分层 [分层]

空间上的分层 (stratification) 是将其分解为一个偏序集参数化的若干子空间的方法.

定义

分层空间是拓扑空间 $X$ 带有到某个偏序集 $P$ 的连续映射, 其中 $P$ 带有 Alexandroff 拓扑.

例

半开半闭区间

半开半闭区间 $[0,1)$ 是个分层空间, 点 $0$ 是一层, 剩下的开区间 $(0,1)$ 是一层. 这个分层对应映射 $[0,1) \to \{\bot,\top\}$, $0\mapsto\bot$, $x\mapsto\top\,(x>0)$.

锥

对任意分层空间 $X\to P$, 定义其闭锥为分层空间 $$ \frac{X\times [0,1]}{X\times \{0\}}\to P^{\triangleleft} $$ (若将 $[0,1]$ 替换为 $[0,1)$, 则称为开锥), 其中 $P^{\triangleleft}$ 表示 $P$ 上的左锥.

空集的锥为单点. 一般地, $\Delta^n$ 的锥为 $\Delta^{n+1}$, 这给出了单纯形上的分层结构; 进而有单纯形范畴到分层空间范畴的嵌入 $$ \Delta \to \mathsf{Strat}. $$