百科. Galois 扩张 [Galois扩张]

观念

Galois 扩张是域的平展景上以离散群为结构群的 Galois 主丛.

定义

域的 Galois 扩张是正规且可分的代数扩张.

有限 Galois 扩张

域的有限 Galois 扩张是满足如下等价条件的扩张 $F\subset E$:

  • $F\subset E$ 是 Galois 扩张, 且是有限扩张.
  • $E$ 是 $F$ 上某个可分多项式的分裂域;
  • $E$ 是 $F$ 的有限扩张, 且 $E^{\operatorname{Aut}_F(E)} = F$;
  • 存在有限子群 $G\subset\operatorname{Aut}(E)$ 使得 $F=E^G$.

性质

Galois 对应

对于有限 Galois 扩张 $F\subset E$, 有双射 $$ \{F\subset E\text{ 的中间域}\} \leftrightarrow \{\operatorname{Gal}(E/F) \text{ 的子群}\}, $$ 将中间域 $F\subset M\subset E$ 对应到子群 $\operatorname{Aut}(E/M)\subset\operatorname{Gal}(E/F)$; 且对于正规情形有 $$ \{\text{正规的中间域}\} \leftrightarrow \{\text{正规子群}\}. $$ 设 $F\subset M\subset E$ 是正规的中间域, 则 $E/F$ 的任何自同构将 $M$ 映射到 $M$ 自身, 有短正合列 $$ 1\to \operatorname{Aut}(E/M) \to \operatorname{Gal}(E/F) \to \operatorname{Gal}(M/F) \to 1. $$

复合

设 $F\subset M\subset E$ 是两个域扩张.

  • 若 $F\subset E$ 是 Galois 扩张, 则 $M\subset E$ 是 Galois 扩张.
  • 当 $F\subset E$ 是 Galois 扩张时, $F\subset M$ 不一定是 Galois 扩张 (考虑 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$).

“函子性”

在以下两个命题中, 设 $F\subset E_1$, $F\subset E_2$ 为域扩张, 且 $E_1$, $E_2$ 同时包含于某个更大的域. 记 $E_1\cup E_2$ 生成的域为 $E_1E_2$.

命题. 若 $F\subset E_1$ 为 Galois 扩张, 则 $E_2\subset E_1E_2$ 为 Galois 扩张, 且有自然的嵌入 $$ \operatorname{Gal}(E_1E_2 / E_2) \hookrightarrow \operatorname{Gal}(E_1 / F). $$

命题. 若 $F\subset E_1$ 为 Galois 扩张且 $E_1\cap E_2 = F$, 则上述嵌入为同构.