余完备化 [余完备化]

观念

余完备化是指向一个范畴自由地添加特定形状的余极限的过程.

具体地, 设 $R\subset K$ 是两族小范畴 (即 $R\hookrightarrow K \hookrightarrow\mathsf{Cat}$ 为全子范畴). 对于具有 $R$-形余极限的范畴 $\mathcal C$, 可在保持 $R$-形余极限的条件下, “自由地添加 $K$-形余极限”, 得到 $$ \mathcal C \hookrightarrow \mathsf{P}_{R}^K(\mathcal C). $$ 记 $\mathsf{Cat}_K$ 为具有 $K$-形余极限的范畴以及保持 $K$-形余极限的函子构成的 $2$-范畴, 那么 $\mathsf{P}_R^K\colon \mathsf{Cat}_R \to \mathsf{Cat}_K$ 是遗忘函子 $\mathsf{Cat}_K \to \mathsf{Cat}_R$ 的左伴随.

例

余积完备化

考虑 $K = \mathsf{Set}$ 为离散范畴的范畴, 那么 $\mathsf{P}^{K}(\mathcal C)$ 是 $\mathcal C$ 自由地添加余积所得的范畴; 其有一种具体构造: $\mathsf{P}^{K}(\mathcal C)$ 的对象为 $\mathcal C$ 的对象族 $(X_i)_{i\in I}$, 态射 $(X_i)_{i\in I} \to (Y_j)_{j\in J}$ 为映射 $f\colon I\to J$ 以及一族态射 $(X_i \to Y_{f(i)})_{i\in I}$. 这个范畴也可定义为松拉回

滤余完备化

考虑 $K$ 为滤范畴的范畴, 那么 $\mathsf{P}^K(\mathcal C)$ 是 $\mathcal C$ 自由地添加滤余极限所得的范畴. 其可构造为 ind-对象的范畴 $\mathsf{Ind}(\mathcal C)\subset \widehat {\mathcal C}$, 也可刻画为平坦函子 $\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 的范畴.