算畴上的代数上的模 [OpAlgMod]

观念

对于单色算畴 $\mathcal O$ 上的代数 $A$, 可以谈论 $A$-模. 这种模是如下的一个新的算畴 $\widetilde{\mathcal O}$ 上的代数:

记 $a$ 为算畴 $\mathcal O$ 唯一的颜色, 添加第二种颜色 $m$, 并且对每种运算 $a^n\to a$, 用 $m$ 代替左边的一个 $a$ 和右边的 $a$, 得到一种新的运算 $a\cdots a m a\cdots a \to m$, 即得到算畴 $\widetilde{\mathcal O}$.

定义

通过算子范畴

算畴 $\mathcal O$ 的一种定义是 $\mathsf{Fin}_*$ 上的纤维化 $p\colon \mathcal O^\otimes\to\mathsf{Fin}_*$, 称为算子范畴. 我们定义一个新的算畴 $\widetilde{\mathcal O}$ 的算子范畴 $\widetilde {\mathcal O}^\times$ 为如下拉回: $$ \begin{array}{ccc} \widetilde {\mathcal O}^\otimes & \rightarrow & \widetilde {\mathsf{Fin}}_* \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathcal O^\otimes & \rightarrow & \mathsf{Fin}_* \end{array} $$ 其中 $\widetilde {\mathsf{Fin}}_*$ 是

例

对于 $\mathbb E_1$-代数 (即结合代数) $A$, 其上的模即为双模.

性质

泛包络代数

算畴 $\mathcal O$ 上的代数 $A$ 上的模等同于一个结合代数上的左模, 这个结合代数称为 $A$ 的泛包络代数 $\mathcal UA$. Lie 代数的泛包络代数是这个概念的特例.