脉性单子 [脉性单子]

观念

脉性单子 (nervous monad) 是一个类似于带元数的单子的概念, 比它稍弱一些. 大致上, 对于给定的子范畴 $\mathcal A\subset\mathcal E$, 称单子 $T\colon \mathcal E\to\mathcal E$ 具有 “脉性”, 说的是 $T$-代数可以用 $\mathcal A$ 的对象生成的自由代数来探测, 从而给出一个脉的刻画.

定义

预理论与单子

固定稠密全子范畴 $\mathcal A\subset\mathcal E$, 定义 $\mathcal A$-预理论 (pretheory) 为本质满函子 $$ j\colon \mathcal A \to \mathcal K. $$ 这里的直观是 $\mathcal K$ 就像一个 Kleisli 范畴, 其中的对象是元数, 态射是一个代数理论中的变量代换. 记预理论的范畴为 $\mathsf{Pth}(\mathcal A)$. 定义预理论 $\mathcal K$ 的模型的范畴为如下拉回, $$ \begin{CD} \mathsf{Mod}_{\mathcal E}(\mathcal K) @>>> \widehat {\mathcal K} \\ @VVV @VV{j^*}V \\ \mathcal E @>>{\nu_{\mathcal A}}> \widehat {\mathcal A} \end{CD} $$ 其中 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A}$ 为脉函子; 由于 $\mathcal A$ 的稠密性, $\nu_{\mathcal A}$ 为全忠实函子.

由于 $j\colon \mathcal A\to\mathcal K$ 本质满, 可知 $j^*\colon \widehat {\mathcal K} \to \widehat {\mathcal A}$ 单子性, 进而 (由可表现范畴的性质) 其拉回 $\mathsf{Mod}(\mathcal E)(\mathcal K)\to\mathcal E$ 单子性, 即存在单子 $\mu^{\mathcal K}$ 使得 $\mathsf{Mod}_{\mathcal E}(\mathcal K) \simeq \mathcal E^{\mu^{\mathcal K}}$.

这给出 $\mathcal A$-预理论到 $\mathcal E$ 上的单子的一个对应 $$ \mu\colon \mathsf{Pth}(\mathcal A) \to \mathsf{Mnd}(\mathcal E). $$

另一方面, 对 $\mathcal E$ 上任何单子 $T$, 考虑其 Kleisli 范畴 $\mathcal E \to \mathsf{Kl}(T)$ 中 $\mathcal A$ 的本质像, 都给出一个 $\mathcal A$-预理论, 记作 $\mathcal A \to \operatorname{Th}(T)$. 事实上这两个过程构成一对幂等伴随 $$ (\mu \dashv \operatorname{Th})\colon \mathsf{Pth}(\mathcal A) \rightleftarrows \mathsf{Mnd}(\mathcal E). $$

定义. 上述幂等伴随的不动点称为 $\mathcal A$-脉性单子.

例

代数模式

设 $\mathcal O$ 为代数模式, 即一个范畴 $\mathcal O$ 带有正交分解系 $(\mathcal O_{\mathrm{act}},\mathcal O_{\mathrm{int}})$ 以及全子范畴 $i\colon \mathcal O_{\mathrm{el}} \subset \mathcal O_{\mathrm{int}}$. 考虑脉函子 $$ \nu_i \colon \mathcal O_{\mathrm{int}} \to \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} $$ 的脉函子 $$ \nu_{\nu_i} \colon \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} \to \widehat {\mathcal O_{\mathrm{int}}}; $$ 它等同于沿 $i\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$ 的右 Kan 扩张 $i_*$, 因此 Segal 对象的范畴为如下的拉回: $$ \begin{array}{ccc} \mathsf{Seg}_{\mathcal O} & \rightarrow & \widehat {\mathcal O} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} & \rightarrow & \widehat {\mathcal O_{\mathrm{int}}}. \end{array} $$

注意 $i$ 全忠实蕴涵 $\nu_i$ 稠密, 且 $\nu_{\nu_i} = i_*$ 全忠实. 因此 Segal 对象的范畴 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O}$ 正是 $\mathcal O_{\mathrm{int}}$-预理论 $\mathcal O_{\mathrm{int}}\to \mathcal O$ (注意这是个本质满函子) 的模型的范畴.