观念
定义
函子 $F\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 称为局部右伴随 (local right adjoint), 是指对每个对象 $c\in\mathcal C$, 函子 $F_{/c}\colon \mathcal C_{/c} \to \mathcal D_{/F(c)}$ 都是右伴随.
当 $\mathcal C$ 有终对象 $1$ 时, 只需 $F_{/1}\colon \mathcal C \to \mathcal D_{/F(1)}$ 为右伴随.
由伴随的定义, 函子 $F\colon \mathcal C_{/c} \to \mathcal D_{/F(c)}$ 为右伴随, 当且仅当对任意 $(d\to F(c))\in\mathcal D_{/F(c)}$, 范畴 $\{d\to F(c')\to F(c)\}$ 有始对象. 这个范畴的对象是 $d\to F(c)$ 的分解, 要求后一个态射在 $F$ 的像中.
一般映射
局部右伴随还可用一般映射来刻画.
称 $d\to F(c)$ 为一般映射 (generic map), 是指: 对任意 $c\to c'$, 范畴 $\{d\to F(c'')\to F(c')\}$ 的始对象都是 $d\to F(c) \to F(c')$. 一个等价的表述是 $d\to F(c)$ 具有关于 $F$ 的像中所有态射的左提升性质且提升唯一.
命题. 函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 是局部右伴随当且仅当所有态射 $d\to F(c)$ 分解为一个一般映射复合一个 $F$ 的像中的态射.
性质
与弱可缩极限的关系
命题 (GHK, 命题 2.2.9). 设 $F\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 是可表现范畴之间的可达函子, 则 $F$ 是局部右伴随当且仅当 $F$ 保持弱可缩极限.
证明. 注意到 $F_{/X}\colon \mathcal C_{/X} \to\mathcal D_{/FX}$ 为可达函子, 它是右伴随当且仅当它保持极限. 这相当于 $F$ 保持所有右锥极限, 由弱可缩极限的性质等价于 $F$ 保持弱可缩极限.
例
自由幺半群
自由幺半群函子 (即列表函子) $\mathrm{List}\colon \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$,
$$
X\mapsto\bigsqcup_n X^n
$$
是局部右伴随.
映射 $f\colon Y \to \operatorname{List}(X)$ 是一般映射当且仅当所有 $f(y)$ 恰包含 $X$ 的每个元素一次.
对任何映射 $f\colon Y \to \operatorname{List}(X)$, 考虑 $Z = \bigsqcup_{y\in Y} f(y)$, 那么 $f$ 分解为
$$
Y \to \operatorname{List}(Z)\to \operatorname{List}(X),
$$
且第一个映射 $Y\to \operatorname{List}(Z)$ 为一般映射.
多项式函子
自由幺半群函子是一个多项式函子. 任何多项式函子都是局部右伴随.
设 $\mathcal C$ 为局部积闭范畴. 考虑
$$
X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y
$$
对应的多项式函子 $f=t_!p_*s^*\colon \mathcal C_{/X}\to\mathcal C_{/Y}$, 则有 $f_{/X} = p_*s^*\colon \mathcal C_{/X} \to\mathcal C_{/B}$ 的左伴随为 $s_! p^*\colon \mathcal C_{/B} \to \mathcal C_{/X}$.
图的自由范畴单子
参考 Weber 例 2.5. 记 $\mathsf{Graph}$ 为有向图的范畴, 其终对象 $1$ 是一个顶点和一条边构成的图. 考虑其上的自由范畴单子 $T$. 函子在终对象上的值 $T1 = \mathbf{B}\mathbb{N}$ 是游走的自同态. 于是有函子
$$
T_{/1}\colon \mathsf{Graph} \to \mathsf{Graph}_{/\mathbf{B}\mathbb{N}}.
$$
范畴 $\mathsf{Graph}_{/\mathbf{B}\mathbb{N}}$ 可理解为 “每条边带有一个自然数标记” 的图的范畴.
函子 $T_{/1}$ 的左伴随 $L$ 可描述为: 对一个带自然数标记的图, 将每个标记为 $n$ 的边替换为 $n$ 条串联的边.