百科. 双边杠构造 [双边杠构造]

观念

如果说单子是结合代数的范畴化, 那么双边杠构造就是结合代数上的模的相对张量积的范畴化.

双边杠构造是杠构造 (bar construction) 的推广.

定义

设 $T$ 为范畴 $\mathcal C$ 上的单子. 对于 $T$ 上的左模 $X\colon I\to\mathcal C$ 与右模 $Y\colon \mathcal C\to J$, 双边杠构造是 $\mathsf{Fun}(I,J)$ 中的单纯对象 $$ B(Y,T,X) = (\cdots YTTX \to^3 YTX \rightrightarrows YX). $$

例

伴随的典范双边杠构造

对于函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 之间的一对伴随 $F\dashv G$ 给出的单子 $T = GF$,

• $F$ 有典范的 $T$-右模结构 $FT=FGF \to F$,
• $G$ 有典范的 $T$-左模结构 $TG=GFG \to G$.

因此伴随 $F\dashv G$ 给出典范的双边杠构造 $$ B(F,T,G) = (\cdots FGFGFG \to^3 FGFG \rightrightarrows FG). $$

分解同调

记 $D_n$ 为 $\mathbb E_n$-算畴对应的单子. 对于 $n$ 维标架流形 $M$, 记 $D_M$ 为对称序列 $\{\operatorname{Emb}(\sqcup_k\mathbb{R}^n,M)\}$ 对应的函子, 则 $D_M$ 为单子 $D_n$ 上的右模:

• $D_n X$ 的直观是 “将 $X$ 的若干元素放在 $\mathbb{R}^n$ 的不交圆盘上” 的构形的空间;
• $D_M X$ 的直观是 “将 $X$ 的若干元素放在 $M$ 的不交圆盘上” 的构形的空间;
• 因此 $D_M D_n X$ 的一个元素的直观是 $M$ 的若干个不交圆盘, 每个之中又有若干个不交的小圆盘, 每个小圆盘上放了 $X$ 的一个元素;
• 映射 $D_M D_n X \to D_M X$ 直观上是将上述构形中的小圆盘直接视为 $M$ 上的圆盘, 得到 $D_M X$ 的元素.

$M$ 上取值于 $\mathbb E_n$-代数 $A$ 的分解同调可表示为双边杠构造的几何实现 $$ \int_M A = |B(D_M, D_n, A)|. $$