含幺算畴, 因为 $\langle 0\rangle = \varnothing$ 是零对象.
- $\mathbb E_0$ 是含幺算畴, 但 $\mathsf{Triv}$ 不是含幺算畴. 注意 $\mathbb E_0$ 中存在唯一的态射 $\langle 1\rangle\to\langle 0 \rangle = \varnothing$, 代表 $0$ 元运算 “取基点”, 而平凡算畴 $\mathsf{Triv}$ 中不存在这个态射.
本部分大致对应 Lurie HA 第 3 章 Algebras and Modules over $\infty$-Operads.
本部分大致对应 Lurie HA 第 4 章 Associative Algebras and Their Modules.
本部分大致对应 Lurie HA 第 5 章 Little Cubes and Factorizable Sheaves.