观念
一个算畴表达了对称幺半范畴的对象上可能具有的一族多元运算, 以及运算之间的关系. 算畴又叫多重范畴 (multicategory), 是范畴的推广, 由颜色 (多重范畴的对象) 与运算 (多个对象到一个对象的态射) 构成.
将一个算畴中记录的颜色与运算按照规定的关系实现到某个具体范畴中的方法称为算畴上的代数.
定义
作为多重范畴
有色算畴 (colored operad) 等同于多重范畴 (multicategory). 所谓多重范畴就是一族对象之间带有 “多个对象到一个对象的态射”
$$
\operatorname{Hom}(X_1,X_2,\cdots,X_n ; Y).
$$
算畴种的 “颜色” 即是多重范畴中的对象. 当多重范畴仅有一个对象时, 称之为单色算畴. 不同文献中对算畴是否默认为单色有不同的约定.
对称算畴 (symmetric operad) 是指多重范畴中的 $\operatorname{Hom}$ 带有对称群的作用, 即对 $\sigma\in S_n$ 有相容的同构 $\operatorname{Hom}(X_1,\cdots,X_n ; Y) \simeq \operatorname{Hom}(X_{\sigma(1),\cdots,\sigma(n)};Y)$.
上面定义的是 $\mathsf{Ani}$ 上的算畴. 对于一般对称幺半范畴 $\mathcal C$, 也可定义相应的 “充实多重范畴” 作为 $\mathcal C$ 上的算畴的概念.
作为对称序列
一个单色对称算畴的 “$n$ 元运算的空间” 给出一个带对称群作用的序列, 称为对称序列 (symmetric sequence). 事实上, 单色对称算畴是对称序列的范畴中的结合代数.
具体地, 给定对称幺半范畴 $(\mathcal V,\otimes,1)$, 一个 $\mathcal V$-值的对称算畴 $C$ 为如下资料:
- “$n$ 元运算的参数空间”, 对象 $C(n) \in \mathcal V$,
- “恒等运算”, 态射 $1\to C(1)$,
- “运算的复合”, 即态射 $C(k)\otimes C(j_1)\otimes\cdots\otimes C(j_k)\to C(j_1+\cdots+j_k)$,
- $C(n)$ 上对称群 $\Sigma_n$ 的作用,
满足
给定对称算畴 $C$, 一个 $C$-代数是指一个 (带 $\mathcal{V}$-模结构的范畴中的) 对象 $A$, 以及 $\Sigma_j$-等变的态射 $C(j)\otimes A^{\otimes j}\to A$, 满足适当的结合律, 幺元律.
线性空间的对称序列
$k$-线性空间的对称序列构成的范畴是
$$
\mathsf{Vect}^\Sigma:= \mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}^{\simeq},\mathsf{Vect}) \simeq \prod_{n\geq 1} \mathsf{Rep}(\Sigma_n).
$$
它也是由一个对象生成的自由对称幺半 DG 范畴. 见 Gaitsgory–Rozenblyum 导出代数几何讲义 (关于 Lie 代数与 Koszul 对偶的一节). 换言之, 它是遗忘函子 $U\colon \mathsf{DGCat}^{\text{SymMon}} \to \mathsf{Cat}$ 的表示对象. 因此由 $(\infty,2)$-范畴版本的米田引理,
$$
\mathsf{Vect}^\Sigma \simeq \mathsf{Fun}^{\text{SymMon}}(\mathsf{Vect}^\Sigma,\mathsf{Vect}^\Sigma) \simeq \operatorname{End}(U).
$$
作为算子范畴
算畴 $\mathcal C$ 也可定义为其算子范畴 (category of operators) $\mathcal C^\otimes$. 它的对象为颜色的序列, 态射为 “算子”, 该算畴中的一个 $k$ 元运算给出 $k$ 个颜色的序列到一个颜色的态射. 这个范畴类似于 (一阶理论的) 语法范畴, 具有万有 $\mathcal C$-代数.
记 $\mathsf{Fin}_{*}$
为有限带基点集合
$\langle n \rangle := \{*,1,\cdots,n\}$
和保基点映射构成的范畴.
设 $\mathcal C$ 为算畴,
定义 $\mathsf{Fin}_*$ 上的一个范畴 $\mathcal C^{\otimes}$,
- $\mathcal C^{\otimes}$ 在 $\langle n \rangle$ 上的对象为颜色的 $n$ 元组 $(X_1,\cdots,X_n)$;
- 态射 $(X_1,\cdots,X_n) \to (Y_1,\cdots,Y_m)$ 是一个保基点映射 $\phi\colon \langle n \rangle \to \langle m\rangle$, 以及多重范畴 $\mathcal C$ 中的多重映射
$$
f_i \in \operatorname{Hom}((X_j)_{j\in\phi^{-1}(i)}; Y_i)\,(1\leq i\leq m).
$$
如下条件刻画了一个 $\mathsf{Fin}_*$ 上的范畴 $p \colon \mathcal O^\otimes\to\mathsf{Fin}_*$ 何时来自一个算畴. 记 $\mathcal O^\otimes_{\langle n\rangle}$ 为 $p$ 在 $\langle n\rangle\in\mathsf{Fin}_*$ 上的纤维, 即想象中的 “颜色 $n$ 元组”.
- $\mathsf{Fin}_*$ 中的惰性映射 $f \colon \langle n\rangle \to\langle m\rangle$ (惰性是指除 $*$ 以外, 每个点的原像均为单点) 总能提升为推前, 给出函子 $f_!\colon \mathcal O^\otimes_{\langle n\rangle} \to \mathcal O^\otimes_{\langle m\rangle}$.
- 对任意 $f\colon \langle n\rangle \to \langle m\rangle$, 如下映射为等价:
$$
\mathcal O^\otimes_{f}(X,Y)\to\prod_{k=1}^m \mathcal O^\otimes_{\rho_i f}(X,(\rho_i)_! Y),
$$
其中 $\rho_i\colon \langle m\rangle\to\langle 1\rangle$ 将 $i$ 映射到 $1$, 其它元素映射到 $*$.
- $(\rho_i)_!\colon \mathcal O^\otimes_{\langle n\rangle} \to \mathcal O^\otimes_{\langle 1\rangle}$ 给出的映射 $\mathcal O^\otimes_{\langle n\rangle} \to \big(\mathcal O^\otimes_{\langle 1\rangle}\big)^n$ 为等价.
性质
代数范畴作为算畴
算畴之间的态射也称为一个算畴 $\mathcal O$ 在另一个算畴 $\mathcal P$ 中的代数, 其构成的范畴记为 $\mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal P)$. 如同范畴之间的态射空间可升级为范畴一样, 算畴之间的态射空间也可升级为算畴: 多重映射 $(A_i) \to B$ 是对每个对象 $X \in \mathcal O$ 指定 $\mathcal P$ 中一个多重映射 $(A_i(X)) \to B(X)$, 且对 $\mathcal O$ 中任意多重映射 $(X_i) \to Y$ 有如下交换图.
$$
\begin{array}
{ccc}
(A_i(X_j)) & \to & (A_i(Y)) \\
\downarrow & & \downarrow \\
(B(X_j)) & \to & B(Y).
\end{array}
$$
Boardman–Vogt 张量积
$\mathsf{Alg}_{\mathcal P}(-)$ 的左伴随是 Boardman–Vogt 张量积 $(-)\otimes \mathcal P$.
算畴 Kan 扩张
Kan 扩张 是函子范畴之间拉回的左右伴随. 类似地, 对于余完备对称幺半范畴 $\mathcal C$ 以及算畴的态射 $f\colon \mathcal O\to\mathcal P$, 在代数范畴之间也有拉回 $f^*\colon \mathsf{Alg}_{\mathcal P}(\mathcal C)\to\mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$ 的左伴随
$$
f_! \colon \mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)\to\mathsf{Alg}_{\mathcal P}(\mathcal C),
$$
称为算畴左 Kan 扩张 (operadic left Kan extension). 对于 $A\in\mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$, $P\in\mathcal P$,
$$
(f_!A)(P) = \operatorname{colim}_{\alpha\colon f(O)\to P\text{活性}} \pi(\alpha)_! A(O),
$$
其中 $O\in\mathcal O^\otimes$, $\pi\colon \mathcal P^\otimes\to\mathsf{Fin}_*$.
代数范畴之间的拉回可视为遗忘函子, 而算畴左 Kan 扩张给出自由代数.
与单子的关系
单色算畴的自由–遗忘伴随给出单子. 设 $\mathcal O$ 为单色对称算畴, $\mathcal C$ 为余完备对称幺半范畴, 那么 $\mathcal C$ 上的自由 $\mathcal O$-代数单子为
$$
X \mapsto \coprod_{n\geq 0} \mathcal O(n)\otimes_{S_n}X^{\otimes n}.
$$
详见算畴给出单子.
例
二次算畴
二次算畴是一类有特殊性质的算畴, 包括交换算畴, 结合算畴, Lie 算畴.
交换算畴
交换算畴 $\mathsf{Comm}$ 作为多重范畴仅有一个对象 $*$, 且 $\operatorname{Hom}(*^n,*) = 1$. 交换性意味着任何 $n$ 个元素有唯一的结合方式.
交换算畴的算子范畴 $\mathsf{Comm}^\otimes \to \mathsf{Fin}_*$ 就是 $\mathsf{Fin}_*$ 到自身的恒等.
交换算畴又称 E∞-算畴.
$\mathbb{E}_n$-算畴
算畴 $\mathbb {E}_n$ 是 $\mathbb {E}_1$ 的 $n$ 次 Boardman–Vogt 张量积.
算畴 $\mathbb {E}_n$ 的一种表现为小 $n$-方块算畴.
$\mathbb E_M$-算畴
算畴 $\mathbb {E}_n$ 的一种类比是任意 $n$ 维流形 $M$ 给出的算畴 $\mathbb E_M$. 见 $\mathbb E_M$-算畴.
结合算畴
结合算畴 $\mathsf{Assoc}$ 作为多重范畴仅有一个对象, 且
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Assoc}}(*^n,*) = S_n,
$$
带有 $S_n$ 的自由作用. 结合性意味着 $n$ 个元素的结合由一个排列完全确定.
自同态算畴
任何一个对象 $X$ 上都有一个自同态算畴 $\mathcal {E}_X$, 且 $X$ 是 $\mathcal {E}_X$-代数.
对于算畴 $\mathcal P$, 一个对象 $X$ 上的 $\mathcal P$-代数结构等同于算畴的态射 $\mathcal P\to\mathcal {E}_X$.
模算畴
模算畴是表达 (交换, 结合等) 代数上的模的算畴.
“交换代数上的模” 算畴 $\mathsf{CM}$ 作为多重范畴有两个对象 $a,m$, 且有
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{CM}}(a^n,a) = 1$,
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{CM}}(a^{n}m,m) = 1$ (包括 $a^n m$ 的所有排列),
- 其它 $\operatorname{Hom}$ 为空.
“两个结合代数上的双模” 算畴 $\mathsf{BM}$ 作为多重范畴有三个对象 $l,m,r$, 且有
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{BM}}(l^n,l) = 1$,
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{BM}}(r^n,r) = 1$,
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{BM}}(l^p m r^q,m) = 1$ (包括 $l^p m r^q$ 的所有排列),
- 其它 $\operatorname{Hom}$ 为空.
对称幺半范畴
设 $(\mathcal C,\otimes)$ 为对称幺半范畴, 则其给出一个算畴, 不妨仍记为 $\mathcal C$. 作为多重范畴,
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_1,\cdots,X_n; Y) := \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_1\otimes\cdots\otimes X_n, Y).
$$
将对称幺半范畴视为算畴的这种观点可以方便地定义算畴上的代数.
另外, 若将对称幺半范畴视为多重范畴, 那么它们之间的函子就是松对称幺半函子.
模拟余积幺半范畴
设 $\mathcal C$ 为任意范畴, 定义多重范畴 $\mathcal C^{\sqcup}$,
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\sqcup}}(X_1,\cdots,X_n;Y) := \prod_{i=1}^{n}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y).
$$
当 $\mathcal C$ 具有余积时, 这就是 $\mathcal C$ 上的余积给出的对称幺半范畴; 但它作为多重范畴的存在不需要 $\mathcal C$ 具有余积.
算畴作用 (算畴对)
设所考虑的对称幺半范畴是不带基点的空间范畴.
设有一对算畴 $(\mathcal C,\mathcal G)$, 记 $\mathcal C(0)=\{0\}$, $\mathcal G(0)=\{1\}$. 算畴 $\mathcal G$ 在算畴 $\mathcal C$ 上的作用是指映射
$$
\xi\colon \mathcal G(k)\times \mathcal C(j_1)\times\cdots\times \mathcal C(j_k) \to\mathcal C(j_1\cdot\cdots\cdot j_k),
$$
满足分配律, 幺元律, 以及等变条件. 注意右边括号内是 $k$ 个数的乘积. 这样两个算畴叫做算畴对 (operad pair).
直观: $\mathcal C$ 参数化加法, $\mathcal G$ 参数化乘法, 映射 $\xi$ 是分配律.
设空间 $X$ 带两个基点 $0,1$. 算畴对 $(\mathcal C,\mathcal G)$ 在 $X$ 上的作用包含 $\mathcal C$ 在 $(X,0)$ 上的作用与 $\mathcal G$ 在 $(X,1)$ 上的作用, 使得由 $\xi$ 给出的 “分配” 映射
$$
\xi_k\colon \mathcal G(k)\times \mathcal C(j_1)\times X^{j_1}\times\cdots\to \mathcal C(j_1\cdots j_k)\times X^{j_1\cdots j_k}
$$
满足分配律.
等价地, $(\mathcal C,\mathcal G)$-空间是 $\mathcal C$-空间范畴中的 $\mathcal G$-代数.