多项式单子 [多项式单子]

定义

固定一个基范畴 $\mathcal C$, 通常为 $\mathsf{Set}$ 或 $\mathsf{Ani}$. 记 $\mathsf{Poly}(\mathcal C)$ 为切片范畴 $\mathcal C_{/X}$ 及其之间的多项式函子以及 Descartes 自然变换构成的 $2$-范畴.

定义 $\mathcal C_{/X}$ 上的多项式单子 (polynomial monad) 是 $2$-范畴 $\mathsf{Poly}(\mathcal C)$ 中 $\mathcal C_{/X}$ 上的单子, 也即游走的单子到 $\mathsf{Poly}$ 的函子 $$ \mathsf{Mnd} \to \mathsf{Poly},\ *\mapsto\mathcal C_{/X}. $$

例

自由幺半群

自由幺半群单子 (即列表函子) 是多项式单子.