单纯形范畴 [单纯形范畴]
单纯形范畴 [单纯形范畴]
观念
单纯形范畴的对象是 “标准” 的, “组合” 的单纯形, 也即有限全序集.
单纯形与结合代数密切相关. 增广单纯形范畴中有游走的结合代数.
定义
单纯形范畴 (simplex category) $\Delta$ 是有限非空全序集的范畴 $$ \Delta = \{[0],[1],[2],\cdots\}, $$ 其中 $[n] = \{0<1<\cdots < n \}$. 态射是偏序集的态射, 即满足对任意 $x,y$, 若 $x\leq y$, 则 $f(x)\leq f(y)$.
增广单纯形范畴 (augmented simplex category) $\Delta_+$ 是有限全序集的范畴 $$ \Delta_+ = \{[-1],[0],[1],[2],\cdots\}. $$
$\Delta_+$ 是一个幺半范畴, 单位为 $[-1]$, $[n] \otimes [m] = [n+m+1]$. 注意, 这个幺半范畴不是对称幺半范畴, 因为不存在函子性的同构 $[n]\otimes [m]\simeq [m]\otimes[n]$.
另外还有两个重要的由单纯形构成的范畴. 记 $\Delta_\bot$ 为非空有限全序集之间保持最小元的态射构成的范畴; $\Delta_\top$ 为保持最大元的态射构成的范畴. 事实上, 它们可视为幺半范畴 $\Delta_+$ 中结合代数上的左模和右模范畴: $$ \Delta_\bot = \mathsf{LMod}_{\Delta_+}([0]),\ \Delta_\top = \mathsf{RMod}_{\Delta_+}([0]). $$
性质
几何单纯形
标准 $n$ 维几何单纯形是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的基向量 $e_0,e_1,\cdots,e_n$ 的凸包. 这定义了一个函子 $\Delta \to \mathsf {Top}$.
游走的结合代数
增广单纯形范畴 $\Delta_+$ 是一个结合代数 $[0]$ 生成的自由幺半范畴, 称 $[0]$ 为游走的结合代数; 也即对任意幺半范畴 $\mathcal M$ 中的结合代数 $A$, 存在唯一的幺半函子 $\Delta_+ \to M$, 将 $[0]$ 对应到 $A$.
伴随
由于 $\Delta$ 的对象可视为偏序集, 即 $(0,1)$-范畴, $\Delta$ 自身可视为充实于偏序集的范畴, 即 $(1,2)$-范畴. 我们可谈论 $\Delta$ 中的伴随.
命题. $[n-1]$ 与 $[n]$ 之间有如下伴随: $$ d_n \dashv s_{n-1}\dashv d_{n-1}\dashv\cdots\dashv s_0\dashv d_0. $$ 其中 $d_i\colon [n-1]\to [n]$ 是唯一的像不含 $i$ 的单射, $s_j\colon [n] \to [n-1]$ 是唯一的将两个元素映到 $j$ 的满射. $$ d_n x\leq y\, \Leftrightarrow x\leq s_{n-1}y $$