观念
Segal 空间 (Segal 生象) 可用于定义 $(\infty,1)$-范畴.
道理是, 假设我们要在生象概念的基础上定义范畴, 我们可以采用脉的观念, 对一个假想的 $(\infty,1)$-范畴 $\mathcal C$, 用各个单形 $[n]$ 探测之, 得到单纯生象 $N(\mathcal C)$:
$$
N(\mathcal C)_n = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Cat}_{(\infty,1)}}([n],\mathcal C) = \operatorname{Fun}([n],\mathcal C)^{\simeq},
$$
其中 $(-)^\simeq$ 表示取范畴的对象的生象. 这一过程又称为 Rezk 脉.
函子 $N$ 的像恰为完备 Segal 生象的范畴.
类似地, 完备 Segal 对象也可用于定义一般的 $\infty$-范畴内部的范畴, 见范畴对象.
定义
一个 Segal 生象是一个单纯生象 $X \colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$, 满足对任意 $m,n\in\mathbb{N}$, 下图为拉回.
$$
\begin{array}
{ccc}
X_{m+n} & \to & X_m \\
\downarrow && \downarrow \\
X_n & \to & X_0
\end{array}
$$
该图来自 $\Delta$ 中的如下交换图.
$$
\begin{array}
{ccc}
\{0 < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{0 < \cdots < m\} \\
\uparrow && \uparrow \\
\{m < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{m\}
\end{array}
$$
完备 Segal 生象
对于 Segal 生象 $X$ 中的 $1$-单形 $f \in X_1$, 若 $f$ 既有左逆又有右逆 (具体地, 存在 $\sigma,\tau \in X_2$ 使得 $d_0\sigma = f = d_2\tau$, 且 $d_1\sigma, d_1\tau$ 均落在 $s \colon X_0 \to X_1$ 的像中), 则称 $f$ 为等价.
对于 Segal 生象 $X$, 记 $X_1^{\simeq}\subseteq X_1$ 为 $X_1$ 中的等价构成的子生象; 若 $s \colon X_0 \to X_1^\simeq$ 为生象的等价, 则称 $X$ 为完备 Segal 生象.
完备 Segal 生象也可等价地定义为关于
$N(0\overset{\simeq}{\to} 1) \to {*}$
的局部对象.
完备 Segal 生象等同于 $(\infty,1)$-范畴. 另见范畴对象.