观念
游走的伴随是一个具有两个对象的 $2$-范畴 $\mathsf{Adj}$, 任何 $2$-范畴 $\mathcal C$ (例如 $\mathsf{Cat}$) 中的伴随等同于函子
$$
\mathsf{Adj} \to \mathcal C.
$$
因此这是一种游走 (“自由”) 的结构.
定义
$2$-范畴 $\mathsf{Adj}$ 有如下对象与态射:
- 两个对象 $+,-$;
- 两个态射 $l\colon +\to -$, $r\colon -\to +$;
- 两个 $2$-态射 $\eta\colon \mathrm{id}_+ \to rl$; $\epsilon\colon lr\to\mathrm{id}_-$, 满足伴随的条件 (注意 $\mathsf{Adj}$ 仅为 $2$-范畴, 故这些条件是性质而非结构), 即
$$
l \overset{\eta}{\to} lrl \overset{\epsilon}{\to} l = \mathrm{id}_l,\,
r \overset{\eta}{\to} rlr \overset{\epsilon}{\to} r = \mathrm{id}_r;
$$
- 以及上述资料按照条件 “自由生成” 的所有态射与 $2$-态射.
上述资料生成的结果为
- $\operatorname{Hom}(+,+) = \{\mathrm{id}_+,rl,rlrl,\cdots\} = \Delta_+$ 为增广单纯形范畴, 其中 $\mathrm{id}_+$ 对应 $[-1]\in\Delta_+$, $rl$ 对应 $[0]\in\Delta_+$, 唯一的态射 $\mathrm{id}_+\to rl$ 对应 $[-1]\to [0]$, 也即伴随的单位;
- $\operatorname{Hom}(+,-) = \{l,lrl,lrlrl,\cdots\}=\Delta_\bot\simeq\mathsf{LMod}([0])$ (保持最小值的映射构成的范畴, 等同于 $[0]$ 的左模范畴, 详见单纯形范畴);
- $\operatorname{Hom}(-,+) = \{r,rlr,rlrlr,\cdots\} = \Delta_\top\simeq\mathsf{RMod}([0])$;
- $\operatorname{Hom}(-,-) = \{\mathrm{id}_d,lr,lrlr,\cdots\} = \Delta_+^{\mathrm{op}}\simeq\mathsf{BiMod}([0])$.
故 $\mathsf{Adj}$ 为 $\Delta_+$ 的 Morita 范畴在 $[-1],[0]$ 两个对象上的全子范畴.
性质
与游走的单子的关系
注意到上述资料中 $\operatorname{Hom}(+,+) = \{\mathrm{id}_+,rl,rlrl,\cdots\} = \Delta_+$ 为增广单纯形范畴, 其中 $rl$ 为游走的结合代数, 换言之, 对象 $+$ 处的全子范畴正是游走的单子. 故任意伴随中 $rl$ 给出一个单子. 见伴随给出单子.