分层 [分层]
分层 [分层]
空间上的分层 (stratification) 是将其分解为一个偏序集参数化的若干子空间的方法.
定义
分层空间是拓扑空间 $X$ 带有到某个偏序集 $P$ 的连续映射, 其中 $P$ 带有 Alexandroff 拓扑, 即开集为向上封闭集, 闭集为向下封闭集.
分层空间之间的映射为交换方块.
定义一个分层空间的深度为其中偏序集中最长严格递增链的长度.
性质
- 分层空间的任何开子空间继承分层结构.
例
半开半闭区间
半开半闭区间 $[0,1)$ 是个分层空间, 点 $0$ 是一层, 剩下的开区间 $(0,1)$ 是一层. 这个分层对应映射 $[0,1) \to \{\bot,\top\}$, $0\mapsto\bot$, $x\mapsto\top\,(x>0)$.
锥
对任意分层空间 $X\to P$, 定义其闭锥为分层空间 $$ \frac{X\times [0,1]}{X\times \{0\}}\to P^{\triangleleft} $$ (若将 $[0,1]$ 替换为 $[0,1)$, 则称为开锥), 其中 $P^{\triangleleft}$ 表示 $P$ 上的左锥.
注意空集的锥为单点.
单形
对于自然数 $n$, 拓扑 $n$ 维单形 $|\Delta^n|$ 上的锥为 $|\Delta^{n+1}|$, 这归纳地给出了拓扑单形上的分层结构 $$ (|\Delta^n| \to [n]) \in \mathsf{Strat}, $$ 进而有单纯形范畴到分层空间范畴的嵌入 $$ \Delta \to \mathsf{Strat},\,[n]\mapsto (|\Delta^n|\to [n]). $$
群作用
对于拓扑空间 $X$ 上的有限群作用, 根据各点 $x\in X$ 的稳定子可给出 $X$ 上的分层.
碰撞与构形空间
对于拓扑空间 $X$ 与有限集 $I$, 空间 $X^I$ 可以根据点的碰撞来分层, 最上层为 $I$ 个点的 (有序) 构形空间.
另见 Ran 空间.