预层 [预层]

范畴 $\mathcal C$ 上的预层即是其反范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 到 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 的函子.

充实范畴中也有类似概念. $\mathcal V$-充实单对象范畴上的预层, 也可视为 $\mathcal V$ 中的结合代数上的模.

性质

可表函子的余极限

每个预层 $X\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 都是可表函子的余极限: $$ X = \operatorname{colim}_{\mathbf{y}(c) \to X}\mathbf{y}(c). $$

预层意象

任何 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 取值的预层范畴都是意象; 见预层意象.

态射的计算

$$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}(X,Y) &= \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}( \operatorname{colim}_{c\to X}\mathbf{y}(c),Y)\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)} (\mathbf{y}(c),Y)\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)} (\mathbf{y}(c), \operatorname{colim}_{d\to Y}\mathbf{y}(d))\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{colim}_{d\to Y} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)} (\mathbf{y}(c), \mathbf{y}(d))\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{colim}_{d\to Y} \operatorname{Hom}_{\mathcal C} (c,d). \end{aligned} $$

识别定理

如下定理告诉我们如何识别一个范畴为预层范畴.

定理. 设范畴 $\mathcal D$ 有一个小的全子范畴 $\mathcal C$, 满足

$\mathcal C$ 的对象 $c$ 在 $\mathcal D$ 中完全紧, 即 $\operatorname{Hom}(c,-)\colon \mathcal D\to\mathsf{Ani}$ 保持任意余极限;
$\mathcal C$ 的对象在余极限下生成整个 $\mathcal D$;

那么 $\mathcal D$ 等价于 $\mathcal C$ 上的预层范畴. 具体地, 函子 $\mathcal D\to\operatorname{Psh}(\mathcal C)$, $d\mapsto\operatorname{Hom}(-,d)$ 为等价.

例

群作用

群 $G$ 的作用等同于 $\mathbf{B}G$ 上的预层. 因此预层也可视为群作用的推广.

关联页面

单纯百科 - 术语翻译表 [terminologies]

meta
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下表的第二列是单纯百科使用的译文.

表格第三列是其它地方也曾出现的译文, 它们有的是历史淘汰的选择, 有的是机翻造成的错误. 这个表格的作用是为 LLM 提供正确的术语.

原文	译文	其它译文
anima	生象
associated bundle	关联丛	配丛
coherent sheaf	凝聚层	相干层
dependent type	依值类型	依赖类型
groupoid	群胚	广群
homotopy-coherent	融贯
lax	松
locale	位象
nerve	脉	神经
operad	算畴
over category	俯范畴
presheaf	预层	预束
profunctor	代函子
quasicoherent sheaf	拟凝聚层
section	截面
sheaf	层	束
site	景
stack	叠	栈
stalk	茎
topos	意象	拓扑斯
torsor	主丛	旋子, 扭子, 挠子
walking	游走

未确定的术语

原文	译文
Gestalt	格式塔
suave	滑

函子式代数几何第二节层论 [tutorial-funAG-sh]

教程
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我们假设读者已经了解层的概念, 本节仅回顾与函子式代数几何相关的一些层论基本事实.

点函子与概形

点函子

对于一个几何对象 $X$, 我们常常使用它的 “点” 来对 $X$ 有关的对象进行构造与论证, 而常常这里的 “点” 的概念比想象中更灵活: 我们不需要所谈论的点真的是一个最小的不可分割的几何对象; 任何其它几何对象到 $X$ 的一个态射都可以称作一个点. 而当我们采取这种更宽泛的点的概念时, “逐点” 的论证往往会自动具有自然性.

定义 (仿射概形的点函子). 对于仿射概形 $\operatorname{Spec} A$, 定义其点函子为 $$ \operatorname{Spec} A\colon \mathsf{Ring} \to \mathsf{Set},\quad B\mapsto \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ring}}(A,B). $$ 称 $(\operatorname{Spec} A)(B) = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ring}}(A,B)$ 的元素为 $\operatorname{Spec} A$ 的 $B$-点. 将仿射概形对应到其点函子的过程实际上就是米田嵌入 $\mathbf{y}\colon \mathsf{Aff} \to \operatorname{Psh}(\mathsf{Aff})$.

例 (一般线性群, 乘法群). 一般线性群 $\mathrm{GL}_n$ 作为仿射概形的定义为 $$ \mathrm{GL}_n = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x_{11},\cdots,x_{nn}][\det(x)^{-1}], $$ 其点函子为 $$ A\mapsto \mathrm{GL}_n(A)=\{x\in \mathrm{Mat}_{n\times n}(A)\mid \text{$\det(x)$ 可逆}\}. $$ 特别地, 当 $n=1$ 时记 $$\mathbb{G}_m=\mathrm{GL}_1 =\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x][x^{-1}],$$ 其点函子为 “乘法群” 函子 $$ A\mapsto A^\times = \{x\in A\mid \text{$x$ 可逆}\}. $$ 因此称 $\mathbb{G}_m$ 为乘法群概形. 由点函子容易看出 $\mathbb{G}_m$ 的群结构, 因为一个环的可逆元关于乘法自然构成群. 群的乘法 $\mathbb{G}_m\times\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$ 对应环同态 $$ \mathbb{Z}[x][x^{-1}]\to\mathbb{Z}[u][u^{-1}]\otimes \mathbb{Z}[v][v^{-1}],\quad x\mapsto uv. $$ 群的取逆 $\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_m$ 对应环同态 $x\mapsto x^{-1}$.

例 ($\mathbb{G}_m$-作用与分次).

环 $R$ 上的一个 $\mathbb{Z}$-分次是一个分解 $$ R =\cdots \oplus R_{-1}\oplus R_0 \oplus R_1 \oplus\cdots, $$ 满足对 $r\in R_{n}, s\in R_{m}$ 有 $rs\in R_{n+m}$. 这等价于 $\operatorname{Spec} R$ 上的一个 $\mathbb{G}_m$-作用, 也即一个映射 $\operatorname{Spec} R \times \mathbb{G}_m \to \operatorname{Spec} R$, 满足群作用的条件. 这个映射以点函子的观点可以如下描述. 对于环 $A$, 它给出映射 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ring}}(R,A)\times A^\times \to \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ring}}(R,A), $$ $$ (\varphi,a)\mapsto \big( r\mapsto \varphi(r)a^{\deg r} \big). $$ (其中 $\deg r$ 为齐次元素 $r$ 的次数, 以线性延拓到非齐次元素.) 当然也可以用仿射概形作为环的对偶来描述, 这个作用对应于环同态 $$ R\to R\otimes\mathbb{Z}[x][x^{-1}] \simeq R[x][x^{-1}],\quad r\mapsto rx^{\deg r}. $$

更一般地, 对任意交换幺半群 $M$, 考虑幺半群环 $\mathbb{Z}[M]$, 也即 $M$ 自由生成的交换环, 对应的仿射概形 $\operatorname{Spec}\mathbb Z[M]$ 是 $\mathsf{Aff}$ 中的幺半群. 环 $R$ 的 $M$-分次 $R=\bigoplus_{m\in M}R_m$ 等同于 $\operatorname{Spec}\mathbb Z[M]$-作用.

见滤与分次的叠观点.

Zariski 覆盖

定义 (Zariski 覆盖). 对于仿射概形 $\operatorname{Spec} A$, 定义其 Zariski 覆盖为 $\mathsf{Aff}$ 中形如 $$ \{D(f_i) \to \operatorname{Spec} A\}_{i\in I}\,(f_i\in A) $$ 的一族态射, 满足 $\{f_i\}_{i\in I}$ 生成 $A$ 的单位理想.

例. 考虑一个极端情形, 对于 $A=0$ 为零环, 空集构成了 $\operatorname{Spec} A$ 的 Zariski 覆盖, 因为零个元素就生成了零环的单位理想.

命题. 对环的两个元素 $f,g\in A$ 有 $D(f)\times _{\operatorname{Spec} A}D(g) \simeq D(fg)$.

证明. 这是因为 $$ \begin{aligned} A[f^{-1}]\otimes_A A[g^{-1}] &\simeq A[x,y]/(xf-1,yg-1)\\ &\simeq A[z]/(zfg-1)\\ &\simeq A[(fg)^{-1}]. \end{aligned} $$

例. $D(2) \to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 和 $D(3) \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 构成 $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 的 Zariski 覆盖.

命题 (Zariski 覆盖是次典范的) 对任意 Zariski 覆盖 $\{D(f_i) \to \operatorname{Spec} A\}_{i\in I}\,(f_i\in A)$, 有 $\mathsf{Aff}$ 中的余等化子 $$ \coprod_{i,j}D(f_if_j) \rightrightarrows \coprod_i D(f_i) \to \operatorname{Spec} A. $$

证明. 要证明有 $\mathsf{Ring}$ 中的等化子 $$ A \to {\prod_i A[f_i^{-1}]} \rightrightarrows {\prod_{i,j}A[(f_if_j)^{-1}].} $$ 具体地, 设 $(x_i/f_i^{n_i})_{i\in I}\in \prod_i A[f_i^{-1}]$ 在两个限制映射下的像相等, 即在 $A[(f_if_j)^{-1}]$ 中有 $x_i/f_i^{n_i} = x_j/f_j^{n_j}$. 我们要证明存在唯一的 $x\in A$ 使得在 $A[f_i^{-1}]$ 中有 $x/1=x_i/f_i^{n_i}$.

先考虑 $I$ 为有限集的情形. 取正整数 $N_{ij}$, 使得 $(f_if_j)^{N_{ij}} (f_j^{n_j}x_i-f_i^{n_i}x_j)=0$. 由有限性, 可取正整数 $N=\max\{N_{ij}\mid i,j\in I\}+\max\{n_i\mid i\in I\}$. 由条件, $\{f_i\}_{i\in I}$ 生成单位理想. 那么 $\{f_i^N\}_{i\in I}$ 也生成了单位理想. 设 $1=\sum_{i\in I} a_if_i^N\,(a_i\in A)$. 令 $x = \sum_{i\in I} a_if_i^{N-n_i}x_i$. 对任意 $i\in I$, 容易验证 $x$ 在 $A[f_i^{-1}]$ 中等于 $x_i/f_i^{n_i}$. 这是因为 $f_i^{n_i}x-x_i=0$. 这证明了 $x$ 的存在性. 而 $x$ 的唯一性是因为, 若 $x$ 在每个 $A[f_i^{-1}]$ 中都等于 $0$, 则 $x=0$.

再来处理 $I$ 为任意集合的情形. 取有限子集 $I_0\subset I$ 使得 $\{f_i\}_{i\in I_0}$ 生成了单位理想. 对 $I_0$ 使用前述构造得到 $x$. 考虑 $i'\in I\setminus I_0$, 对 $I_0\cup \{i'\}$ 再次使用前述构造得到 $x'$. 由唯一性就得到 $x=x'$.

$\square$

概形

定义 (空间). 定义空间为函子 $X\colon \mathsf{Aff}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ (也即 $X\colon \mathsf{Ring}\to\mathsf{Set}$).

当然, 空间一词在数学上有太多不同的含义, 这种空间与那种空间不一定相关联. 不过代数几何使用的空间概念大多都类似这种形式.

定义 (概形). 称满足如下条件的空间 $X$ 为概形:

(Zariski 层条件) 对任意 Zariski 覆盖 $\{D(f_i) \to \operatorname{Spec} A\}_{i\in I}\,(f_i\in A)$, 给定一族相容的元素 $s_i\in X(D(f_i))$ (相容的意思是 $s_i,s_j$ 限制在 $D(f_if_j)$ 上相同), 存在唯一的 $s\in X(\operatorname{Spec} A)$ 限制为每个 $s_i$.
(局部仿射性) $X$ 存在仿射开覆盖 (开覆盖的定义在本节的后文).

概形的态射即为函子的自然变换. 记概形的范畴为 $\mathsf{Sch}$.

命题. 仿射概形是概形. 换言之, 将仿射概形对应到其点函子的米田嵌入穿过概形的范畴, 给出全忠实函子 $\mathbf{y}\colon \mathsf{Aff} \hookrightarrow \mathsf{Sch}$.

证明. 这是由于 Zariski 覆盖是次典范的.

命题. 概形 $X$ 是仿射概形在空间范畴中的余极限: $$ X \simeq \operatorname{colim}_{\operatorname{Spec} A \to X}\operatorname{Spec} A. $$

证明. 这是预层的性质.

闭嵌入与开嵌入

定义 (闭嵌入). 满足如下条件的空间映射 $X\to Y$ 称为闭嵌入: 对任意 $\operatorname{Spec} A \to Y$, 拉回图 $$ \begin{array}{ccc} X\times_Y\operatorname{Spec}A & \rightarrow & \operatorname{Spec}A \\ \downarrow & & \downarrow \\ X & \rightarrow & Y \end{array} $$ 中, 态射 $X\times_Y\operatorname{Spec}A \to \operatorname{Spec} A$ 为仿射概形的闭嵌入, 即形如 $\operatorname{Spec} (A/I)\hookrightarrow \operatorname{Spec} A$.

空间的闭嵌入与前面定义的仿射概形闭嵌入是相容的. 若 $X\to Y$ 为空间的闭嵌入且 $Y=\operatorname{Spec} A$ 为仿射概形, 考虑沿 $\mathrm{id}_{\operatorname{Spec} A}$ 的拉回, 知 $X\to Y$ 是仿射概形的闭嵌入.

定义 (补空间). 设 $X\to Y$ 为空间的映射, 定义其补空间 $Y\setminus X$ 为函子 $$ (Y\setminus X)(A) = \{\operatorname{Spec} A\to Y\mid \operatorname{Spec} A\times_Y X\simeq\varnothing\}. $$

注意, $(Y\setminus X)(A)$ 不等于 $Y(A) \setminus X(A)$.

定义 (开嵌入). 设 $X\to Y$ 为空间映射.

若 $Y$ 为仿射概形, 且 $X\to Y$ 同构于一个闭子概形的补空间, 则称之为开嵌入.
一般地, 若对任意 $\operatorname{Spec} A\to Y$, 拉回图 $$ \begin{array}{ccc} X\times_Y\operatorname{Spec}A & \rightarrow & \operatorname{Spec}A \\ \downarrow & & \downarrow \\ X & \rightarrow & Y \end{array} $$ 中, 态射 $X\times_Y\operatorname{Spec}A \to \operatorname{Spec}A$ 为仿射概形的开嵌入, 则称 $X\to Y$ 为开嵌入.

注意对于一般的空间, 我们不是定义开嵌入为闭嵌入的补空间, 这两个概念并不完全 “对称”.

记号. 对于闭嵌入或开嵌入 $i\colon U\to X$, $j\colon V\to X$, 常常记 $U\times_X V$ 为 $U\cap V$; 当 $X$ 上的某对象 (如拟凝聚层) $F$ 可以沿 $i$ 拉回到 $U$ 上时, 记 $i^*F$ 为 $F|_U$.

例. 仿射概形的闭嵌入 $\operatorname{Spec} (A/I)\hookrightarrow\operatorname{Spec} A$ 的补空间 $\operatorname{Spec} A \setminus \operatorname{Spec} (A/I)$ 为 $$ B\mapsto \{A\to B\mid A/I\otimes_A B\simeq 0\}, $$ 其中条件 $A/I\otimes_A B\simeq 0$ 也等价于 $B/IB\simeq 0$, 即 $IB=B$ (作为 $A$-模).

当 $I=(f)$ 为主理想时, $A/(f)$ 的补空间为 $$ B\mapsto \{A\to B\mid fB=B\} = \{A[f^{-1}]\to B\}, $$ 也即 $\operatorname{Spec} A[f^{-1}]=D(f)$. 例如 $\mathbb G_m$ 是 $0\colon \operatorname{Spec} \mathbb{Z}\hookrightarrow\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x]$ 的补空间, 简记作 $\mathbb{A}^1\setminus 0$.

但是一般而言 $\operatorname{Spec} A \setminus \operatorname{Spec} (A/I)$ 未必是仿射概形, 例如 $\mathbb{A}^2\setminus 0$ 就不是仿射概形. 注意到 $\mathbb A^2$ 的开子空间 $D(x),D(y)$ 都嵌入 $\mathbb A^2\setminus 0$, 且有如下交换图. $$ \begin{array}{ccc} \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x^{\pm 1},y^{\pm 1}]\simeq D(x)\cap D(y) & \rightarrow & D(x) \\ \downarrow & & \downarrow \\ D(y) & \rightarrow & \mathbb A^2\setminus 0 \end{array} $$ 因此对任意映射 $\mathbb A^2\setminus 0 \to \operatorname{Spec} A$, 有环同态 $A\to \mathbb{Z}[x^{\pm 1},y^{\pm 1}]$. 但该环同态的像同时落在 $\mathbb{Z}[x^{\pm 1},y]$ 以及 $\mathbb{Z}[x,y^{\pm 1}]$ 中, 而这两个子环的交集为 $\mathbb{Z}[x,y]$, 这说明映射 $\mathbb A^2\setminus 0 \to \operatorname{Spec} A$ 穿过 $\mathbb{A}^2$. 因此 $\mathbb A^2\setminus 0$ 不可能是仿射概形.

另外, 仿射概形之间的映射何时是开嵌入, 也是一个比较复杂的问题. 答案是当且仅当对应的环同态为平坦, 有限表现同态, 且为环范畴中的满态射.

命题. 闭嵌入的拉回是闭嵌入, 开嵌入的拉回是开嵌入. 这就是说在拉回图 $$ \begin{array}{ccc} X & \rightarrow & Z \\ \downarrow & & \downarrow \\ Y & \rightarrow & W \end{array} $$ 中, 若 $Z\to W$ 为闭嵌入 (开嵌入), 则 $X\to Y$ 为闭嵌入 (开嵌入).

证明. 任取映射 $\operatorname{Spec}A\to Y$, 作如下拉回图. $$ \begin{array}{ccccc} \operatorname{Spec}A\times_Y X & \rightarrow & X & \rightarrow & Z \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \operatorname{Spec}A & \rightarrow & Y & \rightarrow & W \end{array} $$ 故 $\operatorname{Spec} A\times_Y X\to \operatorname{Spec} A$ 为闭 (开) 嵌入. 这说明 $f$ 是闭 (开) 嵌入.

命题. 闭嵌入的复合是闭嵌入.

命题. 开嵌入的复合是开嵌入. (这个命题的证明比较困难.)

定义 (开覆盖). 设 $X$ 为空间. 定义 $X$ 的一个开覆盖为一族开嵌入 $\{U_i\to X\}$, 使得对任意 $\operatorname{Spec} A\to X$ ($A\neq 0$) 都存在 $i$, $\operatorname{Spec} A\times_X U_i$ 不为空. 进一步, 若每个 $U_i$ 为仿射概形, 则称之为仿射开覆盖.

容易验证上述覆盖的概念满足 “覆盖” 应有的性质: 若 $\{U_i\to X\}$ 为开覆盖, 而对每个 $i$ 有 $\{V_{i,j} \to U_i\mid j\in J_i\}$ 为开覆盖, 则 $\{V_{i,j} \to X\}$ 为开覆盖.

命题. 设 $\{D(f_i) \to\operatorname{Spec} A\}$ 是 Zariski 覆盖, 那么它是仿射开覆盖.

证明. 任取映射 $\operatorname{Spec} B\to\operatorname{Spec} A$ ($B\neq 0$), 对应环同态 $\varphi\colon A\to B$, 那么存在 $f_i$ 使得 $\varphi(f_i)$ 非幂零元, 从而 $\operatorname{Spec} B\times_{\operatorname{Spec} A}D(f_i) \simeq \operatorname{Spec} (B[\varphi(f_i)^{-1}])\neq\varnothing$.

命题. 仿射概形的开覆盖总可以细化为 Zariski 覆盖.

证明. 设 $U \to \operatorname{Spec} A$ 为开嵌入. 由定义, $U = \operatorname{Spec} A \setminus \operatorname{Spec} (A/I)$. 我们证明 $U$ 被 $\{D(f)\mid f\in I\}$ 覆盖. 对任意 $\operatorname{Spec} B\to U$ ($B\neq 0$), 有对应的环同态 $\varphi\colon A\to B$, 且作为 $A$-模有 $B=IB$, 这说明存在 $f\in I$ 使得 $\varphi(f)$ 非幂零元, 从而 $\operatorname{Spec}B\times_{U}D(f)\neq\varnothing$.

定义 (局部闭嵌入). 对于空间映射 $X\to Y$, 若其可分解为 $X\to Z\to Y$, 而 $X\to Z$ 为闭嵌入, $Z\to Y$ 为开嵌入 (注意顺序: 先闭嵌入, 后开嵌入), 则称 $X\to Y$ 为局部闭嵌入.

例. 映射 $\operatorname{Spec} k[t,t^{-1}] \hookrightarrow\operatorname{Spec} k[x,y]$, $t\mapsto (t,0)$ 为局部闭嵌入.

代函子 [代函子]

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观念

代函子 (profunctor) 是函子的推广, 类似于关系是函数的推广.

充实范畴之间的代函子又称为充实范畴上的双模.

单对象的充实范畴之间的代函子 (双模) 是代数同态的推广. 对于交换环 $R$, 全体单对象 $\mathsf{Mod}(R)$-充实范畴 (即 $R$-代数) 以及代函子 (即双模) 构成的 $2$-范畴正是 Morita 范畴.

定义

范畴 $\mathcal C$ 到 $\mathcal D$ 的代函子 (profunctor) 是指函子 $\mathcal C \times \mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 也即 $\mathcal C$ 到预层范畴 $\mathsf{Psh}(\mathcal D)$ 的函子 $\mathcal C\to \mathsf{Psh}(\mathcal D)$. 代函子有时也记作 $\mathcal C$ ⇸ $\mathcal D$.

当然, 充实范畴也有类似的概念.

复合

代函子 $f\colon \mathcal C\times\mathcal D^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 与 $g\colon \mathcal D\times\mathcal E^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Set}$ 的复合是代函子 $gf\colon \mathcal C\times\mathcal E^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, 可用如下余端表示: $$ gf(c,e) := \int_{d\in \mathcal D} f(c,d)\times g(d,e). $$

全体范畴以及代函子构成一个 $2$-范畴.

充实范畴之间的代函子又叫双模, 代函子的复合即是双模的张量积. 对于单对象充实范畴, 参见结合代数上的模.

同态集

代函子 $f\colon \mathcal C\times\mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ 到 $g\colon \mathcal E\times\mathcal D^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 的同态集是代函子 $[f,g]\colon \mathcal E\times\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, $$ [f,g](e,c) := \operatorname{lim}_d \operatorname{Hom}(f(c,d),g(e,d)). $$

充实范畴之间的代函子的同态集即是双模的同态集.

性质

与普通函子的关系

普通的函子 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 给出两个代函子:

$\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(f(-),-) \colon \mathcal D \otimes\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$;
$\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(-,f(-)) \colon \mathcal C \otimes\mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$.

充实范畴 [充实范畴]

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观念

充实范畴是范畴的推广, 其对象之间的 “态射集” 不是集合, 而是更一般的幺半范畴的对象.

$n$-范畴可视为充实于 $(n-1)$-范畴的范畴. 这里, $n$-范畴指的是 $(\infty,n)$-范畴.
充实于 $\mathsf{Ani}$ 的范畴就是 $(\infty ,1)$-范畴.
充实于 $k$-模谱范畴 $\mathsf{Vect}_k$ 的范畴即是 DG 范畴.

定义

传统

设 $\mathcal{V}$ 为幺半范畴, 定义 $\mathcal{V}$-充实范畴 $\mathcal C$ 为如下结构: 一族对象 $\operatorname{ob}(\mathcal C)$, 每两个对象之间有一个态射对象 $\operatorname{Hom}(x,y)\in\operatorname{ob}(\mathcal{V})$, 每三个对象之间有一个复合态射 $$ \circ\colon \operatorname{Hom}(y,z)\otimes \operatorname{Hom}(x,y) \to \operatorname{Hom}(x,z). $$

使用代数胚

充实范畴是结合代数的推广, 是一种代数胚.

…

参考 Gepner–Haugseng, Hinich, Stefanich.

性质

充实用范畴的更换

设 $F \colon \mathcal V \to \mathcal V'$ 为松幺半函子, 则由 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal C$ 可得 $\mathcal V'$-充实范畴 $\mathcal C'$, 其中 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C'}(X,Y) = F(\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)). $$ 特别地, 松幺半函子 $F\colon \mathcal V\to\mathcal V'$ 将 $\mathcal V$ 中的结合代数变为 $\mathcal V'$ 中的结合代数.

假设函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(1_{\mathcal V},-) \colon \mathcal V \to \mathsf{Set}$ 是松幺半的, 那么 $\mathcal V$-充实范畴可变为普通范畴, 这个普通范畴有时称为其底层范畴.

充实范畴的张量积

设 $\mathcal V$ 为幺半范畴, 则对于 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A,\mathcal B$, 可定义 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A\otimes\mathcal B$, 其对象为 $(a,b)$, $a\in\mathcal A$, $b\in\mathcal B$; 态射为 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal A\otimes \mathcal B}((a,b),(a',b')) := \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(a,a')\otimes\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(b,b'). $$

充实范畴上的模

当 $\mathcal V$ 为余完备闭对称幺半范畴时, $\mathcal V$-充实范畴上可定义左模, 右模, 双模, Morita 等价等等概念; 见充实范畴上的模.

与模的关系

参考 Stefanich 第 4 章.

设 $\mathcal V$ 为可表现对称幺半范畴, 则 $\mathsf{Pr}$ 中的 $\mathcal V$-模 $\mathcal A$ 可视为 $\mathcal V$-充实范畴, 满足 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(v\otimes a,a')\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(v,\operatorname{Hom}(a,a')). $$

另一方面, $\mathcal V$-充实范畴也可自由地生成 $\mathcal V$-模: 对于 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A$, 其上的预层的范畴, 也即 $\mathcal A$-右模的范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V)$ 是其自由生成的 $\mathcal V$-模.

充实范畴与模的关系用在了高阶可表现范畴的基本定义中.

充实范畴上的模 [充实范畴上的模]

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观念

结合代数可视为单对象充实范畴. 充实范畴上的模是结合代数上的模和预层的共同的推广.

充实范畴 $\mathcal A$ 上的模范畴 $\mathsf{LMod}(\mathcal A)$, $\mathsf{RMod}(\mathcal A)$ 是结合代数上的模范畴的推广, 其之间的等价是 Morita 等价的推广.

注意. 这里所说的 “充实范畴上的模” 与 “幺半范畴上的模” 是不同的概念. 后者指的是将幺半范畴视为 $\mathsf{Cat}$ 中的结合代数, 然后考虑结合代数上的模. 而前者中的充实范畴 $\mathcal A$ 甚至不一定是结合代数.

但是, $\mathcal V$-充实范畴与 $\mathcal V$ (作为结合代数) 上的模是有关系的. 确切地说两者之间有一个自由-遗忘伴随: $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A$ 上的右模范畴 $[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V]$ 是其自由生成的 $\mathcal V$-模.

定义

设 $\mathcal V$ 为余完备闭对称幺半范畴. 对于 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A$, 定义 $\mathcal A$-左模的范畴为充实函子范畴 $$ \mathsf{LMod}(\mathcal A) := [\mathcal A,\mathcal V], $$ $\mathcal A$-右模的范畴为 $$ \mathsf{RMod}(\mathcal A):= \mathsf{LMod}(\mathcal A^{\mathrm{op}})= [\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V]. $$

对于两个 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A,\mathcal B$, 定义 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模的范畴为 $$ \mathsf{BMod}(\mathcal A,\mathcal B) := \mathsf{LMod}(\mathcal A\otimes\mathcal B^{\mathrm{op}}) = [\mathcal A\otimes\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathcal V]. $$ 双模又叫代函子 (profunctor).

$\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A$ 自身可作为 $(\mathcal A,\mathcal A)$-双模 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$, $(a,a')\mapsto \operatorname{Hom}(a',a)$.

性质

双模的张量积

定义 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模 $M\colon \mathcal A\otimes\mathcal B^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ 和 $(\mathcal B,\mathcal C)$-双模 $N\colon \mathcal B\otimes\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ 在 $\mathcal B$ 上的张量积 $M\otimes_{\mathcal B}N\colon \mathcal A\otimes\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal V$ 为 $$ M\otimes_{\mathcal B} N (a,c):= \operatorname{colim}_{b\in\mathcal B} M(a,b)\otimes N(b,c). $$ 特别地, $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模给出函子 $\mathsf{RMod}(\mathcal A) \to \mathsf{RMod}(\mathcal B)$. 若将双模视为 $\mathcal A$ 到 $\mathcal B$ 的代函子, 则双模的张量积是代函子的复合. 若将双模视为模范畴之间的函子, 则双模的张量积也是模范畴之间的函子的复合.

中心

回忆环 $R$ 上的代数 $A$ 的中心是 $R$, 意味着 $A$ 作为 $A\otimes A^{\mathrm{op}}$-模的自同态环为 $R$. 这推广为如下定义.

定义 (中心 $\mathcal V$-充实范畴). 设 $\mathcal A$ 是 $\mathcal V$-充实范畴. 若 $\mathcal A$ 作为 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}$-模的自同态对象为 $\mathcal V$ 的始对象 (换言之, 函子 $\mathcal I \to \mathsf{Mod}(\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}})$, $*\mapsto\mathcal A$ 全忠实), 则称 $\mathcal A$ 为中心 $\mathcal V$-充实范畴.

生成元

回忆, 对环 $R$ 上的代数 $A$ 以及 $A$-模 $M$, 称 $M$ 为 $\mathsf{Mod}(A)$ 的生成元是指 $\operatorname{Hom}_A(M,-)$ 反映同构; 即 $A$-模同态 $f\colon X\to Y$ 为同构当且仅当 $\operatorname{Hom}(M,X) \to \operatorname{Hom}(M,Y)$ 为同构.

设 $M$ 为 $(A,B)$-双模, 则有函子 $\operatorname{Hom}(M,-) \colon \mathsf{RMod}(A) \to \mathsf{RMod}(B)$. 若该函子反映同构, 则称 $M$ 为强生成元 (strong generator).

定义. 设 $\mathcal A,\mathcal B$ 为 $\mathcal V$-充实范畴, $M$ 为 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模. 若 $$ \mathsf{RMod}(B)\to\mathsf{RMod}(A), $$ $$ (F\colon \mathcal B\to\mathcal V)\mapsto (A\mapsto \operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}(\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathcal V)}(M(A,-),F)) $$ 反映同构, 则称 $M$ 为强生成元.

Morita 等价

命题-定义. 设 $\mathcal A,\mathcal B$ 为 $\mathcal V$-充实范畴. 若如下等价条件成立, 则称 $\mathcal A,\mathcal B$ Morita 等价:

$\mathsf{RMod}(\mathcal A)$ 与 $\mathsf{RMod}(\mathcal B)$ 作为 $\mathcal V$-充实范畴相等价;
存在 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模 $M$ 以及 $(\mathcal B,\mathcal A)$-双模 $N$ 使得 $$ M\otimes_{\mathcal B} N \simeq \mathcal A,\,N\otimes_{\mathcal A}M\simeq\mathcal B. $$

对于一个具体的双模, 如下命题刻画了其何时为 Morita 等价.

命题. 对于 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A,\mathcal B$ 以及 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模 $M$, 如下条件等价.

$M$ 是 Morita 范畴中的可逆 $1$-态射, 即 $M$ 构成了 $\mathcal A$ 到 $\mathcal B$ 的 Morita 等价;
若将 $M$ 视为函子 $\mathcal A \to\mathsf{Fun}(\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathcal V)$, 则其沿米田嵌入的左 Kan 扩张 $\operatorname{LKE}(M)\colon \mathsf{Fun}(\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V)\to \mathsf{Fun}(\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathcal V)$ 为等价;
$M$ 为强生成元, 有右伴随, 且函子 $\mathcal A \to\mathsf{Fun}(\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathcal V)$ 全忠实.

伴随

双模的伴随即是 Morita 范畴 (作为 $2$-范畴) 中的伴随.

小投射模

命题. 设 $R$ 为交换环, $A,B$ 为 $R$-代数, $M$ 为 $(A,B)$-双模. 那么 $M$ 有右伴随当且仅当 $M$ 为有限生成投射 $B$-模.

定义. 设 $\mathcal A,\mathcal B$ 为 $\mathcal V$-充实范畴, $M$ 为 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模. 若 $M$ 有右伴随, 则称其为小投射 (small projective) $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模.

可分充实范畴

可分充实范畴是可分代数的推广.

设 $\mathcal A$ 为 $\mathcal V$-充实范畴, 若 $\mathcal A$ 作为 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}$-模 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal V$ 为小投射模, 则称 $\mathcal A$ 可分 (separable).

分配格 [分配格]

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定义

分配格是交与并互相满足分配律的格:

$x \land (y \lor z) = (x\land y) \lor (x\land z)$;
$x\lor (y\land z) = (x\lor y) \land (x\lor z)$.

性质

对称性

设 $L$ 是分配格, 则 $L^{\mathrm{op}}$ 也是分配格.

例

开子空间

拓扑空间的开集构成分配格.
对于位象 $X$, $\mathcal O(X)$ 为分配格.

向下封闭子集

对任意偏序集 $P$, 其向下封闭子集的全体 $\mathsf{Down}(P)$ 构成分配格.

注意到偏序集 $P$ 的向下封闭子集也可以视为函子 $$ P \to \{0 < 1\}, $$ 故 $\mathsf{Down}(P)$ 可视为函子范畴 $\mathsf{Fun}(P,\{0<1\})$, 也即 $P^{\mathrm{op}}$ 上的 ($(0,1)$-范畴意义的) 预层范畴. 由此及 $\{0<1\}$ 是分配格可以立刻看出 $\mathsf{Down}(P)$ 是分配格.

定理 (Birkhoff). 每个有限分配格都是某个偏序集上的预层范畴.

该定理可理解为一般的预层范畴的识别定理在 $(0,1)$-范畴语境下的特例. 这里的有限性保证了一个素元 $x\in P$ 一定是完全素元 (即为完全紧对象), 也即 $\operatorname{Hom}(x,-)\colon P\to \{0<1\}$ 保持余极限.

单纯集 [单纯集]

百科
SimplicialCat

定义

单纯集是单纯形范畴 $\Delta$ 上的预层, 即集合范畴中的单纯对象.

盲人摸象 [盲人摸象]

参考资料
我

项目 (包括 tex 源代码): https://github.com/SimplicialCat/topos

PDF : https://simplicialcat.github.io/topos.pdf

2023 年开始的项目, 包含 $1$-意象的基本知识, 位象的概念, 以及范畴论和一阶逻辑基础.

内容

1 意象的范畴论性质
- 1.1 范畴论基本概念
- 1.2 意象
- 1.3 更多范畴论结构
2 位象: 无点拓扑学
- 2.1 基本概念
- 2.2 位象的几何性质
- 2.3 位象与逻辑
3 意象与空间的概念
- 3.1 拓扑空间上的层与平展空间
- 3.2 位象上的层与平展空间
- 3.3 范畴上的预层
- 3.4 景
- 3.5 层化与 Grothendieck+构造
- 3.6 Grothendieck 意象
- 3.7 Lawvere–Tierney 拓扑,内蕴层化与局部化
- 3.8 意象之间的态射
- 3.9 景之间的态射
- 3.10 意象的几何性质
- 3.11 Giraud 定理
- 3.12 等变层与拓扑群胚
- 3.13 意象的余极限
4 意象的内语言
- 4.1 Mitchell–Bénabou 语言
- 4.2 Kripke–Joyal 语义
- 4.3 不同意象的内语言的联系
5 语法景与分类意象
- 5.1 语法范畴:语法–语义对偶
- 5.2 分类意象
6 意象理论的应用
- (这一章没有完成)
A 范畴论基础
- A.1 $2$-范畴
- A.2 伴随
- A.3 自反子范畴与局部化
- A.4 预层范畴与米田嵌入
- A.5 (余)滤范畴和(余)滤(余)极限
- A.6 可表现范畴
- A.7 Kan扩张
- A.8 单子论
- A.9 万有代数
- A.10 纤维范畴与索引范畴
- A.11 下降
B 形式逻辑和范畴逻辑基础
- B.1 一阶逻辑
- B.2 一阶逻辑的范畴语义
- B.3 高阶逻辑
- B.4 类型论
- B.5 模态逻辑
术语和符号表
参考文献

箭图 [箭图]

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定义

箭图 (quiver) $Q$ 是允许有多箭头或圈的有向图.

箭图也可理解为如下范畴上的预层:

对象: $e,v$;
态射: $s,t\colon e\to v$.

因此箭图的范畴是一个 $1$-意象.

性质

路代数

箭图 $Q$ 上的一条路是一列箭头 $a_n\cdots a_1$, 使得当 $1\leq i <n$ 时, $a_i$ 的终点等于 $a_{i+1}$ 的起点. 另外, 我们规定每个顶点 $x$ 处有一个平凡道路 $e_x$.

固定域 $k$. 箭图 $Q$ 的路代数 (path algebra) $kQ$ 作为向量空间由所有的路生成; 其乘法由路的连接给出. 当 $Q$ 的顶点数有限时, 每个顶点处平凡道路的和对应 $kQ$ 的乘法单位元; 否则 $kQ$ 没有乘法单位元.

表示

箭图 $Q$ 的一个表示是如下信息: 对每个顶点 $x$ 指定一个 $k$-线性空间 $V_x$, 对每条边 $x\to y$ 指定一个线性映射 $V_x\to V_y$.

箭图 $Q$ 的表示等同于路代数 $kQ$ 上的模:

给定 $Q$ 的表示, 令 $V=\bigoplus_x V_x$ 得到 $kQ$-模.
给定 $kQ$-模 $V$, 令 $V_x=e_x V$ 得到 $Q$ 的表示.

例

Ext-箭图

设 $k$ 为代数闭域, $\Lambda$ 为有限维 $k$-代数. 定义其 Ext-箭图 $Q(\Lambda)$ 是以 $\Lambda$-单模的同构类为顶点, 每两点 $S_i,S_j$ 之间 $\dim_k\operatorname{Ext}_{\Lambda}^1 (S_i,S_j)$ 条边构成的箭图.

米田嵌入 [米田嵌入]

百科
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观念

米田嵌入是将范畴 $\mathcal C$ 中的对象视为 $\mathcal C$ 上的预层的过程.

性质

全忠实性

米田嵌入是全忠实函子; 换言之, 可表函子之间的态射等同于原来的对象之间的态射. 这是米田引理的一个特殊情形.

米田引理 [米田引理]

百科
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观念

范畴 $\mathcal C$ 上的预层 $X\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ 可视为 $\mathcal C$ 中的广义对象, 因为我们可以谈论 $\mathcal C$ 中的普通对象到它的态射: 对于普通对象 $c$, 其到 $X$ 的态射集即为集合 $X(c)$. 米田引理告诉我们, 若通过米田嵌入将普通对象 $c$ 也视为广义对象, 即 $\mathbf{y}(c)$, 那么广义对象之间的态射 $\mathbf{y}(c) \to X$ 的集合确实等同于 $X(c)$.

米田引理的一个常用的特殊情形是, 对于两个可表函子 $\mathbf{y}(c), \mathbf{y}(c')$, 态射 $\mathbf{y}(c) \to \mathbf{y}(c')$ 等同于态射 $c\to c'$. 即米田嵌入是全忠实的. 特别地, 若有自然同构 $\mathbf{y}(c) \simeq \mathbf{y}(c')$, 则有同构 $c\simeq c'$. 这导致了如下的口号: 一个范畴 $\mathcal C$ 的对象可以通过它与范畴 $\mathcal C$ 中所有对象的关系来了解.

定义

…

我们不需要定义米田引理, 只需要给出单纯百科中所有指向这个页面的链接. (这是一个玩笑.)

例

错误示例

我们给出一个错误地使用米田引理的例子以警示读者.

我们知道对于两个集合 $A,A'$, 若自由群 $FA$ 与 $FA'$ 同构, 则 $A$ 与 $A'$ 作为集合同构 (等势). 这个事实可以通过 Abel 化再与 $\mathbb{Q}$ 作张量积求线性空间维数来证明.

然而, 一位朋友提出了如下使用米田引理的错误证明. 由于自由-遗忘伴随 $$ F \colon \mathsf {Set} \leftrightarrows \mathsf {Grp} \colon U $$

我们有自然同构 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf {Grp}}(F-,-) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf {Set}}(-,U-). $$ 条件中的同构 $FA \simeq FA'$ 给出了函子的自然同构 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf {Grp}}(FA,-) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf {Grp}}(FA',-) $$ 从而有函子的自然同构 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf {Set}}(A,U-) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf {Set}}(A',U-) $$ 由于对任意集合 $C$, 存在群 $B$ 使得 $C \simeq UB$, 这说明有自然同构 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf {Set}}(A,-) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf {Set}}(A',-), $$ 最后, 由米田引理, 这说明 $$ A \simeq A'. $$

上述证明错在哪里?

结合代数上的模 [结合代数上的模]

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观念

结合代数 $A$ 可视为单对象充实范畴 $\mathbf{B}A$; 在这种意义上, 结合代数上的模可以推广为充实范畴上的模或者预层: $$ \mathsf{LMod}(A) = \mathsf{Psh}(\mathbf{B}A). $$

结合代数 $A$ 给出单子 $A\otimes (-)$; 在这种意义上, 结合代数上的模可以推广为单子上的模. $$ \mathsf{LMod}(A) = \mathsf{Mod}(A\otimes (-)). $$

结合代数上的模范畴可视为结合代数的范畴的切范畴.

更一般地, 对于幺半范畴 $\mathcal C$ 上的模 $\mathcal M$ 以及 $\mathcal C$ 中的结合代数 $A$, 可以谈论 $\mathcal M$ 中的 $A$-模.

另外, 对一般的算畴上的代数也可定义模的概念; 但这个概念对于结合算畴给出的是双模, 而非左模或右模.

定义

通过算畴

考虑算畴 $\mathsf{LM}$, 作为多重范畴有两个对象 $a,m$, 且有

$\operatorname{Hom}_{\mathsf{LM}}(a\cdots a,a) = 1$,
$\operatorname{Hom}_{\mathsf{LM}}(a\cdots am,m) = 1$,
其它 $\operatorname{Hom}$ 为空.

设 $\mathcal C$ 是幺半范畴, $A$ 是 $\mathcal C$ 中的结合代数. 左模范畴 $\mathsf{LMod}_{\mathcal C}(A)$ 是如下纤维: $$ \mathsf{LMod}_{\mathcal C}(A) := \{A\} \times_{\mathsf{Alg}_{\mathbb E_1}(\mathcal C)}\mathsf{Alg}_{\mathsf{LM}}(\mathcal C). $$

通过单子

假设我们定义了单子上的代数, 那么可以如下定义结合代数上的模: 对于结合代数 $A$ 有单子 $T_A := A\otimes -$; 定义 $$ \mathsf{LMod}(A) := \mathsf{Alg}(T_A). $$

性质

相对张量积

在具有单纯余极限的范畴 $\mathcal C$ 中, 对于结合代数 $A$ 上的右模 $M$ 与左模 $N$, 可作相对张量积 $$ M\otimes_A N := \operatorname{colim}_{\Delta} M\otimes A^{\otimes\bullet}\otimes N. $$ $M\otimes_A N$ 一般没有 $A$-左模或右模结构.

张量积也可以理解为 $\mathcal C$-充实范畴之间的代函子 $\mathbf{B}A\to\mathcal C$ 的复合 $$ \operatorname{colim}_{\mathbf{B}A} M\otimes N. $$

通过取模范畴嵌入高阶模范畴

命题. 设 $\mathcal C\in\mathsf{Alg}(\mathsf{Pr})$ 为可表现幺半范畴. 函子 $\mathsf{Alg}(\mathcal C) \to \mathsf{LMod}_{\mathsf{Pr}}(\mathcal C)$, $A\mapsto\mathsf{LMod}(A)$ 为全忠实函子, 且保持余极限.

这说明取模范畴这一操作将结合代数提升到更高范畴层级. 参见 Gestalten - 在范畴上做代数.

例

交换代数上的模

交换代数上的模, 即是其作为结合代数的左模或右模. 注意, 交换代数上的左模或右模等同于其上的 $\mathbb{E}_\infty$-模 (见算畴上的代数上的模), 但不同于其上的双模.

预层意象 [预层意象]

百科
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预层意象指的是某范畴上 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 取值的预层构成的意象.

性质

预层范畴之间的伴随 [预层范畴之间的伴随]

观念

预层范畴之间的伴随是范畴论中十分常见的一种现象, 指的是范畴 $\mathcal C$, $\mathcal D$ 之间的函子诱导的预层范畴 $\widehat {\mathcal C} = \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\widehat {\mathcal D} = \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 之间的伴随.

当然, 充实范畴中也有相应的现象.

预层范畴之间的伴随是是 Kan 扩张的特例, 而数学中的许多现象又是它的特例.

陈述

函子 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 诱导预层范畴 $\widehat {\mathcal C} = \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\widehat {\mathcal D} = \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 之间的伴随 $$ f_! \dashv f^* \dashv f_*, $$ 其中

$f^*\colon \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}) \to \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 是预层的拉回 (函子的复合), $$ (f^* X)(c) = X(f(c)). $$
拉回的左伴随 $f_!$ 是沿 $f$ 的左 Kan 扩张, $$ (f_! X)(d) = \operatorname{colim}_{d\to f(c)} X(c). $$
拉回的右伴随 $f_*$ 是沿 $f$ 的右 Kan 扩张, $$ (f_* X)(d) = \operatorname{lim}_{f(c)\to d} X(c). $$

代函子

左 Kan 扩张可视为代函子的复合, 右 Kan 扩张可视为代函子的同态集.

若将 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 视为 $\mathcal C$ 到 $\mathcal D$ 的代函子 $$ \widetilde f\colon \mathcal C\times\mathcal D^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Set},\, (c,d)\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(d,f(c)), $$ 将 $F\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 视为 $1$ 到 $\mathcal C$ 的代函子, 那么两者的复合为 $F\otimes_{\mathcal C}\widetilde f \colon \mathcal D^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, $$ d\mapsto\operatorname{colim}_{c} F(c)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(d,f(c)). $$

若将 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 视为 $\mathcal D$ 到 $\mathcal C$ 的代函子 $$ \bar f\colon \mathcal D\times\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set},\, (d,c)\mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(f(c),d), $$ 将 $F\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 视为 $1$ 到 $\mathcal C$ 的代函子, 那么 $\widetilde f$ 到 $F$ 的同态集为 $1$ 到 $\mathcal D$ 的代函子 $[\bar f,F]\colon \mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, $$ d\mapsto \operatorname{lim}_{c} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Set}} \big({\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(f(c),d)},F(c)\big). $$

伴随诱导预层范畴之间的伴随

设 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$, $g\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 是一对伴随, $f\dashv g$. 注意到 $$ \mathsf{Psh} = \operatorname{Hom}((-)^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})\colon \mathsf{Cat}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Cat} $$ 是 $2$-范畴之间的函子, 它保持伴随; 即 $f^*\colon \widehat {\mathcal D} \to \widehat {\mathcal C}$, $g^*\colon \widehat {\mathcal C} \to \widehat {\mathcal D}$ 也是一对伴随, $f^* \dashv g^*$. 换言之, $$ f^* = g_!,\quad f_* = g^*. $$ 这两个等价也可使用 $g_!$, $f_*$ 的具体表达式验证: $$ \begin{aligned} (g_! X) (c) &= \operatorname{colim}_{c\to g(d)} X(d) \\ &= \operatorname{colim}_{f(c)\to d} X(d)\\ &= X(f(c)) = (f^*X) (c), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (f_* X) (d) &= \operatorname{lim}_{f(c)\to d} X(c) \\ &= \operatorname{colim}_{c\to g(d)} X(c)\\ &= X(g(d)) = (g^*X) (d). \end{aligned} $$

总结起来, 对于伴随 $f\dashv g$, 有预层范畴之间的四元伴随 $$ f_! \dashv (f^*=g_!) \dashv (f_*=g^*) \dashv g_*. $$

性质

对可表函子的作用

设函子 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 诱导预层范畴 $\widehat {\mathcal C} = \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\widehat {\mathcal D} = \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 之间的伴随 $$ f_! \dashv f^* \dashv f_*, $$ 则对于 $c\in \mathcal C$, 有 $f_! \mathbf{y}(c) = \mathbf{y}(f(c))$.

先推再拉

当 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 为全忠实函子, 即全子范畴的嵌入时, $$ \begin{aligned} f^*f_! X (c) &= f_! X(f(c))\\ &= \operatorname{colim}_{f(c) \to f(c')} X(c')\\ &= \operatorname{colim}_{c \to c'} X(c') = X(c), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f^*f_* X (c) &= f_* X(f(c))\\ &= \operatorname{lim}_{f(c') \to f(c)} X(c')\\ &= \operatorname{lim}_{c' \to c} X(c') = X(c), \end{aligned} $$ 即两个自然映射 $f^*f_*\to X \to f^*f_! X$ 均为同构.