观念
结合代数, 又叫 $\mathbb E_1$-代数, $A_\infty$-代数, 是若干元素可以有序地结合起来的结构. 给定 $n$ 个元素的有序组 $(x_1,\cdots,x_n)$, 仅有唯一的方式将它们结合起来 $x_1\cdots x_n$, 即结合的最终结果 “与加括号的方式无关”.
在结合代数的结构之上, 可以考虑 “结合代数中的结合代数” ($\mathbb E_2$-代数, 也即有两种相容结合运算的代数), “结合代数中的结合代数中的结合代数” ($\mathbb E_3$-代数), …, 以至于无穷. 在无穷处, $\mathbb E_\infty$-代数就是交换代数.
定义
使用算畴
结合代数可定义为结合算畴上的代数. 参见算畴.
使用语法范畴
不同种类的范畴中的结合代数可用各自的语法范畴定义.
积幺半范畴
在积幺半范畴的特殊情形, 结合代数是幺半群的 Lawvere 理论的模型, 即其语法范畴为有限生成自由幺半群的范畴的对偶, 具体地:
- 其对象为有限集;
- 态射 $\{x_1,\cdots,x_n\}\to \{y_1,\cdots,y_m\}$ 为形如 $y_i = f_i(x_1,\cdots,x_n)$ 的变量代换, 每个 $f_i$ 为幺半群的理论中的公式, 即 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 上的一个列表; 等价地, 一个态射是 $\{y_1,\cdots,y_m\}$ 到 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 生成的自由幺半群的一个集合映射.
那么积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的结合代数即是上述范畴到 $\mathcal C$ 的保持有限积的函子.
在文献中 (例如 Gaitsgory–Rozenblyum), 对于积幺半范畴中的结合代数, 还有另一种 “语法范畴” (虽然它本身不是积幺半范畴), 即 $\Delta^{\mathrm{op}}$. 积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的结合代数也可定义为函子
$$
A\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C,
$$
满足 $A([n])\simeq A([1])^{\otimes n}$ ($n\geq 0$).
这里 $[n]\in\Delta^{\mathrm{op}}$ 的直观为连续的 $n$ 条线段 (详见单纯形范畴), 而乘法 $A\times A\to A$ 来自 $\Delta$ 中的态射 $[1] \to [2]$, $0\mapsto 0$, $1\mapsto 2$.
一般幺半范畴
在一般的幺半范畴中, 结合代数可由如下语法范畴定义:
- 其对象为有限全序集 (包括空集);
- 其态射为偏序集映射;
- 幺半结构为全序集的 “拼接”:
$$
\{a_1 < \cdots < a_n\} \otimes \{b_1 < \cdots < b_m\} = \{a_1 < \cdots < a_n < b_1 < \cdots < b_m\}.
$$
注意这个幺半结构不是对称幺半结构, 不存在自然同构 $A\otimes B\simeq B\otimes A$.
该幺半范畴的底层范畴就是增广单纯形范畴 $\Delta_+$, 其中的单点集是游走的结合代数. 换言之, 幺半范畴 $\mathcal C$ 中的结合代数 $A$ 等同于幺半函子
$$
\Delta_+ \to\mathcal C,
$$
将 $[0]\in\Delta_+$ 映射到 $A$.
对称幺半范畴
在一般的对称幺半范畴中, 结合代数可由如下语法范畴定义:
- 其对象为有限集;
- 态射 $X\to Y$ 是一个集合映射 $f\colon X\to Y$ 配备每个点的原像 $f^{-1}(y)$ 的一个全序;
- 对称幺半结构为无交并.
这个范畴是一个 PROP.
性质
具体表现
链复形范畴中的结合代数有很具体的表现. 见 $A_\infty$-代数.
相反结合代数
每个结合代数 $A$ 都有一个相反结合代数 $A^{\mathrm{op}}$. (在对称幺半范畴中) 它也是 $A$ 在 Morita 范畴中的对偶.
例
自同态
$\mathcal V$-充实范畴中, 对象 $X$ 的自同态集 $\operatorname{End}(X)$ 是 $\mathcal V$ 中的结合代数. 它对应函子 $A\colon \Delta_+ \to \mathcal V$, $A([n])$ 是 $[n]$ 到 $\mathcal V$ 的将每个对象都映射到 $X$ 的 $\mathcal V$-充实函子的全体.
自由结合代数
生象 $A$ 生成的自由结合代数为列表的生象
$$
\operatorname{List}A := \bigsqcup_{n\geq 0} A^n.
$$
注意另一个概念, $A$ 生成的自由 $\mathbb E_1$-群是 $\Omega\Sigma_+A$, 是 $\operatorname{List} A$ 的群化.