Descartes 自然变换 [Descartes自然变换]

定义

Descartes 自然变换是指每个自然性方块都是拉回的自然变换.

例

多项式函子

多项式函子之间的 Descartes 自然变换有如下形状: 考虑交换图 $$ \begin{CD} I @<{s}<< E @>{p}>> B @>{t}>> J \\ @| @VfVV @VVgV @| \\ I @<<{s'}< E' @>>{p'}> B' @>>{t'}> J, \end{CD} $$ 其中方块 $$ \begin{CD} E @>{p}>> B \\ @VfVV @VVgV \\ E' @>>{p'}> B' \end{CD} $$ 是拉回, 则有自然变换 $$ \begin{aligned} t_!p_*s^* &= t'_!g_!p_*f^*(s')^*\\ &= t'_! g_! g^* p'_* (s')^* \,(\star)\\ &\to t'_!p'_*(s')^*, \end{aligned} $$ 其中 $(\star)$ 是 Beck–Chevalley 基变换.

直观上, $p\colon E\to B$ 的纤维是多项式的 “次数”, 而 $B$ 中有多项式的每个 “系数”. 多项式函子之间的 Descartes 自然变换就是变系数而不变次数的变换.

例. 对任意态射 $f\colon A\to B$, 乘法函子之间的自然变换 $A\times X \to B\times X$ 是 Descartes 自然变换. 这来自如下交换图. $$ \begin{CD} 1 @<<< A @= A @>>> 1 \\ @| @VfVV @VVfV @| \\ 1 @<<< B @= B @>>> 1 \end{CD} $$