对象的生象 [对象的生象]

百科
SimplicialCat

观念

在生象语境中, 对于一个范畴 $\mathcal C$, 我们不能谈论它的 “对象的集合”, 因为两个对象之间的 “相等” 未必是一个命题. 但我们总可以谈论对象的生象 $\mathcal C^{\simeq}$.

如果一定要谈论 “对象的集合”, 可以取对象的生象的截断 $\pi_0\mathcal C^{\simeq}$. 但这通常没有什么意义.

取对象的生象 $\mathcal C \mapsto \mathcal C^{\simeq}$ 是嵌入 $\mathsf{Ani} \to \mathsf{Cat}$ 的右伴随: 对任意生象 $A$, $$ \mathsf{Fun}(A,\mathcal C)\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(A,\mathcal C^{\simeq}). $$

注意从一个范畴还有另一种不同的方式得到一个生象, 即对全体态射作局部化 $|\mathcal C| := \mathcal C [\mathcal C^{-1}]$, 这是嵌入 $\mathsf{Ani} \to \mathsf{Cat}$ 的左伴随.

定义

将一个范畴中的不可逆态射去除, 仅保留可逆态射, 得到一个生象, 称为其对象的生象, 又叫核 (core), 极大子群胚 (maximal subgroupoid).

这一操作为嵌入 $$ \mathsf{Ani} \to \mathsf{Cat} $$ 的右伴随.

关联页面

E∞-群 [Abel∞-群]

百科
SimplicialCat

观念

$\mathbb E_{\infty}$-群又称 Abel $\infty$-群, 是算畴 $\mathbb E_\infty$上的代数.

见 $\mathbb E_n$-代数.

例

对称幺半 ∞-范畴的对象的生象具有 $\mathbb E_\infty$-代数结构.

每个谱通过函子 $\Omega^\infty$ 给出一个 $\mathbb E_\infty$-群, 直观上取出非负阶的同伦信息.

Brauer 群 [Brauer群]

百科
SimplicialCat

观念

概形的 Brauer 群是其上 Azumaya 代数的相似类在张量积下构成的群; Azumaya 代数 $A$ 在 Morita 范畴中可逆; 因此其上的模范畴 $\mathsf{Mod}(A)$ 是可逆线性范畴.

向量丛的自同态丛是 Azumaya 代数, 其对应的 Brauer 类平凡.

Brauer groups and Azumaya algebras play an important role in many areas of mathematics, but especially in arithmetic geometry, algebraic geometry, and applications to mathematical physics. In arithmetic geometry, they are closely related to Tate’s conjecture on l-adic cohomology of schemes over finite fields, and they play a critical role in studying rational points of varieties through, for example, the Brauer Manin obstructions to the Hasse principle. In algebraic geometry, Azumaya algebras arise naturally when studying moduli spaces of vector bundles, and Brauer classes appear when considering certain constructions motivated from physics in homological mirror symmetry. The Brauer group was also used by Artin-Mumford (AM72) to construct one of the first examples of a non-rational unirational complex variety.

定义

域

域 $K$ 的 Brauer 群 $\mathrm{Br}(K)$ 是其上的中心单代数的相似类关于张量积构成的群, 也即上同调 $$ H^2(\operatorname{Gal}(K_{\mathrm{sep}}/K),K^*_{\mathrm{sep}}) = H^2(\operatorname{Spec}K_{\mathrm{et}},\mathbb G_{\mathrm{m}}). $$

设 $A,B$ 为 $K$ 上的有限维中心单代数, 若存在 $n,m\in\mathbb{Z}_+$ 使得 $M_n(A)\simeq M_m(B)$ (作为 $K$-代数), 则称 $A$ 与 $B$ 相似.

$A$ 与 $B$ 相似当且仅当存在可除代数 $D$ 使得 $A,B$ 均为 $D$ 上的矩阵代数.

例. $\mathrm{Br}(\mathbb{R})\simeq \{[\mathbb{R}],[\mathbb H]\}$. $\mathbb H\otimes\mathbb H\simeq M_4(\mathbb{R})$.

例. 有限域的 Brauer 群平凡, 因为有限除环都是域.

环

与模范畴的关系

设 $R$ 为交换环, 考虑 $2$-范畴 $\mathsf{Alg}_R$, 其对象为 $R$-代数 (即 $R$-模范畴中的幺半群), 态射为双模, 态射的复合为张量积, $2$-态射为双模的同态.

考虑 $\mathsf{Alg}_R$ 的核 $\mathrm{Core}(\mathsf{Alg}_R)$, 其对象为 $R$-代数, 态射为 Morita 等价, $2$-态射为双模的同构.

This may be understood as the $2$-groupoid of (generalized) line $2$-bundles over $\operatorname{Spec}R$, inside that of all $2$-vector bundles.

$\pi_0(\mathbf{Br}(R))$ 为 $R$ 的 Brauer 群;
$\pi_1(\mathbf{Br}(R))$ 为 $R$ 的 Picard 群;
$\pi_2(\mathbf{Br}(R))$ 为 $R$ 的乘法可逆元群.

平展上同调的定义

在一些小的假设下, 概形 $X$ 的 Brauer 群 $\mathrm{Br}(X)$ 同构于平展上同调 $H^2_{\text{\'et}}(X,\mathbb G_m)$ 的挠部分. 见平展上同调讨论班讲义.

“范畴化” 的定义

Brauer 群某种意义上是 Picard 群的范畴化.

对于概形 $X$ 可以谈论 “$X$ 上的拟凝聚叠”, 又叫 “$X$-线性稳定 ∞-范畴”; 其构成的范畴记为 $\mathsf{Cat}_X$. 一个与 Brauer 群相关的群是所谓 “导出 Brauer 群”, 定义为 $\mathsf{Cat}_X$ 的 Picard 群 $$ \mathrm{Br}^{\mathrm{der}}(X) := \operatorname{Pic}(\mathsf{Cat}_X). $$

性质

代数闭域的 Brauer 群是平凡群.

Segal 对象 [Segal空间]

百科
SimplicialCat

观念

Segal 对象是用于定义范畴对象 (如 $(\infty,1)$-范畴) 的一个中间概念. 假设我们要在生象概念的基础上定义范畴, 我们可以采用脉的观念, 对一个假想的 $(\infty,1)$-范畴 $\mathcal C$, 用各个单形 $[n]$ 探测之, 得到单纯生象 $N(\mathcal C)$: $$ N(\mathcal C)_n = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Cat}_{(\infty,1)}}([n],\mathcal C) = \operatorname{Fun}([n],\mathcal C)^{\simeq}, $$ 其中 $(-)^\simeq$ 表示取范畴的对象的生象. 这一过程又称为 Rezk 脉. 由设想, 这个单纯对象必须将单形之间的拼接 (余极限) 变为生象的极限, 这便是 Segal 对象的条件.

范畴的 Segal 条件可推广为 (或者说启发了) 代数模式的 Segal 条件.

Segal 对象要表达范畴的概念还需要具有 “完备性” (类似于泛等性). 见范畴对象.

定义

一个 Segal 生象是一个单纯生象 $X \colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$, 满足对任意 $m,n\in\mathbb{N}$, 下图为拉回. $$ \begin{array} {ccc} X_{m+n} & \to & X_m \\ \downarrow && \downarrow \\ X_n & \to & X_0 \end{array} $$ 该图来自 $\Delta$ 中的如下交换图. $$ \begin{array} {ccc} \{0 < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{0 < \cdots < m\} \\ \uparrow && \uparrow \\ \{m < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{m\} \end{array} $$

完备 Segal 生象

对于 Segal 生象 $X$ 中的 $1$-单形 $f \in X_1$, 若 $f$ 既有左逆又有右逆 (具体地, 存在 $\sigma,\tau \in X_2$ 使得 $d_0\sigma = f = d_2\tau$, 且 $d_1\sigma, d_1\tau$ 均落在 $s \colon X_0 \to X_1$ 的像中), 则称 $f$ 为等价.

对于 Segal 生象 $X$, 记 $X_1^{\simeq}\subseteq X_1$ 为 $X_1$ 中的等价构成的子生象; 若 $s \colon X_0 \to X_1^\simeq$ 为生象的等价, 则称 $X$ 为完备 Segal 生象.

完备 Segal 生象也可等价地定义为关于 $N(0\overset{\simeq}{\to} 1) \to {*}$ 的局部对象.

完备 Segal 生象等同于 $(\infty,1)$-范畴. 另见范畴对象.

例

群胚对象

群胚对象是重要的 Segal 对象.

(n,r)-范畴 [n-r-范畴]

百科
SimplicialCat

定义

对于整数 $n\geq -2$, $r\geq 0$, $(n,r)$-范畴是满足如下条件的高阶范畴:

其任何 $(n+2)$ 阶态射范畴为单点;
其任何 $r$ 阶态射范畴为生象.

注. 不妨要求 $r\leq n+1$, 因为若任何 $(n+2)$ 阶态射范畴为单点, 则任何 $(n+1)$ 阶态射范畴为生象.

由定义, $(n,r)$-范畴中两个对象之间的态射范畴为 $(n-1,r-1)$-范畴. 这个事实也可以作为 $(n,r)$-范畴的一种定义: $(n,r)$-范畴就是充实于 $\mathsf{Cat}_{(n-1,r-1)}$ 的范畴.

例

$(n,r)$	名称
$(-1,0)$	命题
$(0,0)$	集合
$(0,1)$	偏序集
$(1,1)$	通常说的 “范畴”
$(1,2)$	充实于偏序集的范畴
$(\infty,0)$	生象
$(n,0)$	$n$-截断生象
$(\infty,1)$	通常说的 “无穷范畴”

$(n,0)$-范畴

可归纳说明 $(n,0)$-范畴就是 $n$-截断生象:

由定义, $(-2,0)$-范畴是单点, 即 $(-2)$-截断生象.
对于生象 $X$, 其为 $n$-截断生象当且仅当对任意 $x,y\in X$, 道路生象 $x=y$ 为 $(n-1)$-截断生象.

例如

$(-1,0)$-范畴是命题,
$(0,0)$-范畴是集合.

$(0,1)$-范畴

$(0,1)$-范畴是充实于命题的范畴, 即对任意两个对象 $x,y$, 态射范畴 $\operatorname{Hom}(x,y)$ 都是命题. 在经典逻辑中, 这意味着 $x$ 到 $y$ “要么有 (唯一的) 态射, 要么没有态射”. 若将 “$x$ 到 $y$ 有态射” 理解为 $x\leq y$, 这正是偏序集的概念.

$(1,2)$-范畴

$(1,2)$-范畴是充实于 $(0,1)$-范畴的范畴, 即两个对象之间的态射范畴为偏序集.

一个重要的例子是单纯形范畴.

$(\infty,0)$-范畴, 生象

生象, 又称 $\infty$-群胚, 即 $(\infty,0)$-范畴, 是一类重要的高阶范畴.

对于每个高阶范畴 $\mathcal C$, 都可以去掉其中所有不可逆的态射, 仅保留对象与对象之间的同构, 得到一个生象 $\mathcal C^{\simeq}$, 称为 $\mathcal C$ 的对象的生象. 一般地, $(n,r)$-范畴也可遗忘为 $(n,r')$-范畴 ($r' < r$).

$(\infty,n)$-范畴

见 $(\infty,n)$-范畴.

代数 [代数]

学科
SimplicialCat

代数结构是数学中一类最基本和重要的结构.

在传统中, 一种代数由运算和等式定义.

在范畴论 (范畴逻辑学) 中, 有许多精神相通而不尽相同的 “元理论”, 刻画何为 “一种代数”:

它们能表达的理论类型, 以及模型所能取值的范畴都各有不同.

而上述每种 “元理论” 又可以放入如下的统一框架中 (参考藤井宗一郎):

定义 (元理论).

一个元理论 (metatheory) 是一个幺半范畴 $\mathcal M$.
元理论 $\mathcal M$ 中的一个理论 (theory) 是其中的一个结合代数 $T$.

例.

Lawvere 理论是幺半范畴 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Fin},\mathsf{Set})$ (见代入幺半结构) 中的结合代数.

定义 (模型).

对于元理论 $\mathcal M$, 理论 $T\in\mathsf{Alg}(\mathcal M)$ 与范畴 $\mathcal C$,

固定 $\mathcal C$ 在 $\mathcal M$ 中的一个 “充实” 结构, 严格地说是一个 $\mathcal M$-充实范畴 $\mathcal D$ 以及一个在对象的生象层面为等价函子 $\mathcal C \to \mathcal D_0$, 其中 $\mathcal D_0$ 代表 $\mathcal D$ 的底层范畴, 其态射生象为 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D_0}(A,B) = \operatorname{Hom}_{\mathcal M}(1,\underline{\operatorname{Hom}}(A,B))$.
那么对于 $c\in\mathcal C$, 有 $\underline{\operatorname{End}}(c)\in\mathsf{Alg}(\mathcal M)$ 为结合代数.
此时定义范畴 $\mathcal C$ 中的一个 $T$-模型是 $\mathcal M$ 中的一个结合代数同态 $T \to \operatorname{End}(c)$. $T$-模型的范畴为 $$ \mathsf{Mod}_{\mathcal C}(T) := $$

全忠实函子 [全忠实函子]

百科
SimplicialCat

全忠实函子 (fully faithful functor) 又称全子范畴 (full subcategory), 是满足如下条件的函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$: 对任意对象 $X,Y\in\mathcal C$, 映射 $\mathcal C(X,Y) \to \mathcal D(F(X),F(Y))$ 为等价.

命题. 全忠实函子 $F\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 必为子范畴, 即 $F$ 给出对象的生象的单射 $\mathcal C^{\simeq} \to \mathcal D^{\simeq}$.

性质

全忠实函子反映极限和余极限.

单子 [单子]

百科
SimplicialCat

观念

单子 (monad) 是一种具有许多理解方式的对象, 很难说哪种理解最为基本:

范畴 $\mathcal C$ 上的单子是自函子范畴 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 中的结合代数; 在这种意义上它是结合代数的范畴化.
幺半范畴 $\mathcal C$ 中的一个结合代数 $A$ 给出 $\mathcal C$ 上的一个单子 $A\otimes(-)$; 在这种意义上单子是结合代数的推广; 单子上的模 (或叫单子上的代数) 是结合代数上的模的推广.
单子是代数理论的推广. 许多代数结构可理解为某个单子上的代数; 此时这个单子给出 “自由代数”. 这件事可由单子性函子描述.
在 $2$-范畴的理论中, 单子可视为 $1$ 到 $\mathsf{Cat}$ 的松函子, 从而进一步推广为 $1$ 到一般的 $2$-范畴的松函子.

代数结构

单子是记录许多代数结构的统一的工具. 对于每种代数结构都有一个自由函子, 对应的单子是自由和遗忘的复合, 一般的结构则是单子上的代数.

对于环 $R$, $R$-模是单子 $T_R := R\otimes -\colon \mathsf{Ab}\to\mathsf{Ab}$ 上的代数.
考虑张量代数单子 $T\colon \mathsf{Ab} \to \mathsf{Ab}$, 那么一个环等同于一个 $T$-代数.
考虑自由群单子 $T_{\mathrm{Grp}}\colon \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$, 那么一个群等同于一个 $T_{\mathrm{Grp}}$-代数. 更一般地, 每个 Lawvere 理论都给出 $\mathsf{Set}$ 上的一个单子 $T$. 记 $T(n)$ 为该理论中所有可能的 $n$ 元项的集合, 例如群的理论中 $x^2 y^{-1}x$ 是一个 $2$ 元项. 那么函子 $T$ 可表示为 $$ TX = \int_{N\in\mathsf{Fin}} T(N)\times X^N. $$ 这是一个余端记号, 可以粗略地理解为对所有 $N$ 取并, 然后商掉必要的关系.
对于 $\mathsf{Ani}$-值单色算畴 $\mathcal O$, 我们有 ($\mathsf{Ani}$ 上的) 自由 $\mathcal O$-代数单子 $$ T_{\mathcal O} X = \int_{N\in\mathsf{Fin}^\simeq} \mathcal O(N)\times X^N. $$ 例如自由 $\mathbb E_n$-代数单子 $$ T_{\mathbb E_n}X = \int_{N\in\mathsf{Fin}^\simeq}\operatorname{Conf}_N(\mathbb{R}^n)\times X^N. $$ 注意, 与 Lawvere 理论不同的是, 这里余端的指标范畴为群胚 $\mathsf{Fin}^\simeq$. 本讲的第一个主要目标便是用这种方式解释什么是算畴.

有一些看起来不那么 “代数” 的结构也可以用单子来记录. 关键在于, “不那么代数” 的信息被储存在了一个基范畴中, 而单子本身只负责记录 “代数” 运算.

考虑有向图的范畴 $\mathsf{Graph}$, 其对象为两个生象带有两个映射 $E\rightrightarrows V$, 其上有一个自由范畴单子 $T_{\mathsf{Cat}}\colon \mathsf{Graph}\to\mathsf{Graph}$, 这个单子上的代数就是范畴.
算畴 (多重范畴) 也可以类似定义, 底层的结构是树. 树与图的区别在于它能记录 “多个对象到一个对象的态射”. 这是本讲的第二个主要目标. 注意在本讲中, 算畴 (多重范畴) 有了两个不同层次的角色: 先是一个算畴定义一种结构, 然后算畴这种结构本身也可以用单子来定义.

在上述每个例子中, “自由代数” 单子都不仅仅是单子, 而是所谓带元数的单子 (或脉性单子). 元数 (arity) 的本义是一个函数的自变量的个数, 例如加法的元数是 $2$, 取逆的元数是 $1$, 而常数的元数是 $0$.

如果定义一种代数结构的每种运算只涉及了一个集合里有限个元素, 那么一个代数 $X$ 就可以被全体有限集 $A$ 生成的自由代数 $TA$ 探测. 所谓探测就是说用全体态射 $TA\to X$ 的信息可以完全恢复出 $X$ 的信息. 这就是带元数的单子的直观.

计算机科学

单子也是计算机科学中的重要概念, 因为它表达了许多计算过程中的现象: 一个计算 “本该” 输出类型 $X$ 的数据, 而实际上输出的是与 $X$ 有关的一个类型 $TX$ 的数据. 例如

除法运算 “本该” 输出一个类型为 $\mathbb{R}$ 的数据, 但实际上输出的是一个数或者一个异常 NaN (比如除以 $0$). 实际上的输出类型是 $\mathsf{Maybe}(\mathbb{R}) := \mathbb{R} \sqcup \{\text{NaN}\}$. 这就是可能单子 (maybe monad).
计算机语言中的一个 “函数” $A\to B$ 不一定是数学意义上的函数, 因为它可能在运行中改变了环境. 以 $S$ 表示环境可能处于的状态的全体, 那么这个 “函数” 实际上的输出类型是 $S\to (B\times S)$, 也就是 “从旧环境得到一个类型 $B$ 的数据, 并给出新环境”. 这就是状态单子 (state monad).

详见单子 (计算机科学).

定义

自函子范畴中的结合代数

一个范畴 $\mathcal C$ 上的单子是其自函子范畴 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 中的结合代数. 对偶范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上的单子称为 $\mathcal C$ 上的余单子.

更具体地, 一个 ($1$-)范畴 $\mathcal C$ 上的单子是一个函子 $T\colon \mathcal C\to\mathcal C$, 带有自然变换 $\eta\colon \mathrm{id}\to T$, $\mu\colon T^2\to T$, 且有两个自然变换 $T^3\to T$ 之间的同构.

当然, 上述定义中的 $\mathcal C$ 也可设为任何 $2$-范畴的对象. 例如, 考虑具有某一类余极限的范畴构成的 $2$-范畴, 那么其中一个对象上的单子即为保持这类余极限的单子.

松 2-函子

等价的定义是, 单子为 $2$-范畴之间的松函子 $$ 1\to \mathsf{Cat}. $$ 一般地, $2$-范畴 $\mathcal C$ 内的一个单子定义为松函子 $1 \to \mathcal C$ (注意区分一个对象上的单子与一个 $2$-范畴内的单子).

性质

Kleisli 范畴

对范畴 $\mathcal C$ 上的单子 $T$, 有一个范畴, 称为 Kleisli 范畴 $\mathsf{Kl}$,

其对象为 $\mathcal C$ 的对象,
$\mathsf{Kl}$ 中的态射 $X\to Y$ 为 $\mathcal C$ 中的态射 $X\to TY$,
$\mathsf{Kl}$ 中的态射 $X\to Y$, $Y\to Z$ 的复合为 $\mathcal C$ 中的如下复合: $$ X \to TY \to TTZ \overset{\mu}{\to} TZ. $$

例

伴随给出单子

任何一对函子 $L\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $R\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 之间的伴随 $L\dashv R$ 都给出一个单子 $RL\colon \mathcal C\to\mathcal C$ 与一个余单子 $LR\colon \mathcal D\to\mathcal D$. 见伴随给出单子. 事实上任何单子都是某一对伴随给出的.

Set 上的单子

考虑带基点集合 $\mathsf {Set}_*$ 到 $\mathsf {Set}$ 的遗忘函子, 其对应的自由函子 (左伴随) 是对集合添加一个新的点作为基点. 这对伴随的单位 $\operatorname{id}_{\mathsf {Set}}\to RL$ 是对集合添加一个新的点. 这在计算机科学中称作可能单子 (maybe monad).

固定集合 $S$, 称为状态集合 (set of states), 张量-同态伴随 $(S\times)\dashv (-)^S$ 的单位 $(S\times -)^S$ 称为状态单子 (state monad).

结合代数

设 $A$ 是幺半范畴 $(\mathcal C,\otimes)$ 中的结合代数, 则有单子 $A\otimes(-)\colon \mathcal C\to\mathcal C$ 以及 $(-)\otimes A\colon \mathcal C\to\mathcal C$. 这是因为 $$ A \mapsto (A\otimes (-)) \colon \mathcal C \to \operatorname{End}(\mathcal C) $$ 是幺半函子, 从而将结合代数 $A$ 变为单子.

例. 增广单纯形范畴 $\Delta_+$ 中的对象 $[0]$ 是游走的结合代数. 与该结合代数作张量积的函子 $[0] \otimes - \colon \Delta_+ \to \Delta_+$ 等同于对全序集添加一个最小元, $-\otimes [0] \colon \Delta_+ \to \Delta_+$ 则是添加一个最大元.

偏序集上的单子

偏序集 $(P,\leq)$ 上的单子 $T\colon P\to P$ 须满足 $x\leq Tx$, $T^2 = T$. 这种映射又叫 “闭包算子”. 例如拓扑空间的开集的偏序集 $\operatorname{Open}(X)$ 上的闭包运算是一个单子.

另见 Lawvere–Tierney 拓扑.

单射 [单射]

定义

生象

生象范畴 $\mathsf{Ani}$ 中的单射就是 $(-1)$-截断映射. 映射 $f\colon Y\to X$ 是单射, 当且仅当它是 $X$ 的若干连通分支的含入.

一般范畴

定义一般范畴 $\mathcal C$ 中的态射 $f\colon X\to Y$ 是单射当且仅当对任意对象 $X\in\mathcal C$, $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Z,X) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Z,Y) $$ 是单射.

参见 Ayala–Francis–Rozenblyum 5.1 节.

例

范畴的范畴

范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的单射又称子范畴, 是满足如下条件的函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$:

$F$ 给出对象的生象的单射 $\mathcal C^{\simeq} \to \mathcal D^{\simeq}$;
对任意两个对象 $X,Y\in\mathcal C$, 映射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))$ 为单射.

注意, 上述条件比全子范畴弱 (全子范畴要求第二个映射为等价).

性质

极限封闭

单射关于极限封闭. 准确地说, 记 $\mathsf{Ar}(\mathcal C)^{\mathrm{mono}}\subset \mathsf{Ar}(\mathcal C)$ 为箭头范畴中单射构成的全子范畴, 假设图 $X\colon I\to\mathsf{Ar}(\mathcal C)^{\mathrm{mono}}$ 在 $\mathsf{Ar}(\mathcal C)$ 中存在极限, 那么极限也落在 $\mathsf{Ar}(\mathcal C)^{\mathrm{mono}}$ 中.

子范畴 [子范畴]

定义

子范畴是 $\mathsf{Cat}$ 中的单射.

命题. 子范畴就是满足如下条件的函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$:

$F$ 给出对象的生象的单射 $\mathcal C^{\simeq} \to \mathcal D^{\simeq}$;
对任意两个对象 $X,Y\in\mathcal C$, 映射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))$ 为单射.

证明. 这本质上是因为用于探测对象的 $[0]$ 和用于探测态射的 $[1]$ 构成 $\mathsf{Cat}$ 的稠密子范畴. 详见 AFR Lemma 5.6.

定义.

要求上述条件 1 中的态射为等价, 称之为宽子范畴 (wide subcategory);
要求上述条件 2 中的态射为等价, 称之为全子范畴 (full subcategory).

宽子范畴 [宽子范畴]

宽子范畴是在对象的生象的层面为等价的子范畴.

弱可缩范畴 [弱可缩范畴]

百科
SimplicialCat

定义

生象作为 $\infty$-群胚可视为 $(\infty,1)$-范畴, 给出嵌入 $$ \mathsf{Ani} \to \mathsf{Cat}. $$ 该嵌入有左伴随 $$ |{-}|\colon \mathsf{Cat} \to \mathsf{Ani}, $$ “将所有态射变为可逆”. (注意该嵌入的右伴随为取对象的生象)

对于范畴 $\mathcal C$, 若 $|\mathcal C|=1$, 则称 $\mathcal C$ 弱可缩 (weakly contractible).

性质

命题. 函子 $\mathcal C_{/c} \to \mathcal C$ 保持且反映弱可缩极限.

证明. 设 $I$ 为弱可缩范畴, 图表 $X\colon I\to\mathcal C_{/c}$ 的极限是右锥图表 $\widetilde {X}\colon I^{\triangleright}\to\mathcal C$ 的极限, 而 $I\to I^{\triangleright}$ 共首, 故该极限等同于 $\widetilde {X}|_{I}$ 的极限.

例

范畴的锥是弱可缩的.

本质满函子 [本质满函子]

百科
SimplicialCat

定义

对于范畴之间的函子, 若其在对象的生象上诱导满射 (对于生象这等同于在 $\pi_0$ 上为满射; 另见意象中的满射), 则称之为本质满函子 (essentially surjective functor).

性质

预层的下降

设 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 为本质满函子, 则预层的拉回 $$ F^*\colon \widehat {\mathcal D} \to \widehat {\mathcal C} $$ 为单子性函子; $\widehat {\mathcal C}$ 上的单子 $F^*F_!$ 的代数等同于 $\widehat {\mathcal D}$ 的对象. (其中 $F_!$ 是 $F^*$ 的左伴随, 见预层范畴之间的伴随.)

证明.

$$ F^*F_! X (c) = \operatorname{colim}_{F(c')\to F(c)} X(c') $$

考虑比较函子 $$ K\colon \widehat {\mathcal D} \to \mathsf{Alg}(F^*F_!), \ X\mapsto F^*X. $$

球谱 [球谱]

百科
SimplicialCat

观念

作为一个元素生成的自由 $\mathbb E_\infty$-群

在 $\mathbb E_\infty$-群与连合谱的等价 $$ \Omega^\infty \colon \mathsf{Sp}_{\geq 0} \overset{\simeq}{\longrightarrow} \mathsf{Grp}_{\mathbb E_\infty}(\mathsf{Ani}) $$ 中, 球谱 $\mathbb S \in \mathsf{Sp}_{\geq 0}$ 是一个元素生成的自由的 $\mathbb E_\infty$-群的对应物.

一个元素生成的自由的 $\mathbb E_\infty$幺半群是有限集的生象 $\mathsf{Fin}^\simeq$ (即有限集范畴 $\mathsf{Fin}$ 的对象的生象). 它可以写成无交并 $$ \mathsf{Fin}^\simeq = \coprod_{n\geq 0}B\Sigma_n. $$ 其群化为 $\Omega^\infty \mathbb S$.

范畴论 [范畴论]

学科
SimplicialCat

观念

范畴是集合概念的某种推广; 范畴中有对象, 正如集合中有元素; 但不同在于集合中的元素只有相等或不相等两种关系, 而范畴中的对象可以有多种且不对称的关系, 称为态射.

态射的最根本属性是它们可以复合. 对于一串 $n$ 个态射 $$ X_0 \to X_1 \to\cdots \to X_n, $$ 其复合的结果是唯一的, 不依赖于复合的方式.

传统上说的范畴的概念又称为 $1$-范畴, 它处在一个无穷高的阶梯的第 $1$ 层; 而集合的概念在第 $0$ 层, 集合又可称为 $0$-范畴. 全体 $0$-范畴构成一个 $1$-范畴; 一般地, 全体 $n$-范畴也构成一个 $(n+1)$-范畴, 这个无穷高的阶梯中每一层的对象的全体构成上一层的一个最基本的对象. 见高阶范畴, $(n,r)$-范畴.

相等

范畴的对象之间可以谈论相等. 这是一个很不简单的概念. 一般而言 (除非在范畴层级较低的情形), 相等是结构而非性质. 表面上, 相等至少有如下两种含义:

范畴 $\mathcal C$ 的对象的生象 $\mathcal C^{\simeq}$ 中的等式;
范畴 $\mathcal C$ 中的可逆态射.

范畴的泛等性确保上述两种概念实际上是等价的.

两个对象之间可能有多种不同方式相等, 甚至一个对象和自身也可能有多种不同方式相等, 这称为对称性. 对象的对称性由群描述.

配边假设 [配边假设]

百科
SimplicialCat

陈述

配边假设 (cobordism hypothesis) 是说, 配边范畴是由一个完全可对偶对象所自由生成的对称幺半 $(\infty,n)$-范畴.

命题 (配边假设, 标架版本). 设 $\mathcal C$ 为对称幺半 $(\infty,n)$-范畴. 那么函子 $$ \mathsf{Bord}_n^{\mathrm{fr}} \to \mathcal C $$ 等同于 $\mathcal C$ 中的完全可对偶对象. 准确地说, $$ \operatorname{Hom}(\mathsf{Bord}_n^{\mathrm{fr}},\mathcal C) \simeq (\mathcal C^{\mathrm{fd}})^\sim, $$ 其中 $(-)^{\sim}$ 表示取对象的生象.

函子 $\mathsf{Bord}_n^{\mathrm{fr}} \to \mathcal C$ 又称拓扑场论 (TFT) 或拓扑量子场论 (TQFT). 配边假设表明拓扑场论由其在一个点上的取值完全确定.

配边假设可视为缠结假设在余维数趋于 $+\infty$ 的极限情形.

带奇点配边假设

配边假设有一个巨大推广, 称为带奇点配边假设; Lurie 指出它可以推出缠结假设.

例

有限维线性空间

固定一个域 $k$. 有限维 $k$-线性空间 $V$ 是 $k$-线性空间范畴 $(\mathsf{Vect},\otimes)$ 中的可对偶对象, 给出一个函子 $$ \mathsf{Bord}_1^{\mathrm{fr}} \to \mathsf{Vect}, $$

$+ \mapsto V$,
$- \mapsto V^*$ ($V$ 的对偶空间),
$\varnothing\mapsto k$,
下图是 $\{+,-\}$ 到 $\varnothing$ 的配边, 对应取值映射 $\mathrm{ev}\colon V^*\otimes V\to k$.

反过来的配边对应余取值映射 $\mathrm{coev}\colon k\to V\otimes V^*$; 若有 $V$ 的一组基 $\{e_i\}$ 和 $V^*$ 相应的对偶基 $\{f_i\}$, 则有 $$ \operatorname{coev}(1)=\sum_i e_i\otimes f_i. $$
闭流形 $S^1$ 对应取值和余取值映射的复合 $\operatorname{ev}\circ\operatorname{coev}\colon k\to k$, 对应一个数, 即 $\operatorname{dim}V$.