观念
带元数的单子 (monad with arities) 是 Berger–Melliès–Weber 引入的概念, 能够表达以下结构:
直观上, 范畴 $\mathcal E$ 上的单子 $T$ 以子范畴 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为元数, 就是说为了表达一个 $T$-结构所需的运算, 只需用 $\mathcal A$ 的对象来探测. 进而 $T$-代数可以定义为满足某种条件的预层.
例如要表达一个生象 $X$ 上的一个幺半群结构, 只需要考虑所有有限集到 $X$ 的映射, 此时有限集 (的元素个数) 就对应运算的元数.
元数不一定是有限集. 例如要表达一个图 $G$ 上的范畴结构, 要考虑的是所有态射串的复合. 此时元数是形如 $\bullet\to\bullet\to\cdots\to\bullet$ 的有限图. 这样, 范畴就可以定义为单纯形范畴上满足某种条件的预层, 即单纯生象. 见 Segal 生象.
带元数的单子又被相对单子涵盖.
另见代数模式.
定义
设 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为稠密全子范畴, 称为元数 (arities) 的范畴. 设 $T$ 为 $\mathcal E$ 上的单子. 记 $\mathcal E^T$ 为 $T$-代数的范畴, 带有自由-遗忘伴随 $F\dashv U\colon \mathcal E\rightleftarrows\mathcal E^{T}$.
回忆, 子范畴 $\mathcal A$ 的稠密性是指
- 脉函子
$$
\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A}
$$
是全忠实函子;
- $\mathcal E$ 的每个对象 $X$ 都是如下余极限:
$$
X = \operatorname{colim}_{A\to X,A\in\mathcal A}A.\ (\star)
$$
定义. 若单子 $T$ 满足以下等价条件, 则称单子 $T$ 以 $\mathcal A$ 为元数 (arity):
- $\nu_{\mathcal A} T\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 保持所有形如 $(\star)$ 的余极限 (由于 $\nu_A$ 全忠实, 这蕴涵 $T$ 本身也保持 $\star$);
- $\nu_{\mathcal A} T$ 是其在 $\mathcal A$ 上的限制的左 Kan 扩张.
或许 $(\star)$ 更有启发性的一种写法是写成余端
$$
X = \int_{A\in\mathcal A} \operatorname{Hom}(A,X)\times A,
$$
条件 $\nu_{\mathcal A}T$ 保持余极限 $(\star)$ 相当于
$$
\operatorname{Hom}(B,TX)=\int_{A\in\mathcal A}\operatorname{Hom}(A,X)\times\operatorname{Hom}(B,TA),
$$
(我们后面会解读这个等式的含义)
而函子 $T$ 保持该余极限意味着
$$
TX = \int_{A\in\mathcal A} TA \times X^A.
$$
(这里 $X^A$ 代表 $\operatorname{Hom}(A,X)$, 这样写只是为了更有启发性) 换言之, $T$ 具有以 $A\in\mathcal A$ 为 “次数”, $TA$ 为系数的 “多项式展开”. (参考多项式函子, 解析函子.)
范畴 $\Theta_T$
设 $T$ 为 $\mathcal E$ 上的单子, 定义 $\Theta_T$ 为 $\mathcal A$ 的对象生成的自由 $T$-代数构成的范畴. 那么有自由代数函子
$$
j_T\colon \mathcal A \to \Theta_T.
$$
我们也可以将 $\Theta_T$ 的对象理解为 $\mathcal A$ 的对象 $A$, 而将 $\Theta_T$ 中的态射 $A\to B$ 理解为 $\mathcal E$ 中的态射 $A \to TB$. (这是 Kleisli 范畴的一个全子范畴.)
嵌入 $\Theta_T \hookrightarrow \mathcal E^T$ 也有相应的脉函子
$$
\nu_T \colon \mathcal E^T \to \widehat {\Theta_T},
$$
且有交换方块
$$
\begin{CD}
\mathcal E^T @>{\nu_T}>> \widehat {\Theta_T} \\
@V{U}VV @VV{j_T^*}V \\
\mathcal E @>>{\nu_{\mathcal A}}> \widehat {\mathcal A}.
\end{CD}
\quad(\heartsuit)
$$
注意到由于 $j_T$ 本质满, 故 $j_T^*$ 是单子性的保守函子.
命题. 如下三个条件等价:
- $T$ 是以 $\mathcal A$ 为元数的单子;
- 交换方块 $(\heartsuit)$ 满足 Beck–Chevalley 条件, 即 Beck–Chevalley 自然变换 $(j_T)_!\nu_A \to \nu_T F$ 为同构.
- 自然变换 $j_T^*(j_T)_!\nu_A \to j_T^*\nu_T F= \nu_AUF =\nu_A T$ 为同构. (由于 $j_T^*$ 保守, 条件 2 与条件 3 明显等价.) 换言之, 存在单子的态射
$$
\begin{CD}
\mathcal E @>{\nu_A}>> \widehat {\mathcal A} \\
@V{T}VV @VV{j^*j_!}V \\
\mathcal E @>>{\nu_A}> \widehat {\mathcal A.}
\end{CD}
$$
注. 这里的 Beck–Chevalley 自然变换的理解如下. 对于 $X\in\mathcal E$, 由左 Kan 扩张的余端公式, $(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X$ 对每个元数的自由代数 $j_T A$ 给出
$$
\begin{aligned}
[(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X] (j_T A) &=\int_{B\in \mathcal A}\operatorname{Hom}_{\Theta_T}(j_T A,j_T B)\times \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X)\\
&=\int_{B\in\mathcal A}\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TB)\times \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X),
\end{aligned}
$$
即 “$A$ 个 $B$ 元运算” 搭配 “$B$ 个 $X$ 的元素”.
而自然变换的右边给出
$$
\begin{aligned}
[\nu_T F(X)](j_T A) &=\operatorname{Hom}_{\mathcal E^T}(FA,FX)
\\
&=\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TX),
\end{aligned}
$$
即 “$A$ 个 $TX$ 的元素”.
自然变换 $(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X\to\nu_T F (X)$ 由如下资料给出:
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TB)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TX),
$$
即 “通过 $A$ 个 $B$ 元运算搭配 $B$ 个 $X$ 的元素, 给出 $A$ 个 $TX$ 的元素”. 而这个自然变换为同构, 直观上说的就是 $TX$ 的任何元素都由 $X$ 中的某 $B$ 个元素运算得到.
(例. 对任意集合 $X$, 其生成的自由群的每个元素均为 $X$ 中有限个元素的运算结果.)
证明. 注意到 $(j_T)_!$ 将可表函子对应到可表函子. 故条件 2 与条件 3 中的自然变换在子范畴 $\mathcal A$ 上总是同构.
现在任取 $X\in\mathcal E$, 将其表现为余极限
$$
X = \operatorname{colim}_{A\to X, A\in\mathcal A}A,
$$
假若单子 $T$ 保持该余极限, 那么条件 3 中的自然变换在 $X$ 上也是同构.
推论 (常称为脉定理). 设 $T$ 是以 $\mathcal A$ 为元数的单子, 那么
- $\nu_T$ 为全忠实函子. 换言之, $T$-代数可由 $\mathcal A$ 的对象生成的自由代数来探测;
- 对于 $\Theta_T$ 上的预层 $X$, 其落在 $\nu_T$ 的像中当且仅当其沿 $j_T$ 的限制落在 $\nu_A$ 的像中.
因此, $T$-代数可以定义为 $\Theta_T$ 上满足某种条件的预层.
证明. 将 $\mathcal E$ 等同于 $\nu_A\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 的像, 那么单子 $T$ 等同于单子 $j^*j_!$ 在 $\mathcal E$ 上的限制, 所以 $T$-代数等同于落在 $\mathcal E$ 中的 $j^*j_!$-代数, 而 $j_!\dashv j^*$ 单子性意味着 $j^*j_!$-代数就是 $\Theta_T$ 上的预层. $\square$
理论
上述范畴 $\Theta_T$ 及函子 $j_T\colon \mathcal A\to\Theta_T$ 可以抽象如下.
设 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为稠密全子范畴, 定义一个以 $\mathcal A$ 为元数的理论为一个本质满函子
$$
j\colon \mathcal A \to \Theta,
$$
使得伴随 $j_! \dashv j^*$ 诱导的单子 $j^*j_!\colon \widehat {\mathcal A} \to \widehat {\mathcal A}$ 保持脉函子 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 的像.
该理论的一个模型是 $\Theta$ 上的一个预层, 满足其沿 $j$ 的限制落在 $\nu_{\mathcal A}$ 的像中.
我们应该将 $\Theta$ 理解为元数 $\mathcal A$ 生成的自由代数的范畴, 将 $j\colon \mathcal A \to\Theta$ 理解为自由函子.
单子给出理论. 由定义, $\mathcal E$ 上以 $\mathcal A$ 为元数的单子 $T$, 有理论 $(\Theta_T,j_T)$.
理论恢复出单子. 由定义, 对理论 $(\Theta,j)$ 可以恢复出 $\mathcal E$ 上的一个单子 $T$: 若将 $\mathcal E$ 等同于 $\widehat {\mathcal A}$ 的子范畴, 那么单子 $T$ 等于 $j^*j_!$ 的限制.
例 (范畴的理论). 考虑 $\mathcal E = \mathsf{Graph}$ (有向图的范畴), $\mathcal A = \Delta^{\mathrm{int}}$ 为有限长的链 $[n] = \{0\to 1\to\cdots\to n\}$ 构成的全子范畴. (注意 $\Delta^{\mathrm{int}}$ 中的态射只有 “区间含入”, 没有一般的全序集态射. $\mathrm{int}$ 是 “惰性” inert 的缩写, $\Delta^{\mathrm{int}}$ 这个记号暗示了它在代数模式中的作用.) 此时有一个理论 $j\colon \mathcal \Delta^{\mathrm{int}}\to \Delta$, 将图 $[n]$ 对应到全序集 $[n]$. 单子 $j^*j_!\colon \widehat {\Delta^{\mathrm{int}}} \to \widehat {\Delta^{\mathrm{int}}}$ 为
$$
(j^*j_! X)([n]) = \int_{[m]}\operatorname{Hom}_{\Delta}([n],[m])\times X([m]).
$$
可以这样理解: 一个图 $G$ 的自由范畴 $\operatorname{Free}(G)$ 是一个更大的图, 通过 $G$ 上长为 $m$ 的道路以及全序集映射 $[n] \to [m]$ 可以给出 $\operatorname{Free}(G)$ 上长为 $n$ 的道路. 于是 $\mathsf{Graph}$ 上的自由范畴单子就是以所有有限长的链为元数的单子.
例 (交换代数的理论). 考虑 $\mathcal E = \mathsf{Ani}$, $\mathcal A = \mathsf{Fin}$, 有一个理论 $j\colon \mathsf{Fin} \to$ … todo
定理. 对于固定的 $(\mathcal E,\mathcal A)$, $\mathcal E$ 上以 $\mathcal A$ 为元数的单子 $T$ 等价于以 $\mathcal A$ 为元数的理论 $j_T\colon \mathcal A\to \Theta_T$, 且单子 $T$ 上的代数等同于理论 $\Theta_T$ 的模型.
事实上, 这一对应构成范畴等价. (BMW, 定理 3.4)
模型条件表述为层条件. 常常 $\mathcal E = \widehat {\mathcal C}$ 是个预层范畴, 而 $\mathcal A$ 是包含了可表函子的一个子范畴 (那么 $\mathcal A$ 当然是稠密的, 因为可表函子是稠密的). 这时脉函子 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A}$ 构成意象之间的几何态射, 于是它的像恰好是 $\mathcal A$ 上由形如 $\{c\to a\mid c\in \mathcal C\}$ 的余锥生成的 Grothendieck 拓扑的层范畴. 这给出了判断预层是否在 $\nu_{\mathcal A}$ 的像中的一个稍微直接一点的条件. (注意, 这并不意味着理论 $(\Theta,j)$ 的模型的范畴是个意象.)
一般映射与自由映射
对于理论 $j\colon \mathcal A \to \Theta$, 称 $j$ 的像中的态射为自由映射, 而对 $\Theta$ 中的态射 $g$, 若对任意分解 $g = j(f) g'$, 都有 $f$ 可逆, 则称 $g$ 为一般映射.
例. 对于 $(\mathsf{Graph},\Delta^{\mathrm{el}})$ 上的理论 $(\Delta,j\colon \Delta^{\mathrm{el}}\to\Delta)$, 容易验证一般态射 $g$ 是保持端点的映射 (假设 $g=j(f)g'$, 则 $f$ 保持端点, 从而必为同构). 注意这里的一个重要性质: 若一个态射是区间含入, 且保持端点, 则其为同构.
例. 对于 $(\mathsf{Ani},\mathsf{Fin})$ 上的理论… todo
齐性理论
定义 (齐性理论, BMW 定义 3.9). 满足如下条件的理论 $(\Theta,j)$ 称为齐性理论:
- $j\colon \mathcal A \to \Theta$ 忠实;
- $\Theta$ 中的一般映射与自由映射构成正交分解系: 每个映射唯一地分解为先一个一般映射后一个自由映射, 一般映射关于复合封闭, 同为一般映射和自由映射的映射为等价.
例
Lawvere 理论
Lawvere 理论等同于 $\mathsf{Set}$ 上以 $\mathsf{Fin}$ 为元数的单子, 即保持滤余极限的单子 (这里用到 $\nu_{\mathsf{Fin}}$ 不仅保持而且反映滤余极限). 见有限性单子.
另一方面, Lawvere 理论也可视为上文所述的 “理论”. 回忆 Lawvere 理论的语法范畴 $\mathbb T$ 的对象形如 $1,x,x^2,\cdots$, 事实上在这里它对应理论 $j\colon \mathsf{Fin} \to \mathbb T^{\mathrm{op}}$, $\{1,\cdots,n\}\mapsto x^n$. 下面我们给出一个论证.
脉函子 $\nu_{\mathsf{Fin}}\colon \mathsf{Set} \to \widehat {\mathsf{Fin}}$ 的像为 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层, 也即元素范畴为滤范畴的预层. 因此,
- $\mathsf{Set}$ 上以 $\mathsf{Fin}$ 为元数的理论
等同于
- 本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j^*j_!$ 保持平坦预层,
因为 $j_!$ 保持可表函子, 且 $j^*j_!$ 保持余极限, 上述结构又等同于
- 本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j^*$ 将 $\Theta$ 上的可表函子映射到 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层,
但 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层就等同于保持有限积的函子 $\mathsf{Fin}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, 故上述结构等同于
- 本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j$ 保持有限余积.
这正是 Lawvere 理论的定义.
$\infty$-范畴
$(\infty,n)$-范畴
$\Theta_T$ 就是 Joyal 范畴 $\Theta_n$.