稠密子范畴 [稠密子范畴]

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观念

稠密子范畴是可用于忠实地探测整个范畴的一族 “足够有代表性” 的对象构成的子范畴.

定义

称函子 $\mathcal C \to \mathcal D$ 稠密是指其对应的脉函子 $\mathcal D \to\widehat {\mathcal C}$ 为全忠实函子.

通过余极限

函子 $\mathcal C \to \mathcal D$ 稠密当且仅当 $\mathcal D$ 的每个对象 $X$ 都是 $\mathcal C$ 的对象的如下余极限: $$ X = \operatorname{colim}_{c\to X,c\in\mathcal C} c. $$

通过余连续函子

Hausdorff 空间的稠密映射 $X\to Y$ 能决定 $Y$ 出发的任意连续函数. 在类似的精神下, 稠密性的另一种等价表述是: 函子 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 稠密当且仅当对任意范畴 $\mathcal E$, $$ f^*\colon \mathsf{Fun}^{\mathrm{cocts}}(\mathcal D,\mathcal E) \to \mathsf{Fun}^{\mathrm{cocts}}(\mathcal C,\mathcal E) $$ 全忠实. 这里 $\mathsf{Fun}^{\mathrm{cocts}}$ 指的是保持任意权在 $\widehat {\mathcal C}$ 中的加权余极限的函子.

例

代数范畴

对于代数理论 (Lawvere 理论) $\mathbb T$, 考虑其在集合范畴中的模型 $\mathsf{Mod}_{\mathsf{Set}}(\mathbb T)$, 那么有限生成自由代数构成稠密子范畴.

几何对象的范畴

(光滑) 流形范畴 $\mathsf{Mfd}$ 中, 由 $\mathbb{R}^0,\mathbb{R}^1,\cdots,\mathbb{R}^n,\cdots$ 构成的全子范畴是稠密子范畴.

概形范畴中, 仿射概形构成全子范畴.

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Joyal 范畴 Θn [Joyal范畴]

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观念

Joyal 范畴 $\Theta_n$ 的对象是探测 $(\infty,n)$-范畴的基本单元, 是单纯形在 $(\infty,n)$-范畴理论中的推广.

定义

归纳定义

记 $\Delta$ 为单纯形范畴, $\Gamma$ 为 Segal 范畴 $\Gamma$, 有典范的函子 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$; 详见 Segal 函子 $\gamma$.

定义. Joyal 范畴 $\Theta_n$ 是 $n$ 个 $\Delta$ 的圈积, 带有典范函子 $|{-}|\colon \Theta_n \to \Gamma$.

该定义出自 Berger.

具体展开圈积 $\Theta_n = \Delta \wr \Theta_{n-1}$ 的定义, $\Theta_n$ 的归纳定义如下:

其对象形如 $[k] (X_1,\cdots,X_k)$, 其中 $[k]\in\Delta$, $X_i\in\Theta_{n-1}$;
态射 $[k] (X_1,\cdots,X_k) \to [\ell] (Y_1,\cdots,Y_\ell)$ 包括单纯形的态射 $\phi\colon [k] \to [\ell]$ 以及 $\Theta_{n-1}$ 中的态射 $X_i \to Y_j$ ($\phi(i-1) < j \leq \phi(i)$);
函子 $|{-}|\colon \Theta_n\to\Gamma$ 定义为 $|[k] (X_1,\cdots,X_k)| = \prod_{i=1}^k |X_i|$ (注意 $\Gamma$ 中的积为 $\langle n \rangle \times \langle m \rangle = \langle n+m \rangle$).

直观上, $\Theta_n$ 的对象 $[k] (X_1,\cdots,X_k)$ 是一个充实于 $\widehat {\Theta_{n-1}}$, 以 $0,1,\cdots,k$ 为对象的范畴, 态射对象为 $\operatorname{Hom}(i-1,i)= X_i$.

如下是 $\Theta_3$ 的一个对象的示意:

这个对象写出来是

    [3] (
        [2] (
            [1] ([0]),
            [0]
        ),
        [0] (),
        [1] ([0])
    ).

$\Theta_n$ 的对象也可理解为类似树的结构, 不过与树不同的是, 每个 “结点” 被指定了一个层级 (一个自然数), 态射必须保持这个自然数.

嵌入

范畴 $\Theta_{n-1}$ 到 $\Theta_n$ 有不止一个合理的嵌入.

最符合直观的含入函子 $i_{n-1}\colon \Theta_{n-1} \to\Theta_n$ 是:

$i_0\colon \Theta_0 = \{[0]\} \hookrightarrow \Theta_1 = \Delta$;
$i_n ([k] (X_1,\cdots,X_k)) = [k] (i_{n-1}(X_1),\cdots,i_{n-1}(X_k))$.

直观上, $\Theta_{n-1}$ 的对象作为 $(n-1)$-范畴, 当然也可以视为 $n$-范畴, 只不过没有非平凡的 $n$-态射. 余极限 $\Theta = \operatorname{colim}_n \Theta_n$ 用的是这种嵌入.

另一个函子 $\sigma\colon \Theta_{n-1} \to \Theta_n$ (有时称为纬悬) 是 $$ \sigma (X) = [1] (X). $$ 直观上, 它有两个对象 $0,1$, 并且把 $X$ 的每个对象变为 $\sigma (X)$ 中的态射 $0\to 1$, 每个 $k$-态射提升为 $(k+1)$-态射.

作为球状集

范畴 $\Theta_n$ 的对象可视为球状集, 不过态射不仅有球状集映射. (事实上球状集映射恰为 $\Theta_n$ 上代数模式结构中的惰性映射.)

通过组合 $n$-圆盘

范畴 $\Theta_n$ 可通过 Joyal 的 “组合 $n$-圆盘” 直接定义.

性质

稠密性

我们知道

$n$-范畴等同于 $\mathsf{Cat}_{n-1}$-充实范畴: $\mathsf{Cat}_n \simeq \mathsf{Cat}_{n-1}\text{-}\mathsf{Cat}$;
圈积有这样的性质, 若 $\mathcal A\subset \mathcal V$ 稠密, 则 $\Delta\wr \mathcal A \subset \mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}$ 稠密;

于是归纳可以证明 $\Theta_n\subset\mathsf{Cat}_n$ 稠密.

代数模式

范畴 $\Theta_n$ 可用于定义 $n$-范畴以及 $\mathbb E_n$-代数的代数模式.

圈积 (范畴论) [圈积]

观念

圈积是 $\mathsf{Cat}_{/\Gamma}$ 上的一个幺半结构, 表现的是 $\mathsf{Cat}$ 上某种多项式的复合, 类似于对称序列的复合积.

类似于对称序列中的结合代数即为算畴, 圈积下的结合代数也可给出 $\mathsf{Cat}$ 上的单子.

定义

记 $\Gamma$ 为 Segal 范畴.

直接定义

设范畴 $\mathcal A,\mathcal B$ 带有到 $\Gamma$ 的函子 $F\colon \mathcal A\to\Gamma$, $G\colon \mathcal B\to\Gamma$.

我们定义范畴 $\mathcal A \wr \mathcal B$ 以及函子 $\mathcal A \wr \mathcal B \to \Gamma$. 范畴 $\mathcal A \wr \mathcal B$ 的对象为 $$ (a,\{b_i\}_{i\in F(a)}), $$ 态射 $(a,\{b_i\}) \to (a',\{b'_i\})$ 为 $\mathcal A$ 中的态射 $f\colon a\to a'$ 以及对每个 $j\in F(f)(i)$ 一个态射 $\eta_{ij}\colon a_i\to a'_j$.

命题. 当范畴 $\mathcal B$ 有零对象时, $$ \mathcal A \wr \mathcal B = \int_{a\in \mathcal A}\mathcal B^{F(a)}. $$

通过自由半加性范畴

首先, 对任意范畴 $\mathcal C$ 定义 $\Gamma \wr \mathcal C$ 为 $\mathcal C$ 生成的自由的 “具有零对象和有限积的范畴”. (Berger 称之为 “半加性范畴”, 但一般人们说的半加性范畴还要求余积与积等价.)

具体地,

$\Gamma \wr \mathcal C$ 的对象形如 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n)$;
态射 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n) \to \langle m \rangle (Y_1,\cdots,Y_m)$ 包含一个 $\Gamma$ 中的态射 $\phi\colon \langle n\rangle \to \langle m \rangle$ 以及 $\mathcal C$ 中的一族态射 $X_i \to Y_j$, $j\in \phi(i)$;
函子 $|{-}|\colon \Gamma \wr \mathcal C \to \Gamma$ 定义为 $|\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n)| = \prod_{i=1}^n |X_i|$ (注意 $\Gamma$ 中的积为 $\langle n\rangle\times \langle m\rangle = \langle n+m\rangle$).

该范畴的零对象为 $\langle 0 \rangle ()$ (空列表), 两个对象 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n), \langle m \rangle (Y_1,\cdots,Y_m)$ 的积为 $\langle n+m \rangle (X_1,\cdots,X_m,Y_1,\cdots,Y_m)$.

注意 $\Gamma$ 本身也可视为 $\Gamma \wr 1$, 即一个对象生成的自由的 “具有零对象和有限积的范畴”..

然后定义一般的圈积: 对于 $\mathcal A\in\mathsf{Cat}_{/\Gamma}$ 以及 $\mathcal B\in\mathsf{Cat}$ (或 $\mathcal B\in\mathsf{Cat}_{/\Gamma}$), 定义 $$ \mathcal A \wr \mathcal B = \mathcal A \times_{\Gamma} (\Gamma \wr \mathcal B). $$

性质

单位

圈积的单位为 $\{\langle 1 \rangle\}\to\Gamma$.

例

与 Segal 范畴 $\Gamma$ 圈积

与单纯形范畴圈积

对范畴 $\mathcal A$, 范畴 $\Delta \wr \mathcal A$ 的对象 $([n],(A_1,\cdots,A_n))$ 可视为某种链条状的 “充实范畴”, 其对象为 $0,1,\cdots,n$, 态射对象为 $$ \operatorname{Hom}(i-1,i) = A_i; $$ 一般地, $$ \operatorname{Hom}(i,j) = A_{i+1}\times\cdots\times A_{j}. $$

为了使这一陈述有意义, 设 $\mathcal V$ 为余完备积闭范畴, $\mathcal A\subset\mathcal V$ 为全子范畴, 则 $\Delta\wr\mathcal A$ 嵌入到 $\mathcal V$-充实范畴的范畴 $\mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}$: $$ \Delta\wr\mathcal A \hookrightarrow \mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}. $$

命题. 若 $\mathcal A\subset\mathcal V$ 稠密, 则 $\Delta\wr\mathcal A \hookrightarrow \mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}$ 也稠密.

证明. 约化到 $\mathcal V = \widehat {\mathcal A}$ 的情形. $\square$

迭代上述命题会给出一系列稠密性:

开始, 我们有 $1$ 在 $\mathsf{Ani}$ 中稠密;
使用上述命题 (或使用常识), 我们有 $\Delta$ 在 $\mathsf{Cat}$ 中稠密;
使用上述命题, 我们有 $\Delta \wr \Delta$ 在 $\mathsf{Cat}\text{-}\mathsf{Cat} = 2\mathsf{Cat}$ 中稠密;
…
使用上述命题, 我们有 $\Delta \wr \cdots \wr \Delta$ 在 $\mathsf{Cat}\text{-}\cdots\text{-}\mathsf{Cat} = n\mathsf{Cat}$ 中稠密.

范畴 $\Delta \wr \cdots \wr \Delta$ 就是 Joyal 范畴 $\Theta_n$.

子范畴 [子范畴]

定义

子范畴是 $\mathsf{Cat}$ 中的单射.

命题. 子范畴就是满足如下条件的函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$:

$F$ 给出对象的生象的单射 $\mathcal C^{\simeq} \to \mathcal D^{\simeq}$;
对任意两个对象 $X,Y\in\mathcal C$, 映射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))$ 为单射.

证明. 这本质上是因为用于探测对象的 $[0]$ 和用于探测态射的 $[1]$ 构成 $\mathsf{Cat}$ 的稠密子范畴. 详见 AFR Lemma 5.6.

定义.

要求上述条件 1 中的态射为等价, 称之为宽子范畴 (wide subcategory);
要求上述条件 2 中的态射为等价, 称之为全子范畴 (full subcategory).

带元数的单子 [带元数的单子]

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观念

带元数的单子 (monad with arities) 是 Berger–Melliès–Weber 引入的概念, 能够表达以下结构:

直观上, 范畴 $\mathcal E$ 上的单子 $T$ 以子范畴 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为元数, 就是说为了表达一个 $T$-结构所需的运算, 只需用 $\mathcal A$ 的对象来探测. 进而 $T$-代数可以定义为满足某种条件的预层.

例如要表达一个生象 $X$ 上的一个幺半群结构, 只需要考虑所有有限集到 $X$ 的映射, 此时有限集 (的元素个数) 就对应运算的元数.

元数不一定是有限集. 例如要表达一个图 $G$ 上的范畴结构, 要考虑的是所有态射串的复合. 此时元数是形如 $\bullet\to\bullet\to\cdots\to\bullet$ 的有限图. 这样, 范畴就可以定义为单纯形范畴上满足某种条件的预层, 即单纯生象. 见 Segal 生象.

带元数的单子又被相对单子涵盖.

另见代数模式.

定义

设 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为稠密全子范畴, 称为元数 (arities) 的范畴. 设 $T$ 为 $\mathcal E$ 上的单子. 记 $\mathcal E^T$ 为 $T$-代数的范畴, 带有自由-遗忘伴随 $F\dashv U\colon \mathcal E\rightleftarrows\mathcal E^{T}$.

回忆, 子范畴 $\mathcal A$ 的稠密性是指

脉函子 $$ \nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A} $$ 是全忠实函子;
$\mathcal E$ 的每个对象 $X$ 都是如下余极限: $$ X = \operatorname{colim}_{A\to X,A\in\mathcal A}A.\ (\star) $$

定义. 若单子 $T$ 满足以下等价条件, 则称单子 $T$ 以 $\mathcal A$ 为元数 (arity):

$\nu_{\mathcal A} T\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 保持所有形如 $(\star)$ 的余极限 (由于 $\nu_A$ 全忠实, 这蕴涵 $T$ 本身也保持 $\star$);
$\nu_{\mathcal A} T$ 是其在 $\mathcal A$ 上的限制的左 Kan 扩张.

或许 $(\star)$ 更有启发性的一种写法是写成余端 $$ X = \int_{A\in\mathcal A} \operatorname{Hom}(A,X)\times A, $$ 条件 $\nu_{\mathcal A}T$ 保持余极限 $(\star)$ 相当于 $$ \operatorname{Hom}(B,TX)=\int_{A\in\mathcal A}\operatorname{Hom}(A,X)\times\operatorname{Hom}(B,TA), $$ (我们后面会解读这个等式的含义) 而函子 $T$ 保持该余极限意味着 $$ TX = \int_{A\in\mathcal A} TA \times X^A. $$ (这里 $X^A$ 代表 $\operatorname{Hom}(A,X)$, 这样写只是为了更有启发性) 换言之, $T$ 具有以 $A\in\mathcal A$ 为 “次数”, $TA$ 为系数的 “多项式展开”. (参考多项式函子, 解析函子.)

范畴 $\Theta_T$

设 $T$ 为 $\mathcal E$ 上的单子, 定义 $\Theta_T$ 为 $\mathcal A$ 的对象生成的自由 $T$-代数构成的范畴. 那么有自由代数函子 $$ j_T\colon \mathcal A \to \Theta_T. $$

我们也可以将 $\Theta_T$ 的对象理解为 $\mathcal A$ 的对象 $A$, 而将 $\Theta_T$ 中的态射 $A\to B$ 理解为 $\mathcal E$ 中的态射 $A \to TB$. (这是 Kleisli 范畴的一个全子范畴.)

嵌入 $\Theta_T \hookrightarrow \mathcal E^T$ 也有相应的脉函子 $$ \nu_T \colon \mathcal E^T \to \widehat {\Theta_T}, $$ 且有交换方块 $$ \begin{CD} \mathcal E^T @>{\nu_T}>> \widehat {\Theta_T} \\ @V{U}VV @VV{j_T^*}V \\ \mathcal E @>>{\nu_{\mathcal A}}> \widehat {\mathcal A}. \end{CD} \quad(\heartsuit) $$

注意到由于 $j_T$ 本质满, 故 $j_T^*$ 是单子性的保守函子.

命题. 如下三个条件等价:

$T$ 是以 $\mathcal A$ 为元数的单子;
交换方块 $(\heartsuit)$ 满足 Beck–Chevalley 条件, 即 Beck–Chevalley 自然变换 $(j_T)_!\nu_A \to \nu_T F$ 为同构.
自然变换 $j_T^*(j_T)_!\nu_A \to j_T^*\nu_T F= \nu_AUF =\nu_A T$ 为同构. (由于 $j_T^*$ 保守, 条件 2 与条件 3 明显等价.) 换言之, 存在单子的态射 $$ \begin{CD} \mathcal E @>{\nu_A}>> \widehat {\mathcal A} \\ @V{T}VV @VV{j^*j_!}V \\ \mathcal E @>>{\nu_A}> \widehat {\mathcal A.} \end{CD} $$

注. 这里的 Beck–Chevalley 自然变换的理解如下. 对于 $X\in\mathcal E$, 由左 Kan 扩张的余端公式, $(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X$ 对每个元数的自由代数 $j_T A$ 给出 $$ \begin{aligned} [(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X] (j_T A) &=\int_{B\in \mathcal A}\operatorname{Hom}_{\Theta_T}(j_T A,j_T B)\times \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X)\\ &=\int_{B\in\mathcal A}\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TB)\times \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X), \end{aligned} $$ 即 “$A$ 个 $B$ 元运算” 搭配 “$B$ 个 $X$ 的元素”.

而自然变换的右边给出 $$ \begin{aligned} [\nu_T F(X)](j_T A) &=\operatorname{Hom}_{\mathcal E^T}(FA,FX) \\ &=\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TX), \end{aligned} $$ 即 “$A$ 个 $TX$ 的元素”.

自然变换 $(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X\to\nu_T F (X)$ 由如下资料给出: $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TB)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TX), $$ 即 “通过 $A$ 个 $B$ 元运算搭配 $B$ 个 $X$ 的元素, 给出 $A$ 个 $TX$ 的元素”. 而这个自然变换为同构, 直观上说的就是 $TX$ 的任何元素都由 $X$ 中的某 $B$ 个元素运算得到.

(例. 对任意集合 $X$, 其生成的自由群的每个元素均为 $X$ 中有限个元素的运算结果.)

证明. 注意到 $(j_T)_!$ 将可表函子对应到可表函子. 故条件 2 与条件 3 中的自然变换在子范畴 $\mathcal A$ 上总是同构. 现在任取 $X\in\mathcal E$, 将其表现为余极限 $$ X = \operatorname{colim}_{A\to X, A\in\mathcal A}A, $$ 假若单子 $T$ 保持该余极限, 那么条件 3 中的自然变换在 $X$ 上也是同构.

推论 (常称为脉定理). 设 $T$ 是以 $\mathcal A$ 为元数的单子, 那么

$\nu_T$ 为全忠实函子. 换言之, $T$-代数可由 $\mathcal A$ 的对象生成的自由代数来探测;
对于 $\Theta_T$ 上的预层 $X$, 其落在 $\nu_T$ 的像中当且仅当其沿 $j_T$ 的限制落在 $\nu_A$ 的像中.

因此, $T$-代数可以定义为 $\Theta_T$ 上满足某种条件的预层.

证明. 将 $\mathcal E$ 等同于 $\nu_A\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 的像, 那么单子 $T$ 等同于单子 $j^*j_!$ 在 $\mathcal E$ 上的限制, 所以 $T$-代数等同于落在 $\mathcal E$ 中的 $j^*j_!$-代数, 而 $j_!\dashv j^*$ 单子性意味着 $j^*j_!$-代数就是 $\Theta_T$ 上的预层. $\square$

理论

上述范畴 $\Theta_T$ 及函子 $j_T\colon \mathcal A\to\Theta_T$ 可以抽象如下.

设 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为稠密全子范畴, 定义一个以 $\mathcal A$ 为元数的理论为一个本质满函子 $$ j\colon \mathcal A \to \Theta, $$ 使得伴随 $j_! \dashv j^*$ 诱导的单子 $j^*j_!\colon \widehat {\mathcal A} \to \widehat {\mathcal A}$ 保持脉函子 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 的像.

该理论的一个模型是 $\Theta$ 上的一个预层, 满足其沿 $j$ 的限制落在 $\nu_{\mathcal A}$ 的像中.

我们应该将 $\Theta$ 理解为元数 $\mathcal A$ 生成的自由代数的范畴, 将 $j\colon \mathcal A \to\Theta$ 理解为自由函子.

单子给出理论. 由定义, $\mathcal E$ 上以 $\mathcal A$ 为元数的单子 $T$, 有理论 $(\Theta_T,j_T)$.

理论恢复出单子. 由定义, 对理论 $(\Theta,j)$ 可以恢复出 $\mathcal E$ 上的一个单子 $T$: 若将 $\mathcal E$ 等同于 $\widehat {\mathcal A}$ 的子范畴, 那么单子 $T$ 等于 $j^*j_!$ 的限制.

例 (范畴的理论). 考虑 $\mathcal E = \mathsf{Graph}$ (有向图的范畴), $\mathcal A = \Delta^{\mathrm{int}}$ 为有限长的链 $[n] = \{0\to 1\to\cdots\to n\}$ 构成的全子范畴. (注意 $\Delta^{\mathrm{int}}$ 中的态射只有 “区间含入”, 没有一般的全序集态射. $\mathrm{int}$ 是 “惰性” inert 的缩写, $\Delta^{\mathrm{int}}$ 这个记号暗示了它在代数模式中的作用.) 此时有一个理论 $j\colon \mathcal \Delta^{\mathrm{int}}\to \Delta$, 将图 $[n]$ 对应到全序集 $[n]$. 单子 $j^*j_!\colon \widehat {\Delta^{\mathrm{int}}} \to \widehat {\Delta^{\mathrm{int}}}$ 为 $$ (j^*j_! X)([n]) = \int_{[m]}\operatorname{Hom}_{\Delta}([n],[m])\times X([m]). $$ 可以这样理解: 一个图 $G$ 的自由范畴 $\operatorname{Free}(G)$ 是一个更大的图, 通过 $G$ 上长为 $m$ 的道路以及全序集映射 $[n] \to [m]$ 可以给出 $\operatorname{Free}(G)$ 上长为 $n$ 的道路. 于是 $\mathsf{Graph}$ 上的自由范畴单子就是以所有有限长的链为元数的单子.

例 (交换代数的理论). 考虑 $\mathcal E = \mathsf{Ani}$, $\mathcal A = \mathsf{Fin}$, 有一个理论 $j\colon \mathsf{Fin} \to$ … todo

定理. 对于固定的 $(\mathcal E,\mathcal A)$, $\mathcal E$ 上以 $\mathcal A$ 为元数的单子 $T$ 等价于以 $\mathcal A$ 为元数的理论 $j_T\colon \mathcal A\to \Theta_T$, 且单子 $T$ 上的代数等同于理论 $\Theta_T$ 的模型. 事实上, 这一对应构成范畴等价. (BMW, 定理 3.4)

模型条件表述为层条件. 常常 $\mathcal E = \widehat {\mathcal C}$ 是个预层范畴, 而 $\mathcal A$ 是包含了可表函子的一个子范畴 (那么 $\mathcal A$ 当然是稠密的, 因为可表函子是稠密的). 这时脉函子 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A}$ 构成意象之间的几何态射, 于是它的像恰好是 $\mathcal A$ 上由形如 $\{c\to a\mid c\in \mathcal C\}$ 的余锥生成的 Grothendieck 拓扑的层范畴. 这给出了判断预层是否在 $\nu_{\mathcal A}$ 的像中的一个稍微直接一点的条件. (注意, 这并不意味着理论 $(\Theta,j)$ 的模型的范畴是个意象.)

一般映射与自由映射

对于理论 $j\colon \mathcal A \to \Theta$, 称 $j$ 的像中的态射为自由映射, 而对 $\Theta$ 中的态射 $g$, 若对任意分解 $g = j(f) g'$, 都有 $f$ 可逆, 则称 $g$ 为一般映射.

例. 对于 $(\mathsf{Graph},\Delta^{\mathrm{el}})$ 上的理论 $(\Delta,j\colon \Delta^{\mathrm{el}}\to\Delta)$, 容易验证一般态射 $g$ 是保持端点的映射 (假设 $g=j(f)g'$, 则 $f$ 保持端点, 从而必为同构). 注意这里的一个重要性质: 若一个态射是区间含入, 且保持端点, 则其为同构.

例. 对于 $(\mathsf{Ani},\mathsf{Fin})$ 上的理论… todo

齐性理论

定义 (齐性理论, BMW 定义 3.9). 满足如下条件的理论 $(\Theta,j)$ 称为齐性理论:

$j\colon \mathcal A \to \Theta$ 忠实;
$\Theta$ 中的一般映射与自由映射构成正交分解系: 每个映射唯一地分解为先一个一般映射后一个自由映射, 一般映射关于复合封闭, 同为一般映射和自由映射的映射为等价.

例

Lawvere 理论

Lawvere 理论等同于 $\mathsf{Set}$ 上以 $\mathsf{Fin}$ 为元数的单子, 即保持滤余极限的单子 (这里用到 $\nu_{\mathsf{Fin}}$ 不仅保持而且反映滤余极限). 见有限性单子.

另一方面, Lawvere 理论也可视为上文所述的 “理论”. 回忆 Lawvere 理论的语法范畴 $\mathbb T$ 的对象形如 $1,x,x^2,\cdots$, 事实上在这里它对应理论 $j\colon \mathsf{Fin} \to \mathbb T^{\mathrm{op}}$, $\{1,\cdots,n\}\mapsto x^n$. 下面我们给出一个论证.

脉函子 $\nu_{\mathsf{Fin}}\colon \mathsf{Set} \to \widehat {\mathsf{Fin}}$ 的像为 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层, 也即元素范畴为滤范畴的预层. 因此,

$\mathsf{Set}$ 上以 $\mathsf{Fin}$ 为元数的理论

等同于

本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j^*j_!$ 保持平坦预层,

因为 $j_!$ 保持可表函子, 且 $j^*j_!$ 保持余极限, 上述结构又等同于

本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j^*$ 将 $\Theta$ 上的可表函子映射到 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层,

但 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层就等同于保持有限积的函子 $\mathsf{Fin}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, 故上述结构等同于

本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j$ 保持有限余积.

这正是 Lawvere 理论的定义.

$\infty$-范畴

$(\infty,n)$-范畴

$\Theta_T$ 就是 Joyal 范畴 $\Theta_n$.

脉 [脉]

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观念

给定单纯形范畴到另一个范畴 $\mathcal C$ (其对象通常是某种几何对象) 的函子 $$ \Delta_{\mathcal C}\colon \Delta\to \mathcal C, $$ 设想 $\Delta_{\mathcal C}([n])$ 为标准单纯形 $[n]\in\Delta$ 的几何实现. 那么 $\mathcal C$ 中一般的对象 $X$ 可用单纯形来探测: 定义 $X$ 的脉 (nerve) 为如下单纯集 $N(X)$, $$ N(X)_n := \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\Delta_{\mathcal C}[n], X). $$ 常常人们进而考虑这个单纯集表现的生象.

当然, 上述构造没有用到范畴 $\Delta$ 的任何具体性质.

形式右伴随

脉函子还可以更抽象地理解为形式右伴随.

脉与几何实现

脉的构造往往伴随着几何实现.

定义

给定函子 $i\colon \mathcal D \to \mathcal C$, 定义相应的脉函子为米田嵌入的限制 $$ \nu\colon \mathcal C \overset{\mathbf{y}}{\to} \widehat {\mathcal C} \overset{i^*}{\to} \widehat {\mathcal D}. $$

例

奇异单纯集

拓扑空间 $X$ 的奇异单纯集 $\operatorname{Sing}X$ 是对应于如下函子 $\Delta \to \mathsf{Top}$ 的脉: $$ [n]\mapsto |\Delta^n| := \{(0\leq x_1\leq \cdots \leq x_n\leq 1): x_i\in\mathbb{R}\}. $$

范畴的脉

范畴 $\mathsf C$ 的脉 $N(\mathsf C)$ 是一个拟范畴, 这个脉来自嵌入函子 $\Delta\to\mathsf{Cat}$, 将偏序集 $[n]$ 视为范畴.

截面层

拓扑空间 $X$ 上的丛的截面层 $$ \mathsf{Top}_{/X} \to \mathsf{Psh}(X) $$ 可视为一种脉函子, 它来自于 “将开集视为平展空间” 的嵌入函子 $$ \operatorname{Open}(X) \to\mathsf{Et}_{/X}\hookrightarrow\mathsf{Top}_{/X}. $$ 其对应的几何实现为平展空间 $$ \mathsf{Sh}(X)\to\mathsf{Et}_{/X}. $$

性质

脉的脉

函子 $i\colon \mathcal D \to \mathcal C$ 的脉函子 $\nu_i\colon \mathcal C \to \widehat {\mathcal D}$ 的脉函子 $\nu_{\nu_i}\colon \widehat {\mathcal D} \to \widehat {\mathcal C}$ 恰好等于沿 $i$ 的右 Kan 扩张, 也即 $i^*$ 的右伴随 $i_*$.

证明: $$ \begin{aligned} (\nu_{\nu_i} X) (c) &= \operatorname{Hom}_{\widehat {\mathcal D}}(\nu_i (c), X)\\ &=\operatorname{Hom}_{\widehat {\mathcal D}}(i^* \mathbf{y}(c), X)\\ &=\operatorname{Hom}_{\widehat {\mathcal C}}(\mathbf{y}(c), i_*X)\\ &=(i_*X)(c). \end{aligned} $$

稠密性

命题.

函子 $i\colon \mathcal D \to \mathcal C$ 稠密当且仅当脉函子 $\nu_i\colon \mathcal C \to \widehat {\mathcal D}$ 全忠实;
函子 $i\colon \mathcal D \to \mathcal C$ 全忠实当且仅当脉函子 $\nu_i\colon \mathcal C \to \widehat {\mathcal D}$ 稠密.

证明.

第一个命题是稠密性的定义.
由定义以及前面的命题 $\nu_{\nu_i} = i_*$, 我们要证明函子 $i\colon \mathcal D \to \mathcal C$ 全忠实当且仅当 $i_*\colon \widehat {\mathcal D} \to \widehat {\mathcal C}$ 全忠实. 注意到 $i_*$ 全忠实等价于 $i^*\dashv i_*$ 的余单位 $i^*i_*\to\mathrm{id}_{\widehat {\mathcal D}}$ 为等价. 显式计算: $$ \begin{aligned} i^*i_* X (d) &= i_*X (i(d))\\ &=\operatorname{Hom}_{\widehat {\mathcal D}}(\mathbf{y}(i(d)),i_*X)\\ &=\operatorname{Hom}_{\widehat {\mathcal C}}(\nu_i (i(d)),X) \to X(d), \end{aligned} $$ 那么这等价于 $\nu_i (i(d)) = \mathbf{y}(d)$. 展开定义, 这就是说对任意对象 $d'\in\mathcal D$, $\operatorname{Hom}(i(d'),i(d))=\operatorname{Hom}(d',d)$, 即 $i$ 全忠实.

脉性单子 [脉性单子]

百科
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观念

脉性单子 (nervous monad) 是一个类似于带元数的单子的概念, 比它稍弱一些. 大致上, 对于给定的子范畴 $\mathcal A\subset\mathcal E$, 称单子 $T\colon \mathcal E\to\mathcal E$ 具有 “脉性”, 说的是 $T$-代数可以用 $\mathcal A$ 的对象生成的自由代数来探测, 从而给出一个脉的刻画.

定义

预理论与单子

固定稠密全子范畴 $\mathcal A\subset\mathcal E$, 定义 $\mathcal A$-预理论 (pretheory) 为本质满函子 $$ j\colon \mathcal A \to \mathcal K. $$ 这里的直观是 $\mathcal K$ 就像一个 Kleisli 范畴, 其中的对象是元数, 态射是一个代数理论中的变量代换. 记预理论的范畴为 $\mathsf{Pth}(\mathcal A)$. 定义预理论 $\mathcal K$ 的模型的范畴为如下拉回, $$ \begin{CD} \mathsf{Mod}_{\mathcal E}(\mathcal K) @>>> \widehat {\mathcal K} \\ @VVV @VV{j^*}V \\ \mathcal E @>>{\nu_{\mathcal A}}> \widehat {\mathcal A} \end{CD} $$ 其中 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A}$ 为脉函子; 由于 $\mathcal A$ 的稠密性, $\nu_{\mathcal A}$ 为全忠实函子.

由于 $j\colon \mathcal A\to\mathcal K$ 本质满, 可知 $j^*\colon \widehat {\mathcal K} \to \widehat {\mathcal A}$ 单子性, 进而 (由可表现范畴的性质) 其拉回 $\mathsf{Mod}(\mathcal E)(\mathcal K)\to\mathcal E$ 单子性, 即存在单子 $\mu^{\mathcal K}$ 使得 $\mathsf{Mod}_{\mathcal E}(\mathcal K) \simeq \mathcal E^{\mu^{\mathcal K}}$.

这给出 $\mathcal A$-预理论到 $\mathcal E$ 上的单子的一个对应 $$ \mu\colon \mathsf{Pth}(\mathcal A) \to \mathsf{Mnd}(\mathcal E). $$

另一方面, 对 $\mathcal E$ 上任何单子 $T$, 考虑其 Kleisli 范畴 $\mathcal E \to \mathsf{Kl}(T)$ 中 $\mathcal A$ 的本质像, 都给出一个 $\mathcal A$-预理论, 记作 $\mathcal A \to \operatorname{Th}(T)$. 事实上这两个过程构成一对幂等伴随 $$ (\mu \dashv \operatorname{Th})\colon \mathsf{Pth}(\mathcal A) \rightleftarrows \mathsf{Mnd}(\mathcal E). $$

定义. 上述幂等伴随的不动点称为 $\mathcal A$-脉性单子.

例

代数模式

设 $\mathcal O$ 为代数模式, 即一个范畴 $\mathcal O$ 带有正交分解系 $(\mathcal O_{\mathrm{act}},\mathcal O_{\mathrm{int}})$ 以及全子范畴 $i\colon \mathcal O_{\mathrm{el}} \subset \mathcal O_{\mathrm{int}}$. 考虑脉函子 $$ \nu_i \colon \mathcal O_{\mathrm{int}} \to \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} $$ 的脉函子 $$ \nu_{\nu_i} \colon \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} \to \widehat {\mathcal O_{\mathrm{int}}}; $$ 它等同于沿 $i\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$ 的右 Kan 扩张 $i_*$, 因此 Segal 对象的范畴为如下的拉回: $$ \begin{array}{ccc} \mathsf{Seg}_{\mathcal O} & \rightarrow & \widehat {\mathcal O} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} & \rightarrow & \widehat {\mathcal O_{\mathrm{int}}}. \end{array} $$

注意 $i$ 全忠实蕴涵 $\nu_i$ 稠密, 且 $\nu_{\nu_i} = i_*$ 全忠实. 因此 Segal 对象的范畴 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O}$ 正是 $\mathcal O_{\mathrm{int}}$-预理论 $\mathcal O_{\mathrm{int}}\to \mathcal O$ (注意这是个本质满函子) 的模型的范畴.

高阶仿射性 [高阶仿射性]

百科
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观念

高阶仿射性是仿射性的推广, $n$-仿射性大致是说一个几何对象 (Gestalt) 被其上某种 $n$-范畴值的层 (例如 $n$ 阶拟凝聚层) 决定.

定义

1-仿射性: 常值层-整体截面伴随

对于预叠 $X$, 有一对伴随 $\mathrm{L}_X \dashv \Gamma(X,-)$,

整体截面 $\Gamma(X,-) \colon 2\mathsf{QCoh}(X) \to \mathsf{Mod}(\mathsf{QCoh}(X))$, 其定义为 $$ \Gamma(X,F) = \lim_{S\in \mathsf{Aff}_{/X}}\Gamma(S,F), $$ 且 $\Gamma(X,F)$ 上自然带有 $\mathsf{QCoh}(X)$-模结构;
整体截面的左伴随 (“常值层”) $\mathrm{L}_X \colon \mathsf{Mod}(\mathsf{QCoh}(X)) \to 2\mathsf{QCoh}(X)$, 其定义为 $$ \Gamma(S,\mathrm{L}_X(G)) = \mathsf{QCoh}(S)\otimes_{\mathsf{QCoh}(X)} G. $$

定义 (Gaitsgory 定义 1.3.7). 若 $\Gamma(X,-)$ 与 $\mathrm{L}_X$ 互逆, 则称 $X$ 为 $1$-仿射预叠.

1-仿射性: 抽象定义

Montagnani–Pavia 对最抽象的 ∞-景上的层定义了 $1$-仿射性. 设有 ∞-景 $\mathcal C$ 上的对称幺半范畴层 $$ D \colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}), $$ 定义其范畴化为如下将 $\mathcal C$ 的对象对应到余完备范畴的函子 $$ D^{\mathrm{cat}}\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Cat}_{\mathrm{cocomp}}, $$ $$ U \mapsto \mathsf{Mod}(D(U)). $$

设 $\iota\colon \mathcal C \to \widehat {\mathcal C}$ 为稠密嵌入 (如米田嵌入), 有两种方式将 $D$ 的范畴化扩张至 $\widehat {\mathcal C}$:

先将右 Kan 扩张至 $\widehat {\mathcal C}$, 再范畴化;
先范畴化, 再右 Kan 扩张至 $\widehat {\mathcal C}$.

这两个过程所得的函子未必相同, 但对 $X\in\widehat {\mathcal C}$ 有一自然比较 $$ \mathsf{Mod}(\operatorname{RKE}_{\iota}D(X)) \to \operatorname{RKE}_{\iota} D^{\mathrm{cat}}(X). $$ 当这个比较映射为等价时, 称 $X$ 为 $1$-仿射对象.

高阶仿射性与单子性的联系

高阶仿射性可以描述为整体截面函子的单子性.

定义 (Stefanich 14.3.6, 14.3.7). 设 $n\geq 2$, 对于预叠 $X$, 若整体截面 $\Gamma(X,-)\colon (n+1)\mathsf{QCoh}(X)\to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{L}$ 单子性, 则称 $X$ 为 $n$-仿射预叠. 称预叠的态射 $f\colon X\to Y$ 为 $n$-仿射态射, 是指对任意仿射概形 $S$ 到 $Y$ 的映射, $X\times_Y S$ 为 $n$-仿射预叠.

定义 (Stefanich 14.3.8). 在 $n=1$ 的情形, 称满足如下条件的预叠 $X$ 为 $1$-仿射: 拉回函子 $\pi^*\colon \mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}_{\mathrm{st}}= 2\mathsf{QCoh}(\operatorname{Spec}(\mathbb{S})) \to 2\mathsf{QCoh}(X)$ 具有一个单子性的右伴随.

1-仿射性的判定

Gaitsgory 引入了 $1$-仿射性的一些判定条件.

例

定理 (Gaitsgory 定理 2.2.2). 对于有限型仿射代数群 $G$, 其逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 为 $1$-仿射叠.

证明的大致思路是, 约化到 $\mathrm{GL}_n$, 此时由定理 6.3.7, 仅需证明

定理 (Gaitsgory 定理 2.5.7). 对于线性空间 $V$, 视为 $\mathsf{PreStk}$ 中的 $\mathbb{E}_\infty$-群, 其高阶逆环路空间

$\mathbf{B}V$ 是 $1$-仿射叠.
$\mathbf{B}^2V$ 是 $1$-仿射叠.
$\mathbf{B}^3V$ 是 $1$-仿射叠.
$\mathbf{B}^4V$ 不是 $1$-仿射叠.