观念
作为集合范畴的推广
意象 (topos) 是一种具有类似集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质的范畴; 这些性质使得意象的内语言能够支持集合的许多操作, 如构造两个集合 $X,Y$ 的无交并 $X + Y$, 乘积 $X\times Y$, 映射的集合 $Y^X$ 等等.
不过需要注意的是, 意象的内语言所支持的逻辑是直觉主义逻辑, 而不一定是经典逻辑 (见 Boole 意象), 其中排中律和选择公理可能不成立. 例如拓扑空间上的层意象一般不是 Boole 意象, 原因来自于开集的补集不一定是开集.
没有人能将我们驱逐出 Contor 为我们创造的 (集合论的) 天堂. —— David Hilbert (1926)
而意象理论告诉我们, 在集合论的天堂之外还有无穷无尽的世界, 而集合的世界只是这片无穷无尽的森林中的第一棵树.
作为几何对象
L’objet de la Topologie est l’étude des topos (et non des seuls espaces topologiques).
拓扑学的目标是研究意象, 而不仅是拓扑空间.
—— Grothendieck, SGA 4
关于译名 “意象”
关于译名“意象“
定义
Grothendieck 意象
SGA 4 最早引入了 “意象 (topos)” 这一概念, 后来为了区分另一个稍有不同的概念, 称之为 Grothendieck 意象.
定义. Grothendieck 意象是指某个景上的层的范畴.
这一定义体现了意象作为几何对象的观念. 通常几何对象上具有 “开集” 与 “覆盖” 的概念, 形成景的结构; 那么这个景上的层的范畴可以视为该几何对象在意象理论中的化身.
定义. Grothendieck 意象是某个预层范畴的正合局部化.
Giraud 公理
据 SGA 4 记载, Grothendieck 的学生 Giraud 惊人地给出了 Grothendieck 意象的纯范畴论刻画, 后来称为 Giraud 公理. 这一定义说明意象还具有一种独立于几何对象的观点.
定义. 称范畴 $\mathcal C$ 满足 Giraud 公理是说如下条件成立:
- $\mathcal C$ 为可表现范畴;
- $\mathcal C$ 中的拉回保持余极限;
- $\mathcal C$ 中的和无交 (即 $X + Y$ 的子对象 $X$ 与 $Y$ 的交为始对象 $0$);
- $\mathcal C$ 中的满射均为有效满射.
初等意象
逻辑学家从内语言的视角出发考虑了初等意象的概念. Grothendieck 意象都是初等意象, 但反之不然.
定义. 初等意象 (elementary topos) 是满足如下条件的范畴 $\mathcal C$:
- $\mathcal C$ 中存在有限极限;
- $\mathcal C$ 是积闭范畴;
- $\mathcal C$ 中存在子对象分类子 $\Omega$.
初等意象的概念与 Grothendieck 意象最显著的区别在于去掉了可表现范畴的条件. 例如有限集的范畴 $\mathsf{Fin}$ 是初等意象, 而不是可表现范畴 (从而不可能是 Grothendieck 意象).
不过, 一般人们还是讨论可表现范畴与 Grothendieck 意象. 所以在后文 (以及单纯百科的其它页面) 中我们用 “意象” 来代指 Grothendieck 意象.
下降观点
参考 Cnossen.
意象的范畴论性质还可以更加简洁地概括为余极限上的俯意象的性质, 称为沿余极限的下降. 具体的定义如下.
定义. 意象是满足如下条件的可表现范畴 $\mathcal C$: 俯意象函子
$$
\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat},\, X\mapsto\mathcal C_{/X}
$$
保持极限. 换言之, 对于 $\mathcal C$ 中的余极限 $X=\operatorname{colim}_i X_i$, 有
$$
\mathcal C_{/X} \simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}.
$$
注 1. 上述定义中俯范畴的极限有如下计算方式: 对于 $X_\bullet \colon I\to\mathcal{C}$,
$$
\operatorname{lim}_i \mathcal{C}_{/X_i} \simeq \mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}(I,\mathcal{C})_{/X_\bullet},
$$
其中 $\mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}$ 是函子与 “拉回变换” (自然性所需的方块均为拉回方块的自然变换) 构成的范畴.
注 2. 可以具体写下两个方向的函子; 在具有拉回和余极限的范畴中这两个函子构成一对伴随; 其中
- 左伴随部分为 $\operatorname{colim} \colon \mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}(I,\mathcal{C})_{/X_\bullet}\simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}\to \mathcal{C}_{/X}$,
$$
(Y_\bullet\to X_\bullet)\mapsto (\operatorname{colim}_i Y_i \to \operatorname{colim}_i X_i).
$$
- 右伴随部分 $\mathcal{C}_{/X} \to \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}$ 是沿着每个 $X_i\to X$ 基变换.
我们观察伴随的单位和余单位.
- 单位: 对拉回变换 $Y_\bullet \to X_\bullet$, 对每个 $j\in I$, 单位给出同构
$$
Y_j \to (\operatorname{colim}_i Y_i)\times_{\operatorname{colim}_i X_i} X_j.
$$
- 余单位: 对 $Y\to X$, 记 $Y_i$ 为其沿 $X_i\to X$ 的拉回, 余单位给出同构
$$
\operatorname{colim}_i(Y_i) \simeq Y.
$$
换一种观点看待这个同构, 即沿 $Y\to X$ 的拉回保持余极限.
例.
- $\mathcal C_{/0} \simeq *$;
- $\mathcal C_{/(X+Y)} \simeq \mathcal C_{/X} \times \mathcal C_{/Y}$. 这个性质又叫可扩展性.
- ($\infty$-范畴语境下) $\mathcal{C}_{/\mathbf{B}G}\simeq\operatorname{lim}_{[n]\in\Delta}\mathcal{C}_{/G^n}$. 见群作用.
- ($\infty$-范畴语境下) 对于生象 $A$, $\mathcal{C}_{/\operatorname{colim}_A *} \simeq \operatorname{lim}_A \mathcal{C} \simeq \mathsf{Fun}(A,\mathcal{C})$.
性质
指数对象与幂对象
意象中的两个对象 $X,Y$ 之间可构造指数对象 $Y^X$ 与赋值映射 $\operatorname{ev}\colon Y^X\times X \to Y$, 满足伴随
$$
\operatorname{Hom}(Z,Y^X) \simeq \operatorname{Hom}(Z\times X,Y).
$$
对象 $X$ 的幂对象 $PX = \Omega^X$ 是幂集的类比, 满足 $\operatorname{Sub}(X\times Y)\simeq \operatorname{Hom}(Y,PX)$, 换言之, $PX$ 是 $\operatorname{Sub}(X\times -)$ 的表示对象.
例
$\mathsf {Set}^{\mathbb N}$, “随时间变化的集合”;
(??) 任何一个 Bool 代数, 其中的乘积是 “且” $X\wedge Y$, 指数 $Y^X$ 是 “蕴含” $X\Rightarrow Y$, 赋值映射是 “推理” $(X\Rightarrow Y)\wedge X \leq Y$;
$\mathsf {FinOrd}$, 有限基数的范畴, 其中指数是通常的指数;
层意象 $\operatorname{Sh}(X)$, “由 $X$ 连续参数化的一族集合”;
预层意象 $\mathsf {Set}^{C^{\mathrm{op}}}$, “由小范畴 $C$ 参数化的集合”.
位象, 又称 $0$-意象.