高阶范畴 [高阶范畴]

观念
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一个高阶范畴是一类对象和对象之间的态射构成的全体; 不同于普通范畴的是, 高阶范畴两个对象 $X,Y$ 之间的态射全体 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ 本身也构成高阶范畴, 从而可以谈论态射之间的态射 ($2$-态射), 态射之间的态射之间的态射 ($3$-态射), …, 以至于无穷.

根据同伦信息的层级, 可将高阶范畴用两个整数 $n,r$ 分类. 见 $(n,r)$-范畴.

第一个数 $n$ 表示有之多 $n$ 阶非平凡态射 (这是个粗略的说法, 详见 $(n,r)$-范畴),
第二个数 $r$ 表示有至多 $r$ 阶不可逆态射.

高阶范畴常常是用基本形状定义的. 例如 $(\infty,1)$-范畴可用单纯形定义, $(\infty,n)$-范畴可用 Joyal 范畴 $\Theta$ 的对象定义. 这些基本形状可用于探测高阶范畴中的复合运算, 从而将高阶范畴视为相应代数模式的 Segal 对象. 然而我们不必困于特定的一组基本形状, 而是可用许多不同形状的胞腔粘成图形. 参见线图, 流形图.

高阶范畴也可以通过充实范畴理论来归纳地定义; 如 $(n,r)$-范畴就是充实于 $\mathsf{Cat}_{(n-1,r-1)}$ 的范畴.

性质

范畴的范畴

高阶范畴之间也有态射, 称为函子. 函子不仅将对象映射到对象, 而且将态射范畴映射到态射范畴. 最重要的函子是 “态射” 函子 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,-) \colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C \to \mathsf{Cat}. $$ 由此可以给出态射的复合, 以及复合的结合律等.

因此, 高阶范畴的全体也构成一个高阶范畴. $(n,r)$-范畴的全体构成一个 $(n+1,r+1)$-范畴.

关联页面

2-范畴 [2-范畴]

百科
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观念

$2$-范畴是允许至多 $2$ 阶不可逆态射的高阶范畴.

$2$-范畴的概念在文献中也称为 “弱 $2$-范畴 (weak $2$-category)”, 这是为了区分 2-范畴与严格 2-范畴 (strict $2$-category). 两者的区别是, 2-范畴中态射复合的结合律和幺元律是由一个可逆 $2$-态射给出, 是结构而非性质.

另一个不同的概念是双范畴 (double category).

定义

传统

$2$-范畴 $\mathcal C$ 由如下信息组成:

一个类 $\operatorname{Ob}(\mathcal C)$, 其中元素称为 $\mathcal C$ 的对象;
对 $x,y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 有一个小范畴 $\mathcal C (x,y)$, 其中的对象称作 $\mathcal C$ 的 $1$-态射 (横向态射), 态射称作 $\mathcal C$ 的 $2$-态射;
对 $x,y,z\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 有一个函子 $\circ \colon \mathcal C(y,z)\times \mathcal C(x,y) \to \mathcal C(x,z)$, 称作横向复合 (每个 $\mathcal C(x,y)$ 中的复合称作纵向复合);
自然同构 $l_{x,y} \colon (1_y\circ{-}) \Rightarrow \operatorname{id}_{\mathcal C(x,y)}$, $r_{x,y}\colon ({-}\circ 1_x)\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal C(x,y)}$, 称作左右单位子;
结合子.

这些结构需满足如下融贯条件:

三角形公理 ($g\circ 1\circ f$ 的结合);
五边形公理 (四个态射的结合).

所有态射都是等价的 $2$-范畴称为 $2$-群胚.

作为弱充实范畴

$2$-范畴是充实于 $\mathsf{Cat}$ 的范畴.

例

范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 是 $2$-范畴.

拓扑空间的基本 $2$-群胚是 $2$-群胚.

性质

与幺半范畴的联系

在 $2$-范畴 $\mathcal C$ 中, 一个对象 $a$ 到自身的态射构成一个幺半范畴 $\mathcal C(a,a)$, 其中的 “张量积” 为 $\mathcal C$ 的横向复合.

幺半范畴可视为仅有一个对象的 $2$-范畴.

范畴的范畴 [Cat]

观念

一般而言, 某种范畴构成的全体是一个更高一阶的高阶范畴.

定义

作为完备 Segal 对象的范畴

见 Segal 空间.

性质

余极限

Higher Algebra Done Right [HADR]

讲稿
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Higher Algebra Done Right 是我和一些朋友 2023 年建立的群组, 以及 2026 年秋季学期组织的讨论班的名称.

讨论班主页: https://simplicialcat.github.io/HADR

高阶代数就是在高阶范畴中做的代数. 稍有高阶范畴经验的人就会明白, 高阶范畴的所有本质困难, 或者说特色, 都来源于对 “相等” 这件事情的重新理解. 在传统数学中, 两个东西的相等是个命题, 要么真要么假. 在高阶范畴中, 两个东西的相等是一种新的东西, 而这种新的东西之间又可以谈论相等, 以至于无穷. 这是同伦类型论居于高阶范畴语言的核心的原因. 代数就是处理运算与等式的学问. 在高阶代数中, 我们永远不应该手动制造相等, 而是要用范畴论机器自动地生产出所有的相等. 这就是高阶代数的总纲领.

HADR (1) 代数模式与算畴 [HADR-1-ope]

讲稿
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本部分大致对应 Lurie HA 第 2 章 $\infty$-Operads.

HADR - 代数模式 [HADR-alg-patt]

讲稿
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详见代数模式, 这里仅列举要点:

一个代数模式是一个范畴 $\mathcal O$ 配备分解系统 $(\mathcal O_{\mathrm{act}},\mathcal O_{\mathrm{int}})$, 分别称为活性映射与惰性映射, 以及全子范畴 $\mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$, 称为基本对象的范畴.

我们的观念是

底层结构是基本对象的范畴 $\mathcal O_{\mathrm{el}}$ 上的预层;
代数模式所表达的结构是底层结构上的代数结构, 即单子性函子 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O} \to \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}}$;
代数模式只是代数结构的表现, 正如景是意象的表现.

代数模式 $\mathcal O$ 在积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的 Segal 对象是一个函子 $F\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 满足 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}$ 是 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张.

重要的例子包括

Lurie 意义下的算畴是一种特殊的代数模式 $\mathcal O \to \Gamma$, 所谓弱 Segal 纤维化.

关于代数模式方向约定的解释. 在本页面与代数模式页面, 我们使用的方向约定 (即代数模式的底层范畴 $\mathcal O$ 及其子范畴的方向) 与 Chu–Haugseng 以及 Lurie 都相反. 我认为两种约定都有道理, 并且两者可以视为一对代数–几何对偶,

我们约定中的代数模式 $\mathcal O$ 可视为 “代数侧”, 其对象大致可理解为基本对象生成的自由代数对象, 态射可理解为变量代换, 例如 $\mathbb{Z}[t] \to \mathbb{Z}[x,y]$, $t\mapsto x+y$.
而 Chu–Haugseng 与 Lurie 约定中的范畴 $\mathcal O$ ($\mathcal O^{\otimes}$) 可视为对偶的 “几何侧”, 态射可视为运算, 例如 $\mathbb A^2 \to \mathbb A^1$, $(x,y)\mapsto x+y$.

例子: 游走的自同态

记录一个小例子, 可以作为习题检验自己对代数模式的理解.

考虑仅有一个点 $*$ 和一条边 $*\to *$ 的有向图, 问这个有向图自由生成的范畴是什么. 注意到它是 $\Delta_{\mathrm{el}}$ 上的预层范畴中的终对象, 通过右 Kan 扩张得到的代数模式 $\Delta_{\mathrm{int}}$ 的 Segal 对象 $$ X\colon \Delta_{\mathrm{int}}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}. $$ 仍是终对象 (右 Kan 扩张保持终对象): $$ X ([n]) = 1. $$ 我们通过左 Kan 扩张求其自由生成的 $\Delta$ 的 Segal 对象: $$ \operatorname{LKE}(X)([1]) = \operatorname{colim}_{[1] \to [n]} X([n]) = \big| \{[1]\to [n]\} \big|, $$ 其中 $|{-}|$ 表示取范畴的底层生象. 这个指标范畴认真写出来是:

对象为 $[1]\to [n]$,
态射为交换图 $\begin{array}{ccc} [1] & & \\ \downarrow & \searrow & \\ [n] & \rightarrowtail & [m] \end{array}$, 其中 $[n]\rightarrowtail [m]$ 是惰性的.

断言. 指标范畴 $\{[1]\to [n]\}$ 是 $\mathbb{N}$ 个范畴的无交并, 其中每个部分都是弱可缩范畴.

为了证明上述断言, 考虑每个态射 $[1]\to [n]$ 的活性部分. 对指标范畴中的任意态射 $\begin{array}{ccc} [1] & & \\ \downarrow & \searrow & \\ [n] & \rightarrowtail & [m] \end{array}$, 由于 $[n]\rightarrowtail [m]$ 是惰性的, 其两边 $[1]\to [n]$ 和 $[1]\to [m]$ 的活性部分相同, 这就将指标范畴归为了 $\mathbb{N}$ 个连通分支. 另一方面, 设 $[1] \to [n]$ 的活性部分为 $[1] \to [k]$, 则由正交分解, 存在唯一的惰性映射 $[k]\rightarrowtail [n]$ 连接两者; 故这个连通分支是弱可缩的.

…

不难发现左 Kan 扩张给出的自由的 Segal 生象 $\operatorname{LKE}(X)$ 为游走的自同态 $\mathbf{B}\mathbb{N}$.

HADR - 算畴 [HADR-ope]

讲稿
SimplicialCat

代数模式 $\mathrm{Assoc}$

前面介绍的代数模式的态射 $\gamma\colon \Delta \to \Gamma$ (另见 Segal 函子 $\gamma$) 未能通过左 Kan 扩张给出结合代数的交换化, 因为左 Kan 扩张不保持 Segal 条件. 事实上, 我们可以将 $\Delta$ 替换为 (或者说是补全为) $\Gamma$ 上的另一个代数模式 $\mathrm{Assoc} \to \Gamma$, 不改变其 Segal 对象, 同时又能通过左 Kan 扩张直接给出结合代数的交换化.

定义代数模式 $\mathrm{Assoc}$ 如下:

范畴 $\mathrm{Assoc}$ 的对象为 $\langle 0 \rangle, \langle 1 \rangle, \langle 2 \rangle, \cdots$, 态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$ 对每个 $i\in\{1,\cdots, n\}$ 赋予互不相交的子集 $S_i\subset \{1,\cdots,m\}$ 以及 $S_i$ 上的一个全序 (注意这是 $\mathrm{Assoc}$ 与 $\Gamma$ 的区别所在).
活性映射, 惰性映射与 $\Gamma$ 的定义相同, 即惰性映射为每个元素对应一个单元子集, 活性映射为所有像之并等于全集.
基本对象为 $\langle 1 \rangle$.

由定义很明显有代数模式的态射 $u\colon \mathrm{Assoc} \to \Gamma$ (甚至每个对象 $\langle n \rangle$ 在两种模式中所含的基本对象的范畴都相同, 都是 $n$ 个对象的离散范畴).

另外还有一个函子 $\Delta \to \mathrm{Assoc}$:

将 $[n]\in\Delta$ 对应到 $\langle n \rangle \in \mathrm{Assoc}$,
单纯形映射 $[n] \to [m]$ 把 $[n]$ 的每个基本箭头 $0\to 1, 1\to 2,\cdots, (n-1)\to n$ 对应到 $[m]$ 的连续若干个 (也可能是零个) 箭头的复合; 这些箭头当然带有继承自 $[m]$ 的全序), 从而给出 $\mathrm{Assoc}$ 中的态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$.

这样我们可以看到 $\Delta$ 与 $\mathrm{Assoc}$ 的区别: $\Delta$ 中的态射是保序映射, 而 $\mathrm{Assoc}$ 的态射不必保序 (毕竟对象上本身没有序), 而是要在每个元素打到的子集上手动指定一个序.

尽管如此, 代数模式 $\mathrm{Assoc}$ 的 Segal 对象还是等同于结合代数. 直观上, 给定结合代数 $X$ 作为 Segal 对象 $X\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 要得到 Segal 对象 $X\colon \mathrm{Assoc}^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$, 即对每个态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$ 指定 $X^m \to X^n$, 只需要将 $X^m$ 重组为 $\prod_{i=1}^n X^{S_i}$, 排列每个 $S_i$, 然后将若干个 $X^{S_i}\to X$ 拼起来就可以了.

沿 $u\colon \mathrm{Assoc} \to \Gamma$ 的左 Kan 扩张给出

$$ u_! A = \operatorname{colim}_{\langle 1\rangle\leadsto\langle m \rangle} A^m. $$ (这里左 Kan 扩张公式中的指标范畴可以只取活性映射.) 注意到指标范畴的对象 $\langle 1\rangle\leadsto\langle m \rangle$ 上有对称群的作用, 我们看到任意 $m$ 个元素的不同顺序的乘法在 $u_! A$ 中都等同起来了.

Lurie 的算畴 (对称算畴)

上面介绍的 $\mathrm{Assoc}$ 是 Lurie HA 定义的算畴的一例. 其实 Lurie 的每个算畴都可视为代数模式.

在我们使用的约定中 (参见代数模式; 注意我们与 Lurie 相差一个反范畴), 一个算畴是一个函子 $$ p\colon \mathcal O \to \Gamma, $$ 记 $p^{-1}(\langle n\rangle)$ 为 $\mathcal O_{\langle n \rangle}$, 满足以下条件:

(惰性提升) $\Gamma$ 中每个惰性映射 $\langle n\rangle \rightarrowtail \langle m \rangle$ 都有沿 $p$ 的水平 (Cartesian) 提升, 且给出反向的函子 $\mathcal O_{\langle m \rangle} \to \mathcal O_{\langle n \rangle}$; 合起来这给出 $\Gamma_{\mathrm{int}}$ 上的拉回纤维化;
(Segal 条件) 由惰性映射 $\rho_i\colon \langle 1\rangle \rightarrowtail \langle n\rangle$ (将 $\{1\}$ 唯一的元素对应到单元子集 $\{i\}\subset \{1,\cdots,n\}$) 给出的态射 $\mathcal O_{\langle n \rangle} \to \prod_{i=1}^n \mathcal O_{\langle 1 \rangle}$ 是等价;
对于 $X\in\mathcal O_{\langle k\rangle}$, $Y\in\mathcal O_{\langle \ell\rangle}$ 以及 $\Gamma$ 中任意态射 $f\colon \langle k\rangle \to \langle \ell \rangle$, $$ \operatorname{Hom}^f(X,Y) \simeq \prod_{i=1}^{k}\operatorname{Hom}^{f\rho_i}(X_i,Y), $$ 其中 $X_i$ 是 $X$ 根据第二条 (Segal 条件) 分解出的第 $i$ 分量.

我们构造 $\mathcal O$ 上的一个代数模式结构:

基本对象的范畴取 $\mathcal O_{\langle 1\rangle}$;
惰性映射就是定义中的惰性提升;
活性映射就是居于 $\Gamma$ 中的活性映射之上的映射.

上述结构的底不必为 $\Gamma$, 而是可以推广到任意代数模式上. 若代数模式的态射 $\mathcal O \to \mathcal P$ 满足上述条件, 则称之为弱 Segal 纤维化.

以下是一个对照表.

Lurie HA	HADR
$\mathcal O^{\otimes} \to \mathrm{N}(\mathrm{Fin}_*)$	$\mathcal O \to \Gamma$ (注意约定相反)
fibration of $\infty$-operads	弱 Segal 纤维化
coCartesian fibration of $\infty$-operads	Segal 纤维化

对称算畴的基本例子

例. 记 $\mathsf{Triv} := \Gamma_{\mathrm{int}} \to \Gamma$, 称之为平凡算畴. 平凡算畴的代数就是没有任何结构的对象.

例. 记 $\mathbb E_0 \to \Gamma$ 为 $\Gamma$ 中 “将每个元素对应到一个至多一元子集” 的映射构成的宽子范畴, $\mathbb E_0$-代数就是带基点对象.

例. $\Gamma$ 上的 Segal 纤维化 $\mathcal C \to \Gamma$, 对应于 Segal 对象 $\Gamma^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$, 即对称幺半范畴 (其底层范畴为 $\mathcal C_{\langle 1\rangle}$); 它也构成对称算畴.

非对称算畴

称 $\Delta$ 上的弱 Segal 纤维化为非对称算畴. 直观上, 一个算畴给出一族无序 $n$ 元运算, 而一个非对称算畴给出一族有序 $n$ 元运算.

例. 记 $\Delta_{\leq n} \hookrightarrow \Delta$ 为对象 $[0],[1],\cdots,[n]$ 构成的全子范畴, 则 $\Delta_{\leq n}$ 继承 $\Delta$ 的代数模式结构, 构成一个非对称算畴; 称该模式为 $\mathbb A_n$.

算畴的操作

余积

对称算畴 $\mathcal C \to \Gamma$, $\mathcal D \to \Gamma$ 的余积为 $$ \mathcal C \times\mathcal D \to \Gamma\times\Gamma\overset{\times}{\to}\Gamma. $$ 其中 $\times\colon \Gamma\times\Gamma\to\Gamma$ 是 $\Gamma$ 中的范畴论积 $\langle n \rangle \times \langle m \rangle = \langle n + m \rangle$.

对称幺半包络

设 $\mathcal O$ 是可扩张代数模式, $p\colon \mathcal C \to \mathcal O$ 是弱 Segal 纤维化. 定义其 $\mathcal O$-幺半包络 (monoidal envelope) 为 $$ \operatorname{Env}_{\mathcal O}(\mathcal C) := \mathcal C \times_{\mathcal O}\operatorname{Act}(\mathcal O) = \{(c\in\mathcal C,\alpha\colon o\leadsto p(c))\}. $$ 它构成一个 $\mathcal O$-幺半范畴, 也即 Segal 纤维化 $\operatorname{Env}_{\mathcal O}(\mathcal C)\to \mathcal O$, 对应的函子 $\mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ 为 $$ o\mapsto \{o\leadsto p(c)\}. $$

特别地, 取 $\mathcal O = \Gamma$, 我们就得到: 对任意对称算畴 $\mathcal C$, 其对称幺半包络 $\operatorname{Env}_{\Gamma}(\mathcal C)$ 是一个对称幺半范畴 $\Gamma^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Cat}$, $$ \langle n\rangle\mapsto \{\langle n \rangle \leadsto p(c)\}, $$ 其底层范畴为 $\{\langle 1 \rangle \leadsto p(c)\}$.

HADR - 拆解与汇编 [HADR-disint-assem]

讲稿
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含幺算畴

设 $p\colon \mathcal O \to \Gamma$ 为算畴, 即代数模式的弱 Segal 纤维化. 考虑唯一的活性映射 $f\colon \langle 1\rangle \to \langle n \rangle$, $\mathcal O$ 中居于 $f$ 上的态射可理解为 $n$ 元运算. 特别地, $n=1$ 时, 颜色范畴 $\mathcal O_{\langle 1 \rangle}$ 中的活性态射即是 $1$ 元运算.

现在我们考虑一个更基本的对象, 即 $0$ 元运算. 它是 $\mathcal O$ 中居于 $\langle 1 \rangle \to \langle 0 \rangle$ 上的态射. 注意 $\mathcal O_{\langle 0 \rangle} = 1$, 我们记 $\mathcal O_{\langle 0 \rangle}$ 中唯一的对象为 $\varnothing$, 因为它的直观确实是 “$0$ 个颜色放在一起”.

定义. 若对任意 $X \in \mathcal O_{\langle 1 \rangle}$, $\operatorname{Hom}_{\mathcal O}(X,\varnothing) = 1$, 换言之 $\varnothing$ 是 $\mathcal O$ 的零对象, 则称 $\mathcal O$ 为含幺算畴 (unital operad).

例.

$\Gamma$ 自身是含幺算畴, 因为 $\langle 0\rangle = \varnothing$ 是零对象.
$\mathbb E_0$ 是含幺算畴, 但 $\mathsf{Triv}$ 不是含幺算畴. 注意 $\mathbb E_0$ 中存在唯一的态射 $\langle 1\rangle\to\langle 0 \rangle = \varnothing$, 代表 $0$ 元运算 “取基点”, 而平凡算畴 $\mathsf{Triv}$ 中不存在这个态射.

HADR (2) 代数与模 [HADR-2-mod]

讲稿
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本部分大致对应 Lurie HA 第 3 章 Algebras and Modules over $\infty$-Operads.

HADR (3) 结合代数 [HADR-3-assoc]

讲稿
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本部分大致对应 Lurie HA 第 4 章 Associative Algebras and Their Modules.

HADR (4) En-代数 [HADR-4-fact]

讲稿
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本部分大致对应 Lurie HA 第 5 章 Little Cubes and Factorizable Sheaves.

带奇点配边假设 [cob-sing]

百科
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观念

带奇点配边假设是配边假设的推广, 是关于 “带奇点流形” (下文将会定义) 的某种配边构成的高阶范畴的万有性质.

直观上, 配边范畴是一个对象自由生成的含对偶对称幺半 $(\infty,n)$-范畴, 而带奇点配边范畴则是奇点数据给出的各阶态射自由生成的含对偶对称幺半 $(\infty,n)$-范畴, 每维奇点数据 $X_k$ 的每个点给出一个 $k$-态射生成元.

陈述

带奇点流形

带奇点流形是一个非常广泛的概念, 我们先看几个方面的例子.

局部锥形流形

我们知道, 流形 $Y$ 的锥 $C(Y) = Y\times [0,1] / Y\times\{1\}$ 一般不是流形, 问题在锥点的邻域不同于欧氏空间.

固定一个闭 $(k-1)$-维流形 $Y$, 考虑如下形状的广义流形: 拓扑空间 $M$ 带有子空间 $M_0\subset M$, 满足

$M - M_0$ 为光滑流形;
$M_0$ 为光滑流形;
$M_0$ 的点在 $M$ 中有邻域, 形如 $M_0$ 中的邻域与 $C(Y)$ 的乘积. (注意这里不是说某个 $Y$, 而是指定的那个 $Y$.)

当然, $M_0$ 可以是空集, 那么 $M$ 本身为光滑流形.

用这种广义流形可以定义类似于配边范畴的范畴 $\mathsf{Bord}_n'$, 带有对称幺半函子 $\mathsf{Bord}_n\to\mathsf{Bord}'_n$.

注意到在 $\mathsf{Bord}'_n$ 中有 $k$-态射 $\varnothing \to Y$, 对应于 $C(Y)$. 某种意义上, $\mathsf{Bord}_n'$ 是由 $\mathsf{Bord}_n$ 加上这个态射自由生成的对称幺半 $(\infty,n)$-范畴. 具体地: 对任意含对偶的对称幺半 $(\infty ,n)$-范畴 $\mathcal C$ 与对称幺半函子 $$ Z_0\colon \mathsf{Bord}_n\to\mathcal C, $$ 对任意态射 $$ 1=Z_0(\varnothing) \to Z_0(Y), $$ 存在唯一的延拓 $$ Z\colon \mathsf{Bord}'_n\to\mathcal C. $$

Feynman 图

Feynman 图是一种表示粒子相互作用过程的图 (作为带奇点的 $1$-流形). 若给一个 Feynman 图的每个顶点赋予一个有限维线性空间, 每个边赋予一个线性映射, 则整个图可以计算为一个线性映射. 这体现了如下的直观: Feynman 图的范畴 (对象是有限点集, 态射是 Feynman 图) 是一些对象和一些态射自由生成的含对偶对称幺半 $(\infty,1)$-范畴.

首先, 我们规定粒子和相互作用的种类数据 $\vec{X}$:

二重覆叠 (即 $\mathrm{O}(1)$-主丛) $\widetilde X_0 \to X_0$, 表示粒子的可能种类; 覆叠变换 $\widetilde {X}_0\to \widetilde {X}_0$, $p\mapsto \bar p$ 表示反粒子;
集合 $X_1$ 表示相互作用的可能种类; 覆叠空间 $E\to X_1$ (纤维为有限点集) 带有映射 $E\to \widetilde {X}_0$ 表示每种相互作用涉及的粒子种类.

现在定义 $\vec{X}$-Feynman 图为如下数据:

紧空间 $G$ 表示整个 Feynman 图;
$G_0\subset G$ 是顶点集, $G-G_0$ 的每个连通分支是一条边;
每条边标记着一种粒子 $p\in P := \pi_0\widetilde X_0$ (与边的定向有关, 若边的定向反转则 $p$ 变为 $\bar p$);
每个顶点 $g\in G_0$ 标记着一种相互作用 $x\in X_1$, 有一个邻域同胚于 $C(E_x)$.

考虑这样一个范畴 $\mathsf{Bord}'_1$,

其对象为有限集, 每个元素标记着一种粒子 $p\in P$;
其态射为 Feynman 图.

给定 $\vec{X}$ 以及如下数据,

对每个粒子 $p$ 一个线性空间 $V_p$, 带有完美配对 $V_{p}\otimes V_{\bar p} \to k$,
对每个相互作用 $x$ 一个向量 $v_x\in\bigotimes_{e\in E_x} V_{\sigma(e)}$

便确定了唯一的对称幺半函子 $$ \mathsf{Bord}'_1 \to \mathsf{Vect}. $$

畴壁

考虑带畴壁 (domain wall) 的流形: $$ M = M_- \sqcup_{M_0} M_+, $$ 其中 $\partial M_- = M_0 = \partial M_+ = M_- \cap M_+$. 直观上这是一个红蓝二染色的流形.

用带畴壁的流形可以定义类似于配边范畴的范畴 $\mathsf{Bord}_n'$, 带有两个对称幺半函子 $$ j_-, j_+\colon \mathsf{Bord}_n\to\mathsf{Bord}'_n. $$ 直观上 $j_-, j_+$ 就是将一个流形分别视为全红和全蓝的流形.

给定含对偶的对称幺半 $(\infty ,n)$-范畴 $\mathcal C$ 与两个 “体理论 (bulk theory)” $$ Z_-, Z_+ \colon \mathsf{Bord}_n \to \mathcal C, $$ 对任意 $\mathrm{O}(n-1)$-等变态射 $$ Z_- (*) \to Z_+ (*), $$ 存在唯一的延拓 $$ Z\colon \mathsf{Bord}'_n \to \mathcal C. $$

切结构

切结构也是 “带奇点流形” 这一概念的特例.

奇点数据的定义

定义 (奇点数据, 粗略定义).

一个 $n$ 维奇点数据 $\vec X$ 是一列拓扑空间 $(X_0,X_1,\cdots,X_n)$, 一列向量丛 $\zeta_k \colon X_k\to\mathbf{B}\mathrm{O}(n-k)$, 以及一列纤维丛 $E_k\to X_k$.
一个 $m$ 维 $\vec X$-流形是分层空间 $M_n\subset \cdots\subset M_1\subset M_0 = M$, 满足 $M_k - M_{k-1}$ 是余 $k$ 维光滑流形, 带有 $(X_k,\zeta_k)$-结构. 并且这些流形要以纤维丛 $E_k\to X_k$ 规定的方式相容.

定义 (奇点数据, 严格定义). 固定自然数 $n$. 我们对 $0\leq k \leq n$ 归纳定义如下两个概念:

长为 $k$ 的奇点数据 (singularity datum) $\vec{X}$;
余维 $V$ 的 $\vec{X}$-流形, 其中 $V$ 为不超过 $n-k$ 维的实线性空间.

定义如下.

长为 $k=0$ 的奇点数据 $\vec{X} = (X_0,\zeta_0)$ 是一个拓扑空间 $X_0$ 以及其上的 $n$ 阶实向量丛 $\zeta_0\colon X\to\mathbf{B}\mathrm{O}(n)$.
对于 $0< k\leq n$, 长为 $k$ 的奇点数据 $\vec{X} = (\vec{X}',X_k,\zeta_k,p\colon E_k\to X_k)$ 是一个长为 $(k-1)$ 的奇点数据 $\vec{X}'$ 加上一个拓扑空间 $X_k$, 一个 $(n-k)$ 阶实向量丛 $\zeta_k \colon X_k\to\mathbf{B}\mathrm{O}(n-k)$, 以及纤维丛 $p\colon E_k\to X_k$, 其在 $x\in X_k$ 上的纤维为 $\vec{X}'$-流形, 余维 $(\zeta_k)_x \oplus\mathbb{R}$.
设 $\vec{X}$ 为长为 $k$ 的奇点数据, 余维 $V$ 的 $\vec{X}$-流形是如下资料:
- 拓扑空间 $M$,
- 闭子空间 $M_k\subset M$, 构成 $n-k-\dim V$ 维光滑流形,
- 映射 $q\colon M_k\to X_k$ 以及同构 $T_{M_k}\oplus V\simeq q^*\zeta_k$,
- $M-M_k$ 上带余维 $V$ 的 $\vec{X}'$-流形结构,
- $M_k$ 的开邻域 $U$, 以及商映射 $\left(0,1\right]\times q^*E\to U$, 其限制在 $(0,1)\times q^*E$ 上为嵌入, 限制在 $\{1\}\times q^*E$ 上为投影 $q^*E\to M_k$.

注.

长度为 $n$ 的奇点数据简称为 $n$ 维奇点数据. 长为 $k<n$ 的奇点数据也可以添加一些空的空间视为长为 $n$ 的奇点数据.
对于 $n$ 维奇点数据 $\vec X$ 与自然数 $m\leq n$, 定义 $m$ 维 $\vec X$-流形即为余维 $\mathbb{R}^{n-m}$ 的 $\vec X$-流形.

猜想的陈述

设 $\vec{X} = (\vec{X}',X_k,\zeta_k,p\colon E_k\to X_k)$ 为长为 $k$ 的奇点数据. 构造如下准备资料:

记 $\widetilde X_k\to X_k$ 为 $\zeta_k$ 对应的 $\mathrm{O}(n-k)$-主丛, 即 $n-k$ 阶向量丛的正交标架丛);
一点 $\widetilde x \in \widetilde X_k$ 可视为 $x\in X_k$ 配备标架 $\alpha\colon (\zeta_k)_x \simeq \mathbb{R}^{n-k}$;
通过 $\alpha$, 可将纤维 $p^{-1}(x)$ 视为余维 $\mathbb{R}^{n-k+1}$ 的 $\vec{X}'$-流形, 对应于对象 $E_{\widetilde x} \in \Omega^{k-1}\mathsf{Bord}^{\vec{X}'}_n$ (对应 $\widetilde x\mapsto E_{\widetilde x}$ 关于 $\mathrm{O}(n-k)$-作用等变).

猜想 (带奇点配边假设). 设 $\mathcal C$ 为含对偶的对称幺半 $(\infty,n)$-范畴. 给定对称幺半函子 $$ Z_0\colon \mathsf{Bord}^{\vec{X}'}_n \to \mathcal C $$ 以及 $\Omega^{k-1}\mathcal C$ 中的一族态射 $\eta_{\widetilde x}\colon 1=Z_0(\varnothing)\to Z_0(E_{\widetilde x})$ ($\widetilde x\in\widetilde X$, $\mathrm{O}(n-k)$-等变), 存在唯一的延拓 $$ Z\colon \mathsf{Bord}^{\vec X}_n \to\mathcal C. $$

(n,r)-范畴 [n-r-范畴]

百科
SimplicialCat

定义

对于整数 $n\geq -2$, $r\geq 0$, $(n,r)$-范畴是满足如下条件的高阶范畴:

其任何 $(n+2)$ 阶态射范畴为单点;
其任何 $r$ 阶态射范畴为生象.

注. 不妨要求 $r\leq n+1$, 因为若任何 $(n+2)$ 阶态射范畴为单点, 则任何 $(n+1)$ 阶态射范畴为生象.

由定义, $(n,r)$-范畴中两个对象之间的态射范畴为 $(n-1,r-1)$-范畴. 这个事实也可以作为 $(n,r)$-范畴的一种定义: $(n,r)$-范畴就是充实于 $\mathsf{Cat}_{(n-1,r-1)}$ 的范畴.

例

$(n,r)$	名称
$(-1,0)$	命题
$(0,0)$	集合
$(0,1)$	偏序集
$(1,1)$	通常说的 “范畴”
$(1,2)$	充实于偏序集的范畴
$(\infty,0)$	生象
$(n,0)$	$n$-截断生象
$(\infty,1)$	通常说的 “无穷范畴”

$(n,0)$-范畴

可归纳说明 $(n,0)$-范畴就是 $n$-截断生象:

由定义, $(-2,0)$-范畴是单点, 即 $(-2)$-截断生象.
对于生象 $X$, 其为 $n$-截断生象当且仅当对任意 $x,y\in X$, 道路生象 $x=y$ 为 $(n-1)$-截断生象.

例如

$(-1,0)$-范畴是命题,
$(0,0)$-范畴是集合.

$(0,1)$-范畴

$(0,1)$-范畴是充实于命题的范畴, 即对任意两个对象 $x,y$, 态射范畴 $\operatorname{Hom}(x,y)$ 都是命题. 在经典逻辑中, 这意味着 $x$ 到 $y$ “要么有 (唯一的) 态射, 要么没有态射”. 若将 “$x$ 到 $y$ 有态射” 理解为 $x\leq y$, 这正是偏序集的概念.

$(1,2)$-范畴

$(1,2)$-范畴是充实于 $(0,1)$-范畴的范畴, 即两个对象之间的态射范畴为偏序集.

一个重要的例子是单纯形范畴.

$(\infty,0)$-范畴, 生象

生象, 又称 $\infty$-群胚, 即 $(\infty,0)$-范畴, 是一类重要的高阶范畴.

对于每个高阶范畴 $\mathcal C$, 都可以去掉其中所有不可逆的态射, 仅保留对象与对象之间的同构, 得到一个生象 $\mathcal C^{\simeq}$, 称为 $\mathcal C$ 的对象的生象. 一般地, $(n,r)$-范畴也可遗忘为 $(n,r')$-范畴 ($r' < r$).

$(\infty,n)$-范畴

见 $(\infty,n)$-范畴.

一种朴素的建立高阶范畴的尝试 [naive-highercat]

笔记
SimplicialCat

高阶范畴的概念长久以来缺乏实用的数学基础. 这里实用的意思是, 在严格性的前提下, 贴合实际应用中人们的直觉.

所以我尝试根据所学为高阶范畴写出一套自洽的基础, 争取让每一条规则都 “理所当然”, 即在任何人设计的理论中都不可能错误; 然后用这些事实搭建出尽量多熟悉的理论.

建立高阶范畴使用的框架是某种同伦类型论, 包括使用嵌套的宇宙层级, 允许高阶归纳类型等特性. 下面除非必要, 我们将省略宇宙这一参数. 为了照顾人类读者, 我们将较多地使用自然语言; 但读者应能将其翻译为类型论语言.

基础

高阶范畴的类型 设有两个宇宙 $\mathsf{Type} : \mathsf{Type}'$. 我们将用一个 (巨大无比的) 归纳类型来定义高阶范畴的类型 $\mathsf{Cat} : \mathsf{Type}'$, 同时定义许多其它类型. 称 $\mathcal C : \mathsf{Cat}$ 为高阶范畴, 或简称范畴.

对象的类型 对于一个高阶范畴 $\mathcal C : \mathsf{Cat}$, 可取出其对象的类型 $\operatorname{Obj}\mathcal C : \mathsf{Type}$. 称 $X : \operatorname{Obj}\mathcal C$ 为高阶范畴 $\mathcal C$ 的对象. 为了方便, 我们将用 $X : \mathcal C$ 来代替 $X : \operatorname{Obj}\mathcal C$, 希望这不会引起歧义.

范畴的范畴 设有三个宇宙 $\mathsf{Type} : \mathsf{Type}' : \mathsf{Type}''$, 对应地有范畴的类型 $\mathsf{Cat} : \mathsf{Type}'$, $\mathsf{Cat}' : \mathsf{Type}''$. 那么有一个范畴 $\mathfrak{Cat} : \mathsf{Cat}'$, 称为范畴的范畴; 其对象的类型 $\operatorname{Obj}\mathfrak {Cat} : \mathsf{Type}'$ 等于 $\mathsf{Cat} : \mathsf{Type}'$. 为了方便, 以后我们将写 $\mathsf{Cat} : \mathsf{Cat}'$.

态射范畴 对于高阶范畴 $\mathcal C : \mathsf{Cat}$ 的对象 $X,Y : \mathcal C$, 可取出态射范畴 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y) : \mathsf{Cat}$, 或简记为 $\mathcal C(X,Y)$.

例 (函子范畴). 对于高阶范畴 $\mathcal C,\mathcal D : \mathsf{Cat}$, 态射范畴 $\mathsf{Cat}(\mathcal C,\mathcal D) : \mathsf{Cat}$ 又称为函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D) : \mathsf{Cat}$. 函子范畴的对象 $f : \mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)$ 称为 $\mathcal C$ 到 $\mathcal D$ 的函子, 简记为 $f \colon \mathcal C \to \mathcal D$. 多元函子如 $f \colon \mathcal C \to \mathsf{Fun}(\mathcal D,\mathcal E)$ 简记为 $f \colon \mathcal C \to \mathcal D \to \mathcal E$ (符号 “$\to$” 是右结合的, 遵从类型论的习惯).

函子作用于对象 对于高阶范畴 $\mathcal C,\mathcal D : \mathsf{Cat}$, 函子 $f\colon \mathcal C\to \mathcal D$, 以及对象 $X : \mathcal C$, 有对象 $f(X) : \mathcal D$.

函子作用于态射 对于高阶范畴 $\mathcal C,\mathcal D : \mathsf{Cat}$, 函子 $f\colon \mathcal C\to \mathcal D$, 以及对象 $X,Y : \mathcal C$, 有函子 $f_{X,Y} \colon \mathcal C(X,Y) \to \mathcal D(f(X),f(Y))$.

对偶 对于高阶范畴 $\mathcal C : \mathsf{Cat}$ 有对偶 $\mathcal C^{\mathrm{op}} : \mathsf{Cat}$, 其对象的类型 $\operatorname{Ob}\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 等于 $\operatorname{Ob}\mathcal C$, 且对于 $X,Y : \mathcal C$, 态射范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}(X,Y)$ 等于 $\mathcal C (Y,X)$.

态射函子 对高阶范畴 $\mathcal C : \mathsf{Cat}$ 有态射函子 ${\mathcal C}(-,-) \colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal C \to \mathsf{Cat}$.

注. 我们没有规定态射可以复合, 因为 ${\mathcal C}(-,-)$ 的函子性已经保证了这件事.

定理 (态射的复合). 对高阶范畴 $\mathcal C : \mathsf{Cat}$ 的对象 $X,Y,Z : \mathcal C$, 有 $(- \circ -)\colon \mathcal C(Y,Z) \to \mathcal C(X,Y) \to \mathcal C(X,Z)$.

证明. 函子 $\mathcal C(X,-)\colon \mathcal C \to\mathsf{Cat}$ 作用于态射上, 给出 $\mathcal C(Y,Z) \to \mathsf{Cat}(\mathcal C(X,Y),\mathcal{C}(X,Z))$.

类型作为范畴 对任意类型 $A : \mathsf{Type}$ 有一个范畴 $\operatorname{toCat} A : \mathsf{Cat}$; 为了方便, 仍记作 $A : \mathsf{Cat}$. 这种范畴又称为生象. 类型 $A$ 作为范畴, 其对象的类型 $\operatorname{Ob}A$ 等于 $A$ 自身. 对于 $A$ 的对象 $X,Y : A$, 态射范畴 $A(X,Y)$ 等于等式类型 $X =_A Y$ 对应的生象. 对任意范畴 $\mathcal C : \mathsf{Cat}$, 函子的类型 $\operatorname{Ob}\mathsf{Fun}(A,\mathcal C)$ 等于函数类型 $A \to \operatorname{Ob}\mathcal C$.

例 (单点). 单点类型 $1 : \mathsf{Type}$ 作为范畴, 其有一个对象 $\star : 1$.

可表现范畴

(∞,n)-范畴 [∞-n-范畴]

百科
SimplicialCat

观念

$(\infty,n)$-范畴是具有至多 $n$ 阶不可逆态射的高阶范畴.

一般而言, 定义 $(\infty,n)$-范畴有两条路线:

一是表现, 即用基本对象和运算 (见代数模式) 来探测;
二是充实, 即 $n$-范畴充实于 $(n-1)$-范畴.

定义

作为 $n$ 重 Segal 生象

作为 $\Theta_n$-空间

$(\infty,n)$-范畴的一种定义是 $\Theta_n$-空间.

作为充实范畴

$(\infty,n)$-范畴可归纳地定义为充实于 $(\infty,n-1)$-范畴的范畴: $$ \mathsf{Cat}_{(\infty ,n+1)} := \mathsf{Cat}_{(\infty,n)}\text{-}\mathsf{Cat}. $$

不动点 [不动点]

百科
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观念

不动点, 顾名思义即群作用之下 “不变” 的元素: $$ X^G = \{x\in X\mid \forall g\in G, gx=x\}. $$

在高阶范畴中, 何谓不变需要更仔细的解释, 但若正确理解高阶范畴中的等式, 仍有合适的不动点概念. 以同伦类型论的语言, 群 $G$ 作用于类型 $X$, 其不动点的类型为 $$ X^G := \sum_{x : X} \prod_{g : G} gx = x. $$ (注意这个定义与前面用集合语言写的定义的类比.)

意象 $\mathcal C$ 中, $G$-作用的不动点可以理解为沿 $\mathbf{B}G \to *$ 的拉回 (即 “平凡 $G$-作用” 函子) $$ \mathbf{B}G^*\colon \mathcal C = \mathcal C_{/*} \to \mathcal C_{/\mathbf{B}G} $$ 的右伴随 $$ \mathbf{B}G_*\colon \mathcal C_{/\mathbf{B}G} \to \mathcal C, $$ 从而理解为 $\mathbf{B}G$ 上的依值积, 也即 $\mathbf{B}G$ 上的层的整体截面.

对于一般范畴 $\mathcal C$ 中的 $G$-作用 $\mathbf{B}G\to\mathcal C$, 其不动点为该函子的极限 $$ X^G := \operatorname{lim}_{\mathbf{B}G}X. $$

例

等变对象

在数学上, “等变对象” (equivariant object) 某某对象常常可理解为带群作用的范畴的不动点. 等变即是高阶范畴语境下的不变.

子群作用的不动点

设 $H\to G$ 为子群, 或为更一般的生象群同态. 对于带 $G$-作用的生象 $X$, 可讨论其 $H$-不动点: 考虑如下拉回图, $$ \begin{array}{ccccc} X & \rightarrow & X/H & \rightarrow & X/ G \ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \

& \rightarrow & \mathbf{B}H & \rightarrow & \mathbf{B}G \end{array} $$ 那么 $X$ 的 $H$-不动点相当于提升 $\mathbf{B}H\to X/G$, $$ X^H = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G}}(\mathbf{B}H,X/G). $$ 使用等变映射的记号, $$ X^H = \operatorname{Hom}_G(G/H,X). $$

共轭作用的不动点

群 $G$ 在自身上的共轭作用的不动点是 $G$ 的中心.

反范畴 [反范畴]

观念
SimplicialCat

定义

范畴的反范畴 (opposite category) 是将其中的态射方向反转得到的范畴: $$ \mathcal C^{\mathrm{op}}(X,Y) := \mathcal C(Y,X). $$

记 $\mathsf{Cat}$ 为 $(\infty,1)$-范畴的 $(\infty,1)$-范畴. 那么取反范畴 $$ (-)^{\mathrm{op}}\colon \mathsf{Cat} \to \mathsf{Cat} $$ 是 $\mathsf{Cat}$ 的自同构. 注意, 这里的 $\mathsf{Cat}$ 只能是 $(\infty,1)$-范畴, 作为 $(\infty,2)$-范畴则没有这个自同构. 原因如下.

$k$-反范畴

高阶范畴可在不止一个层级上取反范畴. 对于 $(\infty,n)$-范畴 $\mathcal C$, 可在第 $1\leq k\leq n$ 层级取反范畴 $\mathcal C^{k\text{-op}}$. 对于 $k\geq 2$, $$ \mathcal C^{k\text{-op}}(X,Y) :=\mathcal C(X,Y)^{(k-1)\text{-op}}. $$

记 $\mathfrak{Cat}$ 为 $(\infty,1)$-范畴的 $(\infty,2)$-范畴. 那么取反范畴是一个函子 $$ (-)^{\mathrm{op}}\colon \mathfrak{Cat}^{2\text{-op}} \to \mathfrak{Cat}. $$

记 $\mathfrak{Cat}_n$ 为 $(\infty,n)$-范畴的 $(\infty,n+1)$-范畴. 那么取 $k$-反范畴是一个函子 $$ (-)^{k\text{-op}}\colon \mathfrak{Cat}_n^{(k+1)\text{-op}} \to \mathfrak{Cat}. $$

性质

命题. $\mathsf{Cat}$ 的自同构群为 $\mathbb{Z}/2$, 仅有的非平凡自同构为取反范畴. 更一般地, $(\infty,n)$-范畴的 $(\infty,1)$-范畴 $\mathsf{Cat}_{(\infty ,n)}$ 的自同构群为 $(\mathbb{Z}/2)^n$, 对应在 $n$ 个层级上取反范畴.

叠 [叠]

百科
SimplicialCat

观念

叠是景上取值于高阶范畴的层, 也即高阶意象的对象.

例

对于 Lie 群 $G$ 有一个叠 $\mathbf{B}G$, 它是一个函子 $\mathsf {Mfd}^{\text{op}}\to\mathsf {Grpd}$, 将流形 $U$ 对应到 $U$ 上的 $G$-主丛的群胚, 将态射 $U\to V$ 对应到主丛的拉回.

带元数的单子 [带元数的单子]

百科
SimplicialCat

观念

带元数的单子 (monad with arities) 是 Berger–Melliès–Weber 引入的概念, 能够表达以下结构:

直观上, 范畴 $\mathcal E$ 上的单子 $T$ 以子范畴 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为元数, 就是说为了表达一个 $T$-结构所需的运算, 只需用 $\mathcal A$ 的对象来探测. 进而 $T$-代数可以定义为满足某种条件的预层.

例如要表达一个生象 $X$ 上的一个幺半群结构, 只需要考虑所有有限集到 $X$ 的映射, 此时有限集 (的元素个数) 就对应运算的元数.

元数不一定是有限集. 例如要表达一个图 $G$ 上的范畴结构, 要考虑的是所有态射串的复合. 此时元数是形如 $\bullet\to\bullet\to\cdots\to\bullet$ 的有限图. 这样, 范畴就可以定义为单纯形范畴上满足某种条件的预层, 即单纯生象. 见 Segal 生象.

带元数的单子又被相对单子涵盖.

另见代数模式.

定义

设 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为稠密全子范畴, 称为元数 (arities) 的范畴. 设 $T$ 为 $\mathcal E$ 上的单子. 记 $\mathcal E^T$ 为 $T$-代数的范畴, 带有自由-遗忘伴随 $F\dashv U\colon \mathcal E\rightleftarrows\mathcal E^{T}$.

回忆, 子范畴 $\mathcal A$ 的稠密性是指

脉函子 $$ \nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A} $$ 是全忠实函子;
$\mathcal E$ 的每个对象 $X$ 都是如下余极限: $$ X = \operatorname{colim}_{A\to X,A\in\mathcal A}A.\ (\star) $$

定义. 若单子 $T$ 满足以下等价条件, 则称单子 $T$ 以 $\mathcal A$ 为元数 (arity):

$\nu_{\mathcal A} T\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 保持所有形如 $(\star)$ 的余极限 (由于 $\nu_A$ 全忠实, 这蕴涵 $T$ 本身也保持 $\star$);
$\nu_{\mathcal A} T$ 是其在 $\mathcal A$ 上的限制的左 Kan 扩张.

或许 $(\star)$ 更有启发性的一种写法是写成余端 $$ X = \int_{A\in\mathcal A} \operatorname{Hom}(A,X)\times A, $$ 条件 $\nu_{\mathcal A}T$ 保持余极限 $(\star)$ 相当于 $$ \operatorname{Hom}(B,TX)=\int_{A\in\mathcal A}\operatorname{Hom}(A,X)\times\operatorname{Hom}(B,TA), $$ (我们后面会解读这个等式的含义) 而函子 $T$ 保持该余极限意味着 $$ TX = \int_{A\in\mathcal A} TA \times X^A. $$ (这里 $X^A$ 代表 $\operatorname{Hom}(A,X)$, 这样写只是为了更有启发性) 换言之, $T$ 具有以 $A\in\mathcal A$ 为 “次数”, $TA$ 为系数的 “多项式展开”. (参考多项式函子, 解析函子.)

范畴 $\Theta_T$

设 $T$ 为 $\mathcal E$ 上的单子, 定义 $\Theta_T$ 为 $\mathcal A$ 的对象生成的自由 $T$-代数构成的范畴. 那么有自由代数函子 $$ j_T\colon \mathcal A \to \Theta_T. $$

我们也可以将 $\Theta_T$ 的对象理解为 $\mathcal A$ 的对象 $A$, 而将 $\Theta_T$ 中的态射 $A\to B$ 理解为 $\mathcal E$ 中的态射 $A \to TB$. (这是 Kleisli 范畴的一个全子范畴.)

嵌入 $\Theta_T \hookrightarrow \mathcal E^T$ 也有相应的脉函子 $$ \nu_T \colon \mathcal E^T \to \widehat {\Theta_T}, $$ 且有交换方块 $$ \begin{CD} \mathcal E^T @>{\nu_T}>> \widehat {\Theta_T} \\ @V{U}VV @VV{j_T^*}V \\ \mathcal E @>>{\nu_{\mathcal A}}> \widehat {\mathcal A}. \end{CD} \quad(\heartsuit) $$

注意到由于 $j_T$ 本质满, 故 $j_T^*$ 是单子性的保守函子.

命题. 如下三个条件等价:

$T$ 是以 $\mathcal A$ 为元数的单子;
交换方块 $(\heartsuit)$ 满足 Beck–Chevalley 条件, 即 Beck–Chevalley 自然变换 $(j_T)_!\nu_A \to \nu_T F$ 为同构.
自然变换 $j_T^*(j_T)_!\nu_A \to j_T^*\nu_T F= \nu_AUF =\nu_A T$ 为同构. (由于 $j_T^*$ 保守, 条件 2 与条件 3 明显等价.) 换言之, 存在单子的态射 $$ \begin{CD} \mathcal E @>{\nu_A}>> \widehat {\mathcal A} \\ @V{T}VV @VV{j^*j_!}V \\ \mathcal E @>>{\nu_A}> \widehat {\mathcal A.} \end{CD} $$

注. 这里的 Beck–Chevalley 自然变换的理解如下. 对于 $X\in\mathcal E$, 由左 Kan 扩张的余端公式, $(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X$ 对每个元数的自由代数 $j_T A$ 给出 $$ \begin{aligned} [(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X] (j_T A) &=\int_{B\in \mathcal A}\operatorname{Hom}_{\Theta_T}(j_T A,j_T B)\times \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X)\\ &=\int_{B\in\mathcal A}\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TB)\times \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X), \end{aligned} $$ 即 “$A$ 个 $B$ 元运算” 搭配 “$B$ 个 $X$ 的元素”.

而自然变换的右边给出 $$ \begin{aligned} [\nu_T F(X)](j_T A) &=\operatorname{Hom}_{\mathcal E^T}(FA,FX) \\ &=\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TX), \end{aligned} $$ 即 “$A$ 个 $TX$ 的元素”.

自然变换 $(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X\to\nu_T F (X)$ 由如下资料给出: $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TB)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TX), $$ 即 “通过 $A$ 个 $B$ 元运算搭配 $B$ 个 $X$ 的元素, 给出 $A$ 个 $TX$ 的元素”. 而这个自然变换为同构, 直观上说的就是 $TX$ 的任何元素都由 $X$ 中的某 $B$ 个元素运算得到.

(例. 对任意集合 $X$, 其生成的自由群的每个元素均为 $X$ 中有限个元素的运算结果.)

证明. 注意到 $(j_T)_!$ 将可表函子对应到可表函子. 故条件 2 与条件 3 中的自然变换在子范畴 $\mathcal A$ 上总是同构. 现在任取 $X\in\mathcal E$, 将其表现为余极限 $$ X = \operatorname{colim}_{A\to X, A\in\mathcal A}A, $$ 假若单子 $T$ 保持该余极限, 那么条件 3 中的自然变换在 $X$ 上也是同构.

推论 (常称为脉定理). 设 $T$ 是以 $\mathcal A$ 为元数的单子, 那么

$\nu_T$ 为全忠实函子. 换言之, $T$-代数可由 $\mathcal A$ 的对象生成的自由代数来探测;
对于 $\Theta_T$ 上的预层 $X$, 其落在 $\nu_T$ 的像中当且仅当其沿 $j_T$ 的限制落在 $\nu_A$ 的像中.

因此, $T$-代数可以定义为 $\Theta_T$ 上满足某种条件的预层.

证明. 将 $\mathcal E$ 等同于 $\nu_A\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 的像, 那么单子 $T$ 等同于单子 $j^*j_!$ 在 $\mathcal E$ 上的限制, 所以 $T$-代数等同于落在 $\mathcal E$ 中的 $j^*j_!$-代数, 而 $j_!\dashv j^*$ 单子性意味着 $j^*j_!$-代数就是 $\Theta_T$ 上的预层. $\square$

理论

上述范畴 $\Theta_T$ 及函子 $j_T\colon \mathcal A\to\Theta_T$ 可以抽象如下.

设 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为稠密全子范畴, 定义一个以 $\mathcal A$ 为元数的理论为一个本质满函子 $$ j\colon \mathcal A \to \Theta, $$ 使得伴随 $j_! \dashv j^*$ 诱导的单子 $j^*j_!\colon \widehat {\mathcal A} \to \widehat {\mathcal A}$ 保持脉函子 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 的像.

该理论的一个模型是 $\Theta$ 上的一个预层, 满足其沿 $j$ 的限制落在 $\nu_{\mathcal A}$ 的像中.

我们应该将 $\Theta$ 理解为元数 $\mathcal A$ 生成的自由代数的范畴, 将 $j\colon \mathcal A \to\Theta$ 理解为自由函子.

单子给出理论. 由定义, $\mathcal E$ 上以 $\mathcal A$ 为元数的单子 $T$, 有理论 $(\Theta_T,j_T)$.

理论恢复出单子. 由定义, 对理论 $(\Theta,j)$ 可以恢复出 $\mathcal E$ 上的一个单子 $T$: 若将 $\mathcal E$ 等同于 $\widehat {\mathcal A}$ 的子范畴, 那么单子 $T$ 等于 $j^*j_!$ 的限制.

例 (范畴的理论). 考虑 $\mathcal E = \mathsf{Graph}$ (有向图的范畴), $\mathcal A = \Delta^{\mathrm{int}}$ 为有限长的链 $[n] = \{0\to 1\to\cdots\to n\}$ 构成的全子范畴. (注意 $\Delta^{\mathrm{int}}$ 中的态射只有 “区间含入”, 没有一般的全序集态射. $\mathrm{int}$ 是 “惰性” inert 的缩写, $\Delta^{\mathrm{int}}$ 这个记号暗示了它在代数模式中的作用.) 此时有一个理论 $j\colon \mathcal \Delta^{\mathrm{int}}\to \Delta$, 将图 $[n]$ 对应到全序集 $[n]$. 单子 $j^*j_!\colon \widehat {\Delta^{\mathrm{int}}} \to \widehat {\Delta^{\mathrm{int}}}$ 为 $$ (j^*j_! X)([n]) = \int_{[m]}\operatorname{Hom}_{\Delta}([n],[m])\times X([m]). $$ 可以这样理解: 一个图 $G$ 的自由范畴 $\operatorname{Free}(G)$ 是一个更大的图, 通过 $G$ 上长为 $m$ 的道路以及全序集映射 $[n] \to [m]$ 可以给出 $\operatorname{Free}(G)$ 上长为 $n$ 的道路. 于是 $\mathsf{Graph}$ 上的自由范畴单子就是以所有有限长的链为元数的单子.

例 (交换代数的理论). 考虑 $\mathcal E = \mathsf{Ani}$, $\mathcal A = \mathsf{Fin}$, 有一个理论 $j\colon \mathsf{Fin} \to$ … todo

定理. 对于固定的 $(\mathcal E,\mathcal A)$, $\mathcal E$ 上以 $\mathcal A$ 为元数的单子 $T$ 等价于以 $\mathcal A$ 为元数的理论 $j_T\colon \mathcal A\to \Theta_T$, 且单子 $T$ 上的代数等同于理论 $\Theta_T$ 的模型. 事实上, 这一对应构成范畴等价. (BMW, 定理 3.4)

模型条件表述为层条件. 常常 $\mathcal E = \widehat {\mathcal C}$ 是个预层范畴, 而 $\mathcal A$ 是包含了可表函子的一个子范畴 (那么 $\mathcal A$ 当然是稠密的, 因为可表函子是稠密的). 这时脉函子 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A}$ 构成意象之间的几何态射, 于是它的像恰好是 $\mathcal A$ 上由形如 $\{c\to a\mid c\in \mathcal C\}$ 的余锥生成的 Grothendieck 拓扑的层范畴. 这给出了判断预层是否在 $\nu_{\mathcal A}$ 的像中的一个稍微直接一点的条件. (注意, 这并不意味着理论 $(\Theta,j)$ 的模型的范畴是个意象.)

一般映射与自由映射

对于理论 $j\colon \mathcal A \to \Theta$, 称 $j$ 的像中的态射为自由映射, 而对 $\Theta$ 中的态射 $g$, 若对任意分解 $g = j(f) g'$, 都有 $f$ 可逆, 则称 $g$ 为一般映射.

例. 对于 $(\mathsf{Graph},\Delta^{\mathrm{el}})$ 上的理论 $(\Delta,j\colon \Delta^{\mathrm{el}}\to\Delta)$, 容易验证一般态射 $g$ 是保持端点的映射 (假设 $g=j(f)g'$, 则 $f$ 保持端点, 从而必为同构). 注意这里的一个重要性质: 若一个态射是区间含入, 且保持端点, 则其为同构.

例. 对于 $(\mathsf{Ani},\mathsf{Fin})$ 上的理论… todo

齐性理论

定义 (齐性理论, BMW 定义 3.9). 满足如下条件的理论 $(\Theta,j)$ 称为齐性理论:

$j\colon \mathcal A \to \Theta$ 忠实;
$\Theta$ 中的一般映射与自由映射构成正交分解系: 每个映射唯一地分解为先一个一般映射后一个自由映射, 一般映射关于复合封闭, 同为一般映射和自由映射的映射为等价.

例

Lawvere 理论

Lawvere 理论等同于 $\mathsf{Set}$ 上以 $\mathsf{Fin}$ 为元数的单子, 即保持滤余极限的单子 (这里用到 $\nu_{\mathsf{Fin}}$ 不仅保持而且反映滤余极限). 见有限性单子.

另一方面, Lawvere 理论也可视为上文所述的 “理论”. 回忆 Lawvere 理论的语法范畴 $\mathbb T$ 的对象形如 $1,x,x^2,\cdots$, 事实上在这里它对应理论 $j\colon \mathsf{Fin} \to \mathbb T^{\mathrm{op}}$, $\{1,\cdots,n\}\mapsto x^n$. 下面我们给出一个论证.

脉函子 $\nu_{\mathsf{Fin}}\colon \mathsf{Set} \to \widehat {\mathsf{Fin}}$ 的像为 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层, 也即元素范畴为滤范畴的预层. 因此,

$\mathsf{Set}$ 上以 $\mathsf{Fin}$ 为元数的理论

等同于

本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j^*j_!$ 保持平坦预层,

因为 $j_!$ 保持可表函子, 且 $j^*j_!$ 保持余极限, 上述结构又等同于

本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j^*$ 将 $\Theta$ 上的可表函子映射到 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层,

但 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层就等同于保持有限积的函子 $\mathsf{Fin}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, 故上述结构等同于

本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j$ 保持有限余积.

这正是 Lawvere 理论的定义.

$\infty$-范畴

$(\infty,n)$-范畴

$\Theta_T$ 就是 Joyal 范畴 $\Theta_n$.

幺半范畴 [幺半范畴]

百科
SimplicialCat

观念

幺半范畴是范畴的范畴中的结合代数.

定义

一般定义

幺半范畴是范畴的范畴中的结合代数. 这里的范畴既可以指 $1$-范畴, 也可以指高阶范畴.

$1$-范畴

一个幺半 $1$-范畴是一个范畴 $\mathcal C$ 配备如下结构:

张量积函子 $\otimes \colon \mathcal C\times\mathcal C \to\mathcal C$;
单位 $1\in \mathcal C$;
自然同构 $$ (X\otimes Y)\otimes Z\simeq X\otimes (Y\otimes Z), $$ $$ X\otimes 1\simeq X\simeq 1\otimes X, $$ 且满足三角形等式 $$ \begin{array}{ccc} (X\otimes 1)\otimes Y & \rightarrow & X\otimes Y \\ & \searrow & \downarrow \\ & & X\otimes (1\otimes Y) \end{array} $$ 和五边形等式 (省略了 $\otimes$) $$ \begin{array}{ccccc} ((XY)Z)W & \rightarrow & (X(YZ))W & \rightarrow & X((YZ)W) \\ & \searrow & & & \downarrow \\ & & (XY)(ZW) & \rightarrow & X(Y(ZW)). \end{array} $$

例

$(\mathsf {Set},\times,1)$, $(\mathsf {Set},+,0)$
$(\mathsf {Grp},\times,1)$
$(\mathsf {Spc},\times,\text{pt})$, 其中 $\mathsf {Spc}$ 为空间的范畴, 以及 $G$-等变版本
$(\mathsf {Spc}_*,\wedge,S^0)$
$(\mathsf {Spc}_*,\times,\text{pt})$
$(\mathsf {Vect}_k,\otimes,k)$

性质

与 2-范畴的关系

幺半范畴可视为只有一个对象的 2-范畴.

形式化数学 [形式化数学]

学科
SimplicialCat

Voevodsky 在一篇关于泛等基础的动机的文章中回忆了促使他研究形式化数学的几次事件:

在 1999-2000 年, Voevodsky 发现他 1992-1993 年的一篇论文中的关键引理证明有误. 那几年之间, 许多数学家研究并讨论过这篇文章, 但无人指出错误.
1998 年, C. Simpson 的文章 Homotopy Types of Strict 3-groupoids 包含了一个例子, 说明 Voevodsky 与 Kapranov 1989 年的文章 ∞-Groupoids as a Model for a Homotopy Category 的主要结果不成立. 但当时没有人能指出 Voevodsky 与 Kapranov 论证中的具体错误. 这个错误直到 2013 年才被清晰地认识.

他总结道,

A technical argument by a trusted author, which is hard to check and looks similar to arguments known to be correct, is hardly ever checked in detail.

由可信的作者给出的技术论证, 如果难以检验, 但又长得像正确的证明, 那么几乎从不会有人仔细验证.

V. Voevodsky, The Origins and Motivations of Univalent Foundations

接着他认为

… the only long-term solution was somehow to make it possible for me to use computers to verify my abstract, logical, and mathematical constructions.

唯一的长期解决方案是让计算机能够验证我那些抽象的逻辑和数学构造.

V. Voevodsky, 上述引文

当时形式化数学的系统已经存在, 但没有适合于 Voevodsky 希望做的与高阶范畴有关的数学的系统. Voevodsky 指出问题的根源在于当时人们使用的数学的基础不适合于他想做的数学.

数学基础 [数学基础]

学科
SimplicialCat

分支

范畴论

范畴论 (尤其是高阶范畴) 的基础应该是一种

松态射 [松态射]

百科
SimplicialCat

观念

高阶范畴中的代数结构之间有一种 “态射”, 未必像真正的态射那样保持等式, 而是将等式变成单向的关系. 代数结构之间的这种 “态射” 称为松态射 (lax morphism).

例

松拉回 [松拉回]

观念

松拉回, 又叫有向纤维积 (oriented fiber product), 是一种松极限, 是拉回 (纤维积) 在高阶范畴中的推广.

定义

生象, ∞-群胚 [生象]

百科
SimplicialCat

观念

从现代数学的观点, “生象” 的概念代替了传统的 “集合” 的概念: 对生象的最好描述就是一类数学对象的全体构成一个生象.

对 “生象” 这一名称的两种解释 (均来自提出者本人, 参见 Clausen, Cesnavicius–Scholze 等):

相比于 “死板” 的集合概念, 生象中的点更为 “生动” (animated), 可以在 “连通分支” 中移动.
Anima 有 “灵魂” 之意, 而生象的一个来源是从拓扑空间或其它几何对象中 “除去了实体” 而提取的同伦信息.

在范畴论 (尤其是高阶范畴论) 上, 生象等同于 $\infty$-群胚. 但是它值得一个特别的名字, 因为它比范畴的概念更为基本.

从集合到生象

当我们把一类事物放到一起作为一个整体来谈论的时候, “集合” 的概念便产生了. 随着数学 (尤其是同伦论, 高阶代数) 的发展, 人们发现数学语言中的 “集合” 有时不能表达实践中的 “一类事物的集体” 这一概念, 其关键的缺陷在于对何为相等这一问题的过于草率的回答.

诚然, 对于基础算术而言, 何为相等不是一个问题: $1+1$ 等于 $2$ 而不等于 $3$; 任何两个数要么相等, 要么不相等, 绝无第三种情形. 但当数学研究的对象从简单的数变成了代数, 拓扑空间, 层, 叠等等越来越复杂的结构时, 这些对象之间的相等不再是一个是或否的命题, 而是一个同样越来越复杂的问题. 甚至一个对象和自身的相等也可能不是一个平凡的命题, 而是存在多个不平凡的途径.

最终人们走向这样一个观念:

一类事物的 “集合” 之中, 任何两个事物之间的等式须构成一类新的事物, 从而这个新的 “集合” 中又可以谈论相等构成的 “集合”, 以至于无穷. 这种革新的 “集合” 概念就是生象.

生象有别于集合的特点在于, 生象 $A$ 中两个元素 $x,y$ 之间的相等不一定是一个是或否的命题, 而是一个新的生象 (换言之, 相等是结构而非性质), 记作 $x =_A y$. 一个直观是空间中两个点之间的道路空间.

当然, 集合是特殊的生象, 集合的定义是任何两个元素之间的相等都是命题的生象.

一种适合用于谈论生象的语言是同伦类型论.

性质

生象的范畴

生象的范畴 $\mathsf{Ani}$ 是最基本的 ∞-范畴, 也是最简单的 $\infty$-意象.

生象的表现

如下类型的对象可以表现生象, 其表现的生象有时称为同伦型:

单纯集
拓扑空间
意象 (见意象的形)

生象的运算

缠结假设 [缠结假设]

百科
SimplicialCat

观念

缠结假设 (tangle hypothesis) 是一系列关于各维数的缠结构成的高阶范畴的万有性质的命题.

缠结假设可由带奇点配边假设推出.

陈述

注. 由于文献 (Lurie, Ayala–Francis 等) 记号不一, 此处使用的是一个和他们都不相同, 但看上去比较合理的记号.

我们用 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ 表示如下的 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴:

其对象为 $\mathbb{R}^n$ (或 $n$ 维圆盘 $D^n$) 中的带标架 $0$ 维子流形, 其上 $\mathbb E_n$-结构是直观的;
其 $i\leq k$ 阶态射为 $\mathbb{R}^{i+n}$ 中的 $i$ 维带标架缠结;
其高于 $k$ 阶态射为同痕.

如下是 $\mathsf{Tang}_1^{\mathbb E_2}$ 中的一个 $1$-态射的示意.

命题. 范畴 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ 是一个完全可对偶对象所自由生成的 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴.

等价的陈述是: 范畴 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ 是一个对象自由生成的刚性 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴.

由于逆环假设, 上述命题还有一个用 $(\infty,n+k)$-范畴陈述的版本.

我们用 $\operatorname{Tang}_{k}^{(n)}$ 表示如下的 $(\infty,n+k)$-范畴:

其 $i$ 阶态射为 $\mathbb{R}^{i}$ 中的余 $n$ 维带标架缠结;
其高于 $n+k$ 阶态射为同痕.

换言之, $\operatorname{Tang}_{k}^{(n)} = \mathrm{B}^n \operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$.

命题. 范畴 $\operatorname{Tang}_{k}^{(n)}$ 是一个基点的完全可伴随 $n$ 阶自同态所自由生成的 $(\infty,n+k)$-范畴.

与配边假设的关系

配边范畴 $\mathsf{Bord}_k$ 是 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ “在 $n \geq \infty$ 的极限”; 人们也称其为稳定情形. 此时 (至少直观上) 缠结假设趋向于配边假设: $\mathsf{Bord}_k$ 是一个完全可对偶对象所自由生成的对称幺半 $(\infty,k)$-范畴.

范畴化 [范畴化]

观念
SimplicialCat

范畴化 (categorification) 在数学上有多种含义, 但每种范畴化都是提升范畴层级的过程. 所谓范畴层级大致就是指 $(n,r)$-范畴中的整数 $r$.

逆范畴化的反向过程

范畴化是一个模糊的概念, 而逆范畴化 (decategorification) 有清晰的含义:

在 $1$-范畴中, 取对象的等价类, 得到一个集合;
在一般的高阶范畴中, 去掉高阶不可逆态射, 并将高阶的等价截断, 得到较低阶的范畴.

当高阶范畴具有额外的代数结构 (如幺半结构) 时, 其逆范畴化仍保留相应结构.

如果能将上述操作 “反向”, 即由带结构的低阶范畴开始, 找到一个带结构的高阶范畴, 其逆范畴化是已知的结构, 则可将该过程称为范畴化.

走向 $\mathsf{Cat}$ 的内部

有另一种范畴化的思路, 可以理解为: 将 “集合” 替换为 “范畴”, 重新做一遍熟悉的事情. 更准确地说即是在 $\mathsf{Cat}$ 的内语言中工作.

例如幺半范畴就是 $\mathsf{Cat}$ 中的结合代数. 那么对于普通的结合代数能够谈论的事情, 对于幺半范畴基本上也能谈论: 例如我们可以谈论幺半范畴上的模, 它不过是一种结合代数上的模.

范畴论 [范畴论]

学科
SimplicialCat

观念

范畴是集合概念的某种推广; 范畴中有对象, 正如集合中有元素; 但不同在于集合中的元素只有相等或不相等两种关系, 而范畴中的对象可以有多种且不对称的关系, 称为态射.

态射的最根本属性是它们可以复合. 对于一串 $n$ 个态射 $$ X_0 \to X_1 \to\cdots \to X_n, $$ 其复合的结果是唯一的, 不依赖于复合的方式.

传统上说的范畴的概念又称为 $1$-范畴, 它处在一个无穷高的阶梯的第 $1$ 层; 而集合的概念在第 $0$ 层, 集合又可称为 $0$-范畴. 全体 $0$-范畴构成一个 $1$-范畴; 一般地, 全体 $n$-范畴也构成一个 $(n+1)$-范畴, 这个无穷高的阶梯中每一层的对象的全体构成上一层的一个最基本的对象. 见高阶范畴, $(n,r)$-范畴.

相等

范畴的对象之间可以谈论相等. 这是一个很不简单的概念. 一般而言 (除非在范畴层级较低的情形), 相等是结构而非性质. 表面上, 相等至少有如下两种含义:

范畴 $\mathcal C$ 的对象的生象 $\mathcal C^{\simeq}$ 中的等式;
范畴 $\mathcal C$ 中的可逆态射.

范畴的泛等性确保上述两种概念实际上是等价的.

两个对象之间可能有多种不同方式相等, 甚至一个对象和自身也可能有多种不同方式相等, 这称为对称性. 对象的对称性由群描述.

范畴谱 [范畴谱]

观念

范畴谱是谱在高阶范畴中的推广.

定义

记 $n\mathsf{Cat}$ 为 $(\infty,n)$-范畴的范畴. 记 $\infty\mathsf{Cat} = \operatorname{lim}_n n\mathsf{Cat}$ 为 $(\infty,\infty)$-范畴的范畴.

对于带基点 $(\infty,\infty)$-范畴 $\mathcal C\in \infty \mathsf{Cat}_*$ 记 $\Omega\mathcal C := \operatorname{End}_{\mathcal C}(*)\in \infty \mathsf{Cat}_*$.

定义范畴谱 (categorical spectra) 的范畴 $\mathsf{CatSp}$ 为对 $\Omega\colon \infty\mathsf{Cat}_*\to \infty\mathsf{Cat}_*$ 形式取逆得到的 $(\infty,1)$-范畴: $$ \mathsf{CatSp}:= \operatorname{lim} (\cdots\overset{\Omega}{\to}\infty \mathsf{Cat}_*\overset{\Omega}{\to}\infty \mathsf{Cat}_*). $$ 换言之, 一个范畴谱是一列 $(\infty,\infty)$-范畴 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 带有等价 $$ X_n \simeq \Omega X_{n+1}. $$

性质

与谱的关系

命题. $\mathsf{Sp}\subset\mathsf{CatSp}$ 是全子范畴.

纬悬

由形式取逆的抽象性质, $\Omega\colon \mathsf{CatSp}\to\mathsf{CatSp}$ 为等价, 且其逆 $\Sigma\colon \mathsf{CatSp}\to\mathsf{CatSp}$ 可由左伴随 $\Sigma\colon \infty \mathsf{Cat}_* \to \infty \mathsf{Cat}_*$ 在 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$ 中取余极限得到.

容易看到, 谱的范畴 $\mathsf{Sp}\subset\mathsf{CatSp}$ 上的环路函子 $\Omega$ 与 $\mathsf{CatSp}$ 上的函子 $\Omega$ 相容.

纬悬谱

记 $\mathsf{CatSp}$ 到第 $n$ 分量的投影为 $\Omega^{\infty -n}\colon \mathsf{CatSp} \to \infty \mathsf{Cat}_*$.

记 $\Omega^{\infty-n} \colon \mathsf{CatSp}\to\infty \mathsf{Cat}_*$ 的左伴随为 $\Sigma^{\infty-n} \colon \infty \mathsf{Cat}_*\to\mathsf{CatSp}$.

称形如 $\Sigma^{\infty }X$ 的范畴谱为纬悬谱. 当然, 这个名称与生象的纬悬谱 $\Sigma^\infty \colon \mathsf{Ani}_* \to \mathsf{Sp}$ 也是相容的.

连合谱与交换代数

由定义以及逆环假设, $\mathsf{CatSp}$ 又可理解为如下极限: $$ \mathsf{CatSp} =\operatorname{lim} (\cdots\overset{\Omega}{\to}\mathsf{CAlg}(\infty \mathsf{Cat})\overset{\Omega}{\to}\mathsf{CAlg}(\infty \mathsf{Cat})). $$

记 $\Omega^{\infty-n} \colon \mathsf{CatSp}\to\mathsf{CAlg}(\infty \mathsf{Cat})$ 的左伴随为 $\mathbf{B}^{\infty-n} \colon \mathsf{CAlg}(\infty \mathsf{Cat})\to\mathsf{CatSp}$.

称形如 $\mathbf{B}^{\infty }X_0$ 的范畴谱为连合 (connective) 范畴谱; 记连合范畴谱构成的全子范畴为 $$ \mathsf{CatSp}_{\geq 0}\subset\mathsf{CatSp}. $$

设 $X_0\in \mathsf{CAlg}(\infty \mathsf{Cat})$ 为对称幺半 $(\infty ,\infty )$-范畴. 则范畴谱 $\mathbf{B}^{\infty}X$ 的分量为 $$ \mathbf{B}^{\infty}X := (X_n = \mathbf{B}^n X_0). $$

张量积

逆环假设 [逆环假设]

观念

逆环假设 (delooping hypothesis) 是一系列关于高连通性的高阶范畴与带 $\mathbb E_n$ 结构的高阶范畴之间的对应的命题.

陈述

命题. 一个 $(\infty,n+k)$-范畴, 小于 $n$ 阶的态射都唯一, 那么它等同于 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴: $$ \mathsf{Cat}_{(\infty,n+k)}^{*,\geq n} \ \begin{aligned} \overset{\Omega^n}{\longrightarrow}\\ \underset{\mathrm{B}^n}{\longleftarrow} \end{aligned}\ \mathsf{Alg}_{\mathbb E_n} (\mathsf{Cat}_{(\infty,k)}). $$

注.

等价的两边是 $(\infty,1)$-范畴, 即我们不考虑更高阶不可逆态射.
$\mathsf{Cat}_{(\infty,n+k)}^{*,\geq n}$ 是带基点 $(n-1)$-连通 $(\infty,n+k)$-范畴的范畴, 这里的基点很重要.
$\Omega := \operatorname{End}(*)$ 是取基点对象的自同态; 对于带基点 $\mathbb E_{n}$-幺半 $(\infty,k)$-范畴 $\mathcal C$, 有 $\Omega\mathcal C$ 为带基点 $\mathbb E_{n+1}$-幺半 $(\infty,k-1)$-范畴.
对于 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴 $\mathcal C$, 其 “逆环” $\mathrm{B}\mathcal C$ 是 $\mathbb E_{n-1}$-幺半 $(\infty,k+1)$-范畴; $\mathrm{B}$ 就是 $\Omega$ 的逆运算.

例

$n=1,k=0$ - 仅有一个对象的范畴等同于幺半群:

$$ \mathsf{Cat}_{(\infty,1)}^{*,\geq 1} \ \begin{aligned} \overset{\Omega}{\longrightarrow}\\ \underset{\mathrm{B}}{\longleftarrow} \end{aligned}\ \mathsf{Alg}_{\mathbb E_1} (\mathsf{Ani}). $$

性质