流形上的层 [流形上的层]

本文是 Kashiwara–Schapira 的 Sheaves on Manifolds 的阅读笔记.

2.* 层

设 $X$ 为拓扑空间. 对于 $X$ 上的层 $F$ 以及子集 $j\colon Z\hookrightarrow X$, 记 $$ F|_Z = j^*F. $$

定义. 对 $X$ 上的层 $F$ 以及局部闭子集 $Z$, 定义 $X$ 上的层 $F_Z$:

  • 当 $Z$ 为闭子集时, 定义 $$ F_Z = j_*j^* F. $$
  • 当 $Z$ 为开子集时, 定义 $$ F_Z = \ker (F \to F_{X\setminus Z}). $$
  • 当 $Z$ 为局部闭子集时, 设 $Z = U \cap A$, $U$ 为开子集, $A$ 为闭子集, 定义 $$ F_Z = (F_U)_A. $$

命题. 对任意满足 $G|_Z\simeq F|_Z$, $G|_{X\setminus Z}\simeq 0$ 的层 $G$, 有 $G\simeq F_Z$.

设 $U$ 为 $X$ 的开子集, $Z$ 为 $U$ 的闭子集, 定义 $$ \Gamma_Z(U,F) := \ker (F(U) \to F(U\setminus Z)). $$

注意 $\Gamma_Z(U,F)$ 仅取决于 $Z$ 的邻域, 其元素为支撑在 $Z$ 上的截面.

定义支撑在 $Z$ 上的截面层 $$ \Gamma_Z(F)\colon U\mapsto\Gamma_{Z\cap U}(U,F). $$

3.* Poincaré–Verdier 对偶

设 $f\colon Y\to X$ 是局部紧空间的映射, $Rf_!\colon D^+(A_Y) \to D^+(A_X)$ 有右伴随 $f^!$.

当 $Y$ 为 $n$ 维定向流形, $X$ 为一点时, $f^!\mathbb{Q}_{\mathrm{pt}} \simeq \mathbb{Q}_Y [n]$ (称作对偶复形), 从而伴随关系给出 $$ \operatorname{Hom}(R\Gamma_c\mathbb{Q}_Y,\mathbb{Q}_{\mathrm{pt}}) \simeq \operatorname{Hom}(\mathbb{Q}_Y,\mathbb{Q}_Y[n]) \simeq R\Gamma(\mathbb{Q}_Y)[n], $$ 取上同调得 $$ H^{n-j}_c(Y,\mathbb{Q}_Y)^*\simeq H^j(Y,\mathbb{Q}_Y). $$ 此即 Poincaré 对偶.

4.3 微局部化

设 $X$ 为 $n$ 维流形, $M\subset X$ 为闭子流形, 余维数为 $\ell$. 构造其法形变 (normal deformation) 流形 $\widetilde X_M$ 如下:

  • 考虑 $X$ 的局部 $U$. 取 $U$ 上的坐标 $x = (x',x'') \in \mathbb{R}^n$, 其中 $x'$ 为前 $\ell$ 个坐标, 满足 $U\cap M$ 恰对应 $x'=0$ 的部分.
  • 定义 $V = \{(x',x'',t)\in\mathbb{R}^\ell\times\mathbb{R}^{n-\ell}\times\mathbb{R}\mid p=(tx',x'')\in U\}$. 这给出映射 $p\colon V\to U$ 以及 $t\colon V\to\mathbb{R}$.
  • 将所有 $V$ 粘起来得到流形 $\widetilde X_M$.

4.4 μhom

考虑态射 $f\colon Y\to X$, 记 $\Delta_f\subset X\times Y$ 为其图像. 考虑下图.

$$ \begin{array}{ccccc} T^*_{\Delta_Y}(Y\times Y) & \leftarrow & T^*_{\Delta_f}(X\times Y) & \rightarrow & T^*_{\Delta_X}(X\times X) \\ |\!| & & |\!| & & |\!| \\ T^*Y & \leftarrow & Y\times_X T^*X & \rightarrow & T^*X \end{array} $$

记 $\mathrm{pr}_1 \colon X\times Y\to X$, $\mathrm{pr}_2 \colon X\times Y\to Y$ 为投影. 对于 $G\in D^b(Y), F\in D^b(X)$, 定义 $$ \mu\operatorname{hom}(G \to F) = \mu_{\Delta_f} R\operatorname{Hom} (\mathrm{pr}_2^* G,\mathrm{pr}_1^! F), $$ $$ \mu\operatorname{hom}(F \to G) = (\mu_{\Delta_f} R\operatorname{Hom} (\mathrm{pr}_1^* F,\mathrm{pr}_2^! G))^a, $$ 其中 $(-)^a$ 表示沿 $Y\times_X T^*X$ 上的对径映射作拉回 (逆像).

当 $Y=X$ 且 $f=\mathrm{id}_X$ 时, 定义 $$ \mu\operatorname{hom}(G,F) = \mu\operatorname{hom}(G\to F) = \mu_{\Delta_X}R\operatorname{Hom}(\mathrm{pr}_2^*G,\mathrm{pr}_1^!F). $$

函子 $\mu\operatorname{hom}$ 可视为 Sato 的微局部化的推广. 对于闭嵌入 $Y\to X$, 记 $j\colon T^*_YX \to T^*X$ 为余法丛的嵌入, 则对于 $F\in D^b(X)$, $$ \mu\operatorname{hom}(A_Y,F) \simeq j_* \mu_Y F. $$

5.1 微局部支撑

设 $E$ 为线性空间, $X$ 为 $E$ 的开子集, $p = (x_0,\xi_0) \in T^*X$, $F\in D^b(X)$. 如下条件等价:

  1. 存在 $p$ 的邻域 $U$, 对任意 $x_1\in X$ 与 $x_1$ 附近足够可微的函数 $\psi$, 若 $\psi(x_1)=0$ 且 $d_{x_1}\psi\in U$, 则 $R\Gamma_{\{\psi(x)\geq 0\}}(F)_{x_1} = 0$.
  2. 存在 $E$ 中的闭凸锥 $\gamma$ 与 $F'\in D^b(E)$,
  • $\gamma\setminus\{0\} \subset \{v\mid \langle v,\xi_0\rangle <0\}$
  • $F'$ 与 $F$ 在 $x$ 附近同构,
  • $R\phi_{\gamma *}F'=0$. 这里 $\phi_\gamma\colon E\to E_\gamma$ 是到 $\gamma$-拓扑的自然映射.

设 $X$ 为流形, $F$ 为 $X$ 上的层. 其微局部支集 $\operatorname{SS}F$ 定义为 $T^*X$ 中不满足上述等价条件的点构成的子集. 对于 $T^*X$ 的子集 $A$, 称 $D^b(X)$ 中的态射 $u\colon F\to F'$ 在 $A$ 上为同构, 是指存在特殊三角 $F\to F'\to F''$ 满足 $\operatorname{SS}F'' \cap A = \varnothing$.