Wiki. 杠构造 [杠构造]

观念

对于范畴 $\mathcal C$ 上的单子 $T$ 以及其上的代数 $A$, 杠构造 (bar construction) 给出代数范畴 $\mathcal C^T$ 中的一个增广单纯对象 $$ \cdots \to^3 TTA \rightrightarrows TA \to A, $$ 作为 $\mathcal C$ 的单纯对象, 它是 $A$ 的一种消解, 又称杠消解 (bar resolution).

定义

给定单子 $T$ 以及 $T$-代数 $A$, 杠构造 (bar construction) 是增广单纯对象 $$ B(T,A) = (\cdots \to^3 TTA \rightrightarrows TA \to A), $$ 其中的结构映射由 $T$ 与 $A$ 的结构映射给出. 例如两个映射 $TTA \to TA$ 分别来自 $T$ 带有的自然变换 $T^2\to T$ 以及 $A$ 的结构映射 $TA\to A$.

为具体理解 $B(T,A)$ 的构造, 只需注意到 $T \colon \mathcal C^T \to \mathcal C^T$ 为代数范畴 $\mathcal C^T$ 上的余单子, 也即$\operatorname{End}(\mathcal C^T)$ 中的结合余代数, 从而由增广单纯形范畴 $\Delta_+$ 的性质, 其对应一个幺半函子 $$ \operatorname{Bar}_T\colon \Delta_+^{\text{op}}\to\operatorname{End}(\mathcal C^T). $$ 将 $\operatorname{Bar}_T$ 进一步复合 “在 $A$ 处取值” 函子 $\mathrm{ev}_A\colon \operatorname{End}(\mathcal C^T) \to \mathcal C^T$, 得到函子 $$ \operatorname{Bar}_T(A)\colon \Delta_+^{\text{op}}\to\mathcal C^T. $$ 最后再复合 $U$, 就得到增广单纯对象 $$ B(T,A)\colon \Delta_+^{\text{op}}\to\mathcal C. $$

推广

杠构造的推广见双边杠构造, 单纯杠构造. 使用双边杠构造的记号, 有 $\operatorname{Bar}_T(A)=B(F,T,A)$, $B(T,A)=B(T,T,A)$. 另见循环杠构造.

例

群

设