意象 [意象]

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观念

作为集合范畴的推广

意象 (topos) 是一种具有类似集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质的范畴; 这些性质使得意象的内语言能够支持集合的许多操作, 如构造两个集合 $X,Y$ 的无交并 $X + Y$, 乘积 $X\times Y$, 映射的集合 $Y^X$ 等等.

不过需要注意的是, 意象的内语言所支持的逻辑是直觉主义逻辑, 而不一定是经典逻辑 (见 Boole 意象), 其中排中律和选择公理可能不成立. 例如拓扑空间上的层意象一般不是 Boole 意象, 原因来自于开集的补集不一定是开集.

没有人能将我们驱逐出 Contor 为我们创造的 (集合论的) 天堂. —— David Hilbert (1926)

而意象理论告诉我们, 在集合论的天堂之外还有无穷无尽的世界, 而集合的世界只是这片无穷无尽的森林中的第一棵树.

类似地, $(\infty,1)$-意象是类似于生象的范畴 $\mathsf{Ani}$ 的范畴, 其内语言提供了处理同伦型的直觉主义语言, 即同伦类型论.

我们甚至可以期待 $(\infty,2)$-意象提供了 “范畴的范畴” $\mathsf{Cat}$ 的推广, 以及相应的语言.

作为几何对象

L’objet de la Topologie est l’étude des topos (et non des seuls espaces topologiques).

拓扑学的目标是研究意象, 而不仅是拓扑空间.

—— Grothendieck, SGA 4

关于译名 “意象”

关于译名“意象“

定义

Grothendieck 意象

SGA 4 最早引入了 “意象 (topos)” 这一概念, 后来为了区分另一个稍有不同的概念, 称之为 Grothendieck 意象.

定义. Grothendieck 意象是指某个景上的层的范畴.

这一定义体现了意象作为几何对象的观念. 通常几何对象上具有 “开集” 与 “覆盖” 的概念, 形成景的结构; 那么这个景上的层的范畴可以视为该几何对象在意象理论中的化身.

定义. Grothendieck 意象是某个预层范畴的正合局部化.

Giraud 公理

据 SGA 4 记载, Grothendieck 的学生 Giraud 惊人地给出了 Grothendieck 意象的纯范畴论刻画, 后来称为 Giraud 公理. 这一定义说明意象还具有一种独立于几何对象的观点.

定义. 称范畴 $\mathcal C$ 满足 Giraud 公理是说如下条件成立:

$\mathcal C$ 为可表现范畴;
$\mathcal C$ 中的拉回保持余极限;
$\mathcal C$ 中的和无交 (即 $X + Y$ 的子对象 $X$ 与 $Y$ 的交为始对象 $0$);
$\mathcal C$ 中的满射均为有效满射.

初等意象

逻辑学家从内语言的视角出发考虑了初等意象的概念. Grothendieck 意象都是初等意象, 但反之不然.

定义. 初等意象 (elementary topos) 是满足如下条件的范畴 $\mathcal C$:

$\mathcal C$ 中存在有限极限;
$\mathcal C$ 是积闭范畴;
$\mathcal C$ 中存在子对象分类子 $\Omega$.

初等意象的概念与 Grothendieck 意象最显著的区别在于去掉了可表现范畴的条件. 例如有限集的范畴 $\mathsf{Fin}$ 是初等意象, 而不是可表现范畴 (从而不可能是 Grothendieck 意象).

不过, 一般人们还是讨论可表现范畴与 Grothendieck 意象. 所以在后文 (以及单纯百科的其它页面) 中我们用 “意象” 来代指 Grothendieck 意象.

下降观点

参考 Cnossen.

意象的范畴论性质还可以更加简洁地概括为余极限上的俯意象的性质, 称为沿余极限的下降. 具体的定义如下.

定义. 意象是满足如下条件的可表现范畴 $\mathcal C$: 俯意象函子 $$ \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat},\, X\mapsto\mathcal C_{/X} $$ 保持极限. 换言之, 对于 $\mathcal C$ 中的余极限 $X=\operatorname{colim}_i X_i$, 有 $$ \mathcal C_{/X} \simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}. $$

注 1. 上述定义中俯范畴的极限有如下计算方式: 对于 $X_\bullet \colon I\to\mathcal{C}$, $$ \operatorname{lim}_i \mathcal{C}_{/X_i} \simeq \mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}(I,\mathcal{C})_{/X_\bullet}, $$ 其中 $\mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}$ 是函子与 “拉回变换” (自然性所需的方块均为拉回方块的自然变换) 构成的范畴.

注 2. 可以具体写下两个方向的函子; 在具有拉回和余极限的范畴中这两个函子构成一对伴随; 其中

左伴随部分为 $\operatorname{colim} \colon \mathsf{Fun}^{\mathrm{Cart}}(I,\mathcal{C})_{/X_\bullet}\simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}\to \mathcal{C}_{/X}$, $$ (Y_\bullet\to X_\bullet)\mapsto (\operatorname{colim}_i Y_i \to \operatorname{colim}_i X_i). $$
右伴随部分 $\mathcal{C}_{/X} \to \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}$ 是沿着每个 $X_i\to X$ 基变换.

我们观察伴随的单位和余单位.

单位: 对拉回变换 $Y_\bullet \to X_\bullet$, 对每个 $j\in I$, 单位给出同构 $$ Y_j \to (\operatorname{colim}_i Y_i)\times_{\operatorname{colim}_i X_i} X_j. $$
余单位: 对 $Y\to X$, 记 $Y_i$ 为其沿 $X_i\to X$ 的拉回, 余单位给出同构 $$ \operatorname{colim}_i(Y_i) \simeq Y. $$ 换一种观点看待这个同构, 即沿 $Y\to X$ 的拉回保持余极限.

例.

$\mathcal C_{/0} \simeq *$;
$\mathcal C_{/(X+Y)} \simeq \mathcal C_{/X} \times \mathcal C_{/Y}$. 这个性质又叫可扩展性.
($\infty$-范畴语境下) $\mathcal{C}_{/\mathbf{B}G}\simeq\operatorname{lim}_{[n]\in\Delta}\mathcal{C}_{/G^n}$. 见群作用.
($\infty$-范畴语境下) 对于生象 $A$, $\mathcal{C}_{/\operatorname{colim}_A *} \simeq \operatorname{lim}_A \mathcal{C} \simeq \mathsf{Fun}(A,\mathcal{C})$.

性质

指数对象与幂对象

意象中的两个对象 $X,Y$ 之间可构造指数对象 $Y^X$ 与赋值映射 $\operatorname{ev}\colon Y^X\times X \to Y$, 满足伴随 $$ \operatorname{Hom}(Z,Y^X) \simeq \operatorname{Hom}(Z\times X,Y). $$

对象 $X$ 的幂对象 $PX = \Omega^X$ 是幂集的类比, 满足 $\operatorname{Sub}(X\times Y)\simeq \operatorname{Hom}(Y,PX)$, 换言之, $PX$ 是 $\operatorname{Sub}(X\times -)$ 的表示对象.

例

层意象

层意象 $\operatorname{Sh}(X)$, “由 $X$ 连续参数化的一族集合”;

预层意象

预层意象 $\mathsf {Set}^{C^{\mathrm{op}}}$, “由小范畴 $C$ 参数化的集合”.

预层意象又有如下重要例子:

箭图的范畴;
单纯集的范畴;
$\mathsf {Set}^{\mathbb N}$, “随时间变化的集合”;
…

位象

位象, 又称 $0$-意象.

初等意象

有限集范畴 $\mathsf{Fin}$
$\mathsf {FinOrd}$, 有限基数的范畴, 其中指数是通常的指数;

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Boole 意象 [Boole意象]

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定义

若意象 $\mathcal E$ 中的内蕴 Heyting 代数 $\Omega$ (即子对象分类子) 实为内蕴 Boole 代数, 则称其为 Boole 意象 (Boolean topos).

命题. 对于意象 $\mathcal E$, 下列条件等价.

$\mathcal E$ 为 Bool 意象;
否定算子 $\neg\colon \Omega\to\Omega$ 满足 $\neg\neg = \operatorname{id}$;
对任意对象 $E\in\mathcal E$, Heyting 代数 $\operatorname{Sub}(E)$ 实为 Boole 代数;
对任意子对象 $S\hookrightarrow E$, 有 $\neg S \vee S = E$;
态射 $\text{true}\colon 1\to\Omega$ 和 $\text{false}=\neg\circ \text{true}$ 给出同构 $1+1\simeq \Omega$.

Eilenberg–MacLane 对象 [Eilenberg–MacLane空间]

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定义

对正整数 $n$ 与群 $G$ (当 $n>1$ 时要求为 Abel 群), Eilenberg–MacLane 空间 $K(G,n)$ 是同伦等价意义下唯一以 $G$ 为 $n$ 阶同伦群的 $n$-截断 $(n-1)$-连通空间.

定义. 在 $\infty$-意象 $\mathcal C$ 中, 定义 $n$ 阶 Eilenberg–MacLane 对象是指带点 $n$-截断 $(n-1)$-连通对象. 记 $n$ 阶 Eilenberg–MacLane 对象的范畴为 $\mathsf{EM}_n(\mathcal C) = \mathcal C_{*/}^{\geq n,\leq n}$.

Eilenberg–MacLane 对象 $(X,*)$ 被它的 $n$ 阶同伦群 $\pi_n(X,*)$ 唯一决定. 证明见后文.

注. Eilenberg–MacLane 对象的定义中带点条件很重要. 不带点的 $n$-截断 $(n-1)$-连通对象称为 $n$-束 (gerbe).

性质

命题 (HTT 7.2.2.12). 设 $\mathcal C$ 为 $\infty$-意象, 考虑 $n$ 阶同伦群函子 $$ \pi_n = \tau_{\leq 0}\circ \Omega^n \colon \mathcal C_{*/} \to (\mathcal C_{*/})_{\leq 0}. $$ 那么

对 $n=0$, $\pi_0$ 给出了等价 $\mathsf{EM}_0(\mathcal C)\simeq \mathcal C_{*/}^{\leq 0}$;
对 $n=1$, $\pi_1$ 给出了等价 $\mathsf{EM}_1(\mathcal C)\simeq \mathsf{Grp}(\mathcal C_{\leq 0})$;
对 $n\geq 2$, $\pi_n$ 给出了等价 $\mathsf{EM}_n(\mathcal C)\simeq \mathsf{Ab}(\mathcal C_{\leq 0})$.

换言之, 在等价 $$ \Omega^n \colon \mathcal C_{*/}^{\geq n} \simeq \mathsf{Grp}_{\mathbb E_n}(\mathcal C) $$ 中, 两边的子范畴 $\mathsf{EM}_n(\mathcal C)$ 与 $\mathsf{Grp}_{\mathbb E_n}(\mathcal C_{\leq 0})$ 相对应.

记上述等价的逆为 $K(-,n)$.

推论. Eilenberg–MacLane 对象 $K(A,n)$ 是 $A$ 的 $n$ 阶逆环路空间 $\mathbf{B}^n A$.

例

一维 CW 复形

一维 CW 复形是 $K(G,1)$, 其中 $G$ 为其基本群.

射影空间

$\mathbb{R}P^\infty$ 是 $K(\mathbb{Z}_2,1)$.
$\mathbb{C}P^\infty$ 是 $K(\mathbb{Z},2)$.

Galois 主丛 [Galois主丛]

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定义

固定意象 $\mathcal X$ 上的一个群 $G$. 关于 $G$ 的 Galois 主丛是满足如下等价条件的 $G$-主丛 $P$:

群同态 $G\to \operatorname{Aut}(P)$ 为同构.
$G$-作用函子 $\mathbf{B}G \to \mathcal X$ 为全忠实函子.

例

Galois 覆叠

Gestalt [Gestalt]

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格式塔 (Gestalt, 复数 Gestalten) 是 Scholze–Stefanich 提出的一种几何概念, 旨在恢复完全的代数–几何对偶: 通过考虑几何对象上的 “线性 $(\infty,n)$-范畴” 取值的层, 即高阶拟凝聚层, 使得任何几何对象都具有代数的对应物, 而不再需要对 “仿射” 几何对象进行粘合操作.

The language of Gestalten translates difficult algebra of higher categories into more intuitively manageable geometry, in the same way that the language of schemes translates difficult commutative algebra into more intuitively manageable geometry.

— Peter Scholze, 2026 年 3 月 Bourbaki 演讲

Gestalten

观念

代数几何中的几乎所有几何对象都来自于仿射概形之类的基本对象的 “粘合”. 做这件事的一般框架是景和意象的理论. 给仿射概形的范畴配备适当的覆盖结构, 然后取其上的层, 这就相当于取仿射概形的 (形式上的) 余极限, 得到一个包含许多几何对象的意象. 而后模空间的研究让人们自然地考虑群胚取值的层, 又称叠. 群胚取值的层是带有同伦信息的几何对象, 构成一个 ∞-意象.
在代数–几何对偶中, 通常不是所有几何对象都有完美的代数侧对偶. 例如在概形中, 只有仿射概形能被其上的整体函数环完全决定. 不仿射的概形如 $\mathbb P^1_k$ ($k$ 为域), 其上没有足够多的整体函数, 以至于仅看整体函数我们无法将它和一个点区分开.
在有非平凡高阶同伦信息的几何对象 (例如群概形 $G$ 的分类空间 $* / G$) 上, 整体函数更加不可能提供全部的信息. 但 Tannaka 指出此时拟凝聚层的范畴 $\mathsf{QCoh}(X)$, 直观上即 “线性空间值的整体函数”, 连带着其上的对称幺半结构, 能够忠实地记录这个几何对象. 这里对称幺半范畴作为一种代数对象, 可视为环的推广.
事实上, $\mathsf{QCoh}$ 能忠实记录的几何对象就已经包括了所有的 (qcqs) 概形. 不仅如此, 一些叠 (对角线仿射的 qcqs Artin 叠) 也能被其拟凝聚层范畴忠实记录, 人们称之为 $1$-仿射 ($1$-affine) 叠.
将 Abel 范畴升级为导出范畴, 我们考虑的代数对象变成了可表现对称幺半稳定 ∞-范畴. 通过取导出范畴 $D \colon \mathsf{CAlg}(\mathsf{Sp})\hookrightarrow\mathsf{CAlg}(\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}})$, 环 (包括环谱) 忠实地嵌入这种代数对象.
但仍旧有几何对象无法被拟凝聚层的 (导出) 范畴记录. 例如 $\mathbf{B}^2\mathbb G_m$ (与 Brauer 群有关) 上就没有足够的拟凝聚层, 以至于仅看拟凝聚层无法将它和一个点区分开. 而 $\mathbf{B}^2\mathbb G_m$ 上能够记录其全部几何信息的是一个 “范畴值” 的拟凝聚层, 事实上是万有的 “范畴值线丛” (正如 $\mathbf{B}\mathbb G_m$ 上有万有线丛一样).
为了记录所有几何对象, 我们需要不断地走向范畴层级更高的代数对象, 即高阶拟凝聚层. 这就是 Gestalt 的起源.

定义

格式塔的定义是基于一个称为 Stefanich 环的代数对象.

一个 Stefanich 环 $A$ 是如下资料:

一个越来越高阶的可表现范畴的交换代数的塔 $$ (A_0,A_1,A_2,\cdots),A_n\in \mathsf{CAlg}(n\mathsf{Pr}), $$
每个部分 $A_n$ 等价于高一阶的部分 $A_{n+1}$ 的 “环路空间”: $$ A_n \simeq \operatorname{End}_{A_{n+1}}(1) \in \mathsf{CAlg}(n\mathsf{Pr}). $$

换言之, Stefanich 环构成的 $(\infty,1)$-范畴为 $$ \mathsf{StRing} = \operatorname{lim}_{\operatorname{End}_{-}(1)} \mathsf{CAlg}(n\mathsf{Pr}). $$ (忽略这些范畴的高阶不可逆态射, 仅考虑其 $(\infty ,1)$-范畴结构.)

注. 由定义中的第二个条件, Stefanich 环 $A=(A_0,A_1,A_2,\cdots)$ 的每个部分 $A_n$ 的交换代数结构实际上被高一阶的部分 $A_{n+1}$ 决定了. 进一步, 我们可以在定义中仅要求 $A_n\in n\mathsf{Pr}$, 且有等价 $A_n \simeq \operatorname{End}_{A_{n+1}}(*)$ ($A_n$ 的基点为恒等). 这样 (由 Eckmann–Hilton论证) 交换代数的结构就来自于一连串等价 $$ A_n = \operatorname{End}_{A_{n+1}}(*) = \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{A_{n+2}}(*)}(*) = \cdots. $$

定义. 格式塔为 Stefanich 环的对偶: $\mathsf{Gest} = \mathsf{StRing}^{\mathrm{op}}$.

相对情形

给定 Stefanich 环 $A$, 记对应的格式塔为 $X=\operatorname{Gest}(A)$, 可以证明相对于 $X$ 的格式塔的范畴为 $$ \mathsf{Gest}_{/X}=(\mathsf{StRing}_{A/})^{\mathrm{op}}\simeq\operatorname{lim}_{\operatorname{End}_{-}(1)}\mathsf{CAlg}(A_n). $$

性质

定理 (Scholze–Stefanich). (在实用的意义上,) $\mathsf{Gest}$ 是一个 $\infty$-意象.

例

普通的交换环 $A$ 给出一个 Stefanich 环 $$ (A,\mathsf{Mod}(A),1\mathsf{Pr}_A,2\mathsf{Pr}_A,\cdots). $$

对于仿射概形范畴上适当的 Grothendieck 拓扑, 该构造即延拓至适当的叠.

空集

空集对应的格式塔为 $\operatorname{Gest}(*,*,*,\cdots)$.

单点

单点对应的格式塔为 $\operatorname{Gest}(*,\mathsf{Ani},1\mathsf{Pr},\cdots)$. 与任何几何对象的语境中一致, 单点是 $\mathsf{Gest}$ 的终对象.

映射空间

“Betti 局部系统的叠” $\mathrm{LocSys}_G$ 可表示为格式塔的映射空间 $$ \mathrm{LocSys}^{\text{Betti}}_G \simeq \operatorname{Map}(*/\pi_1, */G) = \operatorname{Hom}(\pi_1,G)/G. $$ 其中 $*/G$ 为逆环路空间, $G$-作用为共轭作用.

Giraud 公理 [Giraud公理]

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观念

据 SGA 4 记载, Grothendieck 的学生 Giraud 惊人地给出了 Grothendieck 意象的纯范畴论刻画, 后来称为 Giraud 公理. 这说明意象还具有一种独立于几何对象的观点.

陈述

称 $\infty$-范畴 $\mathcal C$ 满足 Giraud 公理是说如下条件成立:

$\mathcal C$ 为可表现范畴;
$\mathcal C$ 中的拉回保持余极限;
$\mathcal C$ 中的和无交 (即 $X + Y$ 的子对象 $X$ 与 $Y$ 的交为始对象 $0$);
$\mathcal C$ 中的群胚对象均有效, 即等价于商映射的 Čech 脉.

Grothendieck 拓扑 [Grothendieck拓扑]

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观念

Grothendieck 拓扑, 又名覆盖结构 (coverage), 是指定一个范畴上何时一族态射构成 “覆盖” 的方法. 如果说景是意象的 “生成元–关系” 表现, 那么覆盖的作用相当于其中的 “关系”.

定义

使用范畴上的筛

小范畴 $C$ 上的 Grothendieck 拓扑是对每个对象 $c\in C$ 指定一族筛, 称作覆盖筛 (covering sieve), 满足如下条件.

最大筛 $\{f: d \to c, d\in C\}$ 是覆盖筛;
(稳定性) 若 $S$ 是 $c$ 的覆盖筛, 则对任意 $h\colon d\to c$, $h^*(S)$ 是 $d$ 的覆盖筛;
(传递性) 若 $S$ 是 $c$ 的覆盖筛, $R$ 是 $c$ 上另一个筛, 使得对任意 $h\colon d\to c$, $h^*(R)$ 都是覆盖筛, 则 $R$ 也是覆盖筛.

特别地, 包含一个覆盖筛的筛也是覆盖筛.

使用意象中的态射族

参考 ABFJ-II.

定义. 意象 $\mathcal{C}$ 中的 Grothendieck 拓扑是满足如下条件的态射族 $\tau$:

$\tau$ 关于基变换封闭;
$\tau$ 可被沿满射的基变换探测; 具体地, 对态射 $f$ 与满射 $g$, 若 $f$ 沿 $g$ 的拉回属于 $\tau$, 则 $f$ 属于 $\tau$;
$\tau$ 关于复合封闭;
若 $fg$ 属于 $\tau$, 则 $f$ 属于 $\tau$.

性质

次典范拓扑

局部积闭范畴 [LCCC]

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观念

局部积闭范畴是依值类型论的语义.

定义

局部积闭范畴 (locally Cartesian closed category, LCCC) $\mathcal C$ 是满足所有俯范畴 $\mathcal C_{/X}$ 均为积闭范畴的范畴. 通常我们要求 $\mathcal C$ 有终对象 $1$, 从而 $\mathcal C \simeq\mathcal C_{/1}$ 本身也是积闭范畴.

性质

依值积

对于局部积闭范畴 $\mathcal C$ 中的态射 $f\colon X\to Y$, 俯范畴的拉回 $f^* \colon \mathcal C_{/Y} \to \mathcal C_{X}$ 同时有左伴随 $\Sigma_f$ 与右伴随 $\Pi_f$, 它们分别是依值和与依值积的语义.

例

意象是局部积闭范畴.

Morita 等价 [Morita等价(观念)]

观念
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本页介绍广义的 Morita 等价观念. 关于环的 Morita 等价, 见 Morita 等价.

语法对象的 Morita 等价是它们的语义之间的等价.

例

环之间的 Morita 等价是它们的模范畴之间的等价. (这是 Morita 等价的原义.)
范畴之间的 Morita 等价是它们的预层范畴之间的等价.
景之间的 Morita 等价是它们表现的意象之间的等价.

Nearby Cycles [nearby]

Note
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This note mainly follows Prof. Zheng’s MCM talk.

The Milnor fibration

Let $f\colon (\mathbb{C}^{n+1},0) \to (\mathbb{C},0)$ be a germ of holomorphic function having an isolated critical point at $0$.

Theorem (Milnor 1967). For $0<\eta \ll \varepsilon \ll 1$, $$ f\colon B_\varepsilon\cap f^{-1}(D_\eta) \to D_\eta $$ induces a fibration over $D_\eta \setminus \{0\}$, where $B_\varepsilon$ and $D_\eta$ are respectively the ball and the disk centered at $0$.

This is called the milnor fibration (see there for more motivation).

The fiber $M_t = f^{-1}(t) \cap B_\varepsilon$ is homotopy equivalent to a bouquet of $\mu$ $S^n$’s, where $\mu$ is the Milnor number $$ \mu = \dim_\mathbb{C} \mathbb{C}\{z_0,\cdots,z_n\}/(\partial_1 f,\cdots,\partial_n f). $$

Examples.

$f(x,y) = x^3 - y^2$. The Milnor fiber $M_t$ is a punctured torus (its boundary being a trefoil knot), homotopy equivalent to $S^1 \vee S^1$. The Milnor number is $\dim_\mathbb{C} \{x,y\}/(3x^2,2y) = 2$.

Let $\Phi^i$ denote the reduced cohomology of the fiber $M_t$, acted on by a monodromy operator $T\in\operatorname{Aut}(\Phi^i)$ as $t$ turns around $0$.

Conjecture (Milnor). The eigenvalues of $T$ are roots of unity.

Nearby cycles over one-dimensional bases

Let $S$ be the spectrum of a (strictly local) Henselian DVR. It will be the analog of a disk. More precisely, there is a dictionary between complex analytic and étale settings:

Complex analytic	Etale
disk $D_\eta$	base $S$
center $0\in D_\eta$	closed point $s\in S$
punctured disk $D_\eta\setminus\{0\}$	generic point $\eta\in S$
parameter $t\in D\setminus\{0\}$	separable closure $\bar\eta$
fundamental group $\pi_1(D\setminus\{0\},t)$	inertia group $\operatorname{Gal}(\bar\eta / \eta)$
local systems on $D_\eta\setminus\{0\}$	sheaves on $\eta_{\text{\'et}}$

The complex analytic setting

In the complex analytic setting, following Dimca, we have a analytic function $f\colon X\to\mathbb{C}$. Denote $X_t = f^{-1}(t)$. Consider the pullback diagram

where $T = f^{-1}(D_\varepsilon)$ is a tube near $X_0$, and $f$ now denotes the Milnor fibration. The sheaf of nearby cycles of $F\in D^b(X)$ is defined by $$ \psi_f F := i^* \, R(j\hat\pi)_* \, (j\hat\pi)^* F \in D^b(X_0). $$

We remark that $E$ can be regarded as the universal/canonical fiber of the Milnor fibration, and the map $j\hat\pi$ is a canonical model (i.e. independent of the choice of a specific fiber) for the inclusion of a fiber $X_t$ into the tube $T$.

There is a monodromy “deck transformation” $h\colon E\to E$ coming from the action of the generator of $\mathbb{Z} = \pi_1(D_\varepsilon^*)$.

The following proposition explains the name of nearby cycles.

Proposition. For $x\in X_0$, the cohomology of the sheaf of nearby cycles $$ \mathcal H^k(\psi_f F)_x \simeq H^k(F_x,F) $$ recovers the cohomology of the local Milnor fiber $F_x = B_\epsilon (x) \cap X_t$ ($0<|t|\ll \varepsilon$), the monodromy morphisms matching as well.

Example. Let $F=\mathbb{C}_X$; then $\dim H^n(F_x,F)=\mu$ is the Milnor number.

Consider the unit of the adjunction $$ F \to R(j\hat\pi)_* \, (j\hat\pi)^* F $$ giving the comparison morphism $$ i^* F \to \psi_f F. $$ Define the sheaf of vanishing cycles $\varphi_f F \in D^b(X_0)$ to be the third term in the fiber / cofiber sequence $$ i^*F \to \psi_f F \to \varphi_f F $$ with an induced monodromy operator.

The étale setting

In the étale setting, we consider a morphism of schemes $X\to S$ and the base-change diagram

Let $\Lambda = \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ for $m$ invertible on $S$. We work with sheaves of $\Lambda$-modules on étale topoi.

Following Zheng, for $K\in D(X_\eta)$ define $$ R\Psi K = i^* \, Rj_* (K|_{X_{\bar\eta}}) \in D(X_s). $$

For $K\in D(X)$, define $\Phi K\in D(X_s)$ by the fiber / cofiber sequence $$ K|_{X_s} \to R\Psi (K|_{X_\eta}) \to \Phi K. $$

For a geometric point $x\to X_s$ we have a fiber / cofiber sequence $$ K_x \to (R\Psi K)_x \to (\Phi K)_x. $$

Nearby cycles over general bases

Oriented products of topoi

This part follows Zheng which cites ILO, Exposé XI by Illusie.

Given morphisms of topoi $f\colon X\to S$ and $g\colon Y\to S$, the oriented product (also called the lax pullback) is a topos $X\operatorname{\overset{\leftarrow}{\times}}_SY$ together with a diagram

universal for these data.

Definition. The vanishing topos of an $S$-scheme $X\to S$ is the oriented product $X \operatorname{\overset{\leftarrow}{\times}}_S S$, where we regard schemes as topoi by the construction of étale topoi.

A site presentation of the oriented product $X\operatorname{\overset{\leftarrow}{\times}}_SY$ is as follows.

The objects are commutative diagrams

The following are declared covering families:
- coverings of $U$,
- coverings of $V$,
- and the following kind of morphisms.

An important way to think of this topos is by considering its points. Before doing this, let me recall the geometric picture. The Henselization of a scheme at a (geometric) point $s\to S$, denoted $S_{(s)}$, is the limit of all étale neighborhoods of $s$, a small neighborhood whose étale topos is a local topos, meaning that the global section is isomorphic to just a stalk.

Theorem (SGA4 VIII.7.9). The category $\operatorname{Hom}_{\mathsf{Topos}}(\mathrm{pt},X_{\text{\'et}})$ of points of the étale topos of a scheme $X$ is equivalent to the category of geometric points of $X$ and specializations.

From the above theorem, the points of $X \operatorname{\overset{\leftarrow}{\times}}_S S$ can be regarded as triples $(x,t,\mathrm{sp})$, where

$x\to X$ is a geometric point of $X$,
$t\to S$ is a geometric point of $S$,
and $\mathrm{sp}\colon t \to S_{(f(x))}$ is a specialization, which is equivalent to an $S$-morphism $S_{(t)}\to S_{(f(x))}$ (SGA4 VIII.7.4).

Example (ILO XI.1.12). When $f\colon X\to Y$ is a closed subscheme, $X \operatorname{\overset{\leftarrow}{\times}}_Y Y$ plays the role of a tubular neighborhood of $X$ in $Y$.

The Milnor fiber at this point is defined as $$ X_{(x)} \times_{S_{(f(x))}} t, $$ and the Milnor tube is $$ X_{(x)} \times_{S_{f(x)}} S_{(t)}. $$

Definition. Given an $S$-scheme $f\colon X\to S$, the geometric morphism $\Psi_f \colon X\to X\operatorname{\overset{\leftarrow}{\times}}_S S$ is determined by the diagram

and the universal property of oriented products.

We then define $\Phi_f K$ by the following fiber / cofiber sequence in $D(X \operatorname{\overset{\leftarrow}{\times}}_S S)$: $$ p^*K \to R\Psi_f K \to \Phi_f K. $$

Example. For $S$ the spectrum of a strictly local DVR, $$ X \operatorname{\overset{\leftarrow}{\times}}_S S = X_\eta \cup (X_s \times\eta) \cup X_s. $$ Then the restriction of $R\Psi_f K$ on the three shreds are respectively $$ K|_{X_\eta}, \,R\Psi(K|_{X_\eta}),\,K|_{X_s}. $$

Proposition. The functor $R\Psi$ recovers cohomologies of the Milnor tube: $$ (R\Psi F)_{(x,t)} \simeq R\Gamma(X_{(x)}\times_{S_{f(x)}}S_{(t)},F). $$ Moreover, $R\Psi F$ is equipped with a Galois action.

红楼梦的一种 Morita 等价解读 [red-chamber-topos]

如下文字转自郑宇泽的朋友圈:

我在想《红楼梦》是否体现出了一种 Morita 等价。这里的依据来自红楼梦第一回的句子：

“施主，你把这有命无运，累及爹娘之物，抱在怀内作甚？”【甲戌眉批：八个字屈死多少英雄？屈死多少忠臣孝子？屈死多少仁人志士？屈死多少词客骚人？今又被作者将此一把眼泪洒与闺阁之中，见得裙钗尚遭逢此数，况天下之男子乎？看他所写开卷之第一个女子便用此二语以定终身，则知托言寓意之旨，谁谓独寄兴于一“情”字耶！武侯之三分，武穆之二帝，二贤之恨，及今不尽，况今之草芥乎？家国君父事有大小之殊，其理其运其数则略无差异。知运知数者则必谅而后叹也。

我想这里或许用 Olivia Caramello 的 Topos as Bridge 理论作类比是合适的。闺阁草木是一个景（Site）对象是女儿、诗社、草木；态射是眼泪、流言、葬花。这里的格罗滕迪克拓扑（Grothendieck topology）是家族伦理、嫡庶尊卑与随分从时的世俗规训。家国兴亡是另一个景（Site），对象是君臣、流寇、城池；态射是党争、构陷、杀戮。这里的格罗滕迪克拓扑是封建王权的倾轧、文人的气节与王朝的更迭。不过脂砚斋告诉我们 “家国君父事有大小之殊，其理其运其数则略无差异。知运知数者则必谅而后叹也。” 红楼梦里闺阁草木和家国兴亡这两个景上的层范畴构成的意象，或者说悲剧的结构都是英雄屈死。

闺阁女儿的英雄屈死贯穿了整本红楼梦。千红一哭万艳同悲，判词判曲，香菱的有命无运累及爹娘，王熙凤所谓脂粉堆里的英雄，葬花吟里，“天尽头，何处有香丘？未若锦囊收艳骨，一抷净土掩风流！质本洁来还洁去，强于污淖陷渠沟。”第七十八回老学士闲征姽婳词　痴公子杜撰芙蓉诔里林四娘这里，芙蓉女儿诔里宝玉把晴雯的屈死和贾谊，鲧并列。“高标见嫉，闺帏恨比长沙；直烈遭危，巾帼惨于羽野。”我甚至觉得晴雯之死有些像岳武穆屈死风波亭…而林四娘更是从闺阁女子转变为了姽婳将军。

在英雄屈死这一意象作为 bridge 的意义下，林妹妹在潇湘馆风刀霜剑下的挣扎，不仅是女子在闺阁中的自怜。当她的叹出质本洁来还洁去强于污淖陷渠沟的时候，借由英雄屈死这座桥梁，她的眼泪在 Morita 等价的意义下与历史长河中所有不肯降志辱身的忠臣烈士、所有在文明黄昏中抱残守缺的遗民，发出了同频的悲鸣。（如屈原的“宁赴湘流，葬于江鱼之腹中”）

闺阁中的风刀霜剑和家国中的英雄屈死都在强调一种系统性的，无处不在的，看不见的对英雄的抹杀。这一悲剧的结构贯穿了风月宝鉴的正反两面…或许贯穿了更多。当我们批判学校教育的时候，当李归农谈论起自己的回忆的时候，当我们谈论2e人群¹面临的困境的时候，我们何尝不是在谈论英雄屈死？更上一层，神州陆沉何尝不是一个伟大文明的英雄屈死？只是红楼梦又将一把眼泪洒于闺阁之中…

2e (twice-exceptional) 人群, 指兼具天赋或高潜能与某种学习、发展或神经发育障碍的双重特殊群体。

综合数学是抽象代数的范畴化 [synthetic]

2026-02-13

碎碎念. 这篇文章是关于数学的, 但实在太难说它本身是数学, 姑且贴上个 “非数学” 的标签, 以免受人诟病——即便身负数学严格性的重担的人, 当然也是有资格写 “非数学” 散文的. 我写这篇文章的主要目的是为综合数学 “正名”. 但它并未被 “打倒” (实则是并未被关注), 故谈不上真正的正名; 它只是在我个人的经历中, 在登上大雅之堂的途中受到了一点阻碍, 并且消磨了我对它的热情; 而随着阅历更加丰富, 我在对几篇笔记的偶然反刍之下, 对它产生了新的见解, 不得不记录下来, 好给过去与未来的自己一个交代. 但我写这篇文章的理由未必是读者读这篇文章的理由; 站在读者的立场, 这些事情就不必赘述了.

我打算不以综合数学的玄而又玄的讨论来开启这篇文章, 而是谈论些众所周知的事情. ——我们来谈论抽象代数的起源. 我们的目的不是复原历史的脉络, 而是从现代人的视角来反思抽象代数这个学科存在的理由, 然后对这个理由作一种合理的演绎 (如文章的题目所示, 这种演绎叫做范畴化), 来得到综合数学这门学科存在的理由, 这便是我想要记录的新的见解.

所谓代数最初即是在数的运算中, 用符号来代替数的做法. 它最初仅仅是一个从特殊到一般的过程——我们发现 $$ (3+5)^2 = 3^2 + 2\cdot 3\cdot 5 + 5^2, $$ $$ (4+6)^2 = 4^2 + 2\cdot 4\cdot 6 + 6^2, $$ 于是我们用符号代替一些具体的元素, 写成如下形状的公式, $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, $$ 来表达对任何数普遍成立的规律.

然而随着数学的成熟, 一个细微的观念转变发生了——它是如此细微, 以至于学习现代数学多年的读者们可能都忘了这是一场变革: 用来表示 “一般元素” 的符号 $a,b$, 可以不再表示任何一个具体的元素, 而是变成了完全抽象的, 但仍旧遵循同样规律的东西. 我们开始操作带有这些抽象符号 $a,b$ 的等式, 而不在乎符号之下的内涵, 或者说真正的内涵已经不在那里了: 我们从对具体元素的研究转向了对规律本身的研究.

于是, “代数” 的概念产生了. 一个代数是一些元素的集合, 元素之间可作加法, 乘法等运算, 满足交换律, 结合律, 分配律等性质. 如果仅研究这些运算的规律, 而不依赖于参与运算的元素具体的构造, 那么我们作出的论证就适用于任何一个代数. (若读者有微分几何的相关经验: 这就像是微分几何中若不使用坐标进行计算, 那么计算的结果就适用于任何坐标.) 放弃对一个锚定的具体事物的追求, 反而换来了特殊化到所有具体事物的机会.

学习现代数学多年的读者们, 可能难以体会 “代数” 这样的概念对一个仅学过实数的运算的人有多么陌生. 困难并不在于人的智力不能理解代数的定义, 而在于他们长久以来的信念的动摇: 原来我所认识的这个数的系统不是唯一存在的, 唯一合理的数的系统; 事实恰恰相反, 这种系统要多少就有多少. 例如在一个代数中, 我们可以随心所欲地加入一个满足指定的代数方程的元素. 回想历史上人们对虚数 $i$ 的引入曾产生多么大的抵触: 在实数中加入一个满足 $i^2 = -1$ 的元素, 而这个方程在实数中没有任何道理. 人们不是不能对这个方程进行运算, 而是不能接受自古以来熟悉的系统, 实数的代数 $\mathbb{R}$, 被外来者污染, 以至于失去它不可撼动的地位.

当然, 现在的人们早已不再对各式各样的代数产生恐慌. 复代数几何的基础 $\mathbb{C}$, $p$-进几何的基础 $\mathbb{Z}_p$, 已经是每一个数学家如数家珍的代数对象. 人们研究的代数中的运算也不断丰富, Lie 代数, Poisson 代数, Hopf 代数, … 这些结构在各自的领域中发光发热.

总结从研究实数的运算到研究抽象代数发生的观念转变:

一个代数是一个带有结构的集合, “实数” 不过是那个特殊的代数 $\mathbb{R}$ 的元素;
通过四则运算, 我们不仅是在研究实数的规律, 而且可以研究任何代数中的规律, 不依赖于这些集合中元素的具体形式.

现在提升一个范畴层级, 看看集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质. 它不是一个赤裸的范畴, 正如 $\mathbb{R}$ 不是一个赤裸的集合. 它的对象 (也就是集合) 之间有加法 $+$ 和乘法 $\times$ 的运算: $A+B$ 是两个集合的无交并, 其元素为 $l(a)$ 或 $r(b)$; $A\times B$ 是两个集合的积, 其元素为 $(a,b)$. 加法和乘法都有交换律, 结合律: $A+B\simeq B+A$, $(A+B)+C\simeq A+(B+C)$ 等等. 乘法对加法有分配律: $A\times (B+C) \simeq A\times B + A\times C$. 由此可得 $$ (A+B)^2 \simeq A^2 + 2 \times A\times B + B^2. $$ 很多时候我们对于集合的操作表面上是在操作集合的元素, 实际上是在操作范畴论结构. 例如, 对于映射 $f\colon A\to B$ 以及 $b\in B$, 取出 $A$ 中满足 $f(a) = b$ 的元素 $a$ 构成的集合 $S = \{a\in A\mid f(a) = b\}$, 实际上是在做范畴论中名为拉回的操作: $$ \begin{array} {ccc} S & \to & 1\\ \downarrow & & \downarrow\\ A & \underset{f}{\to} & B. \end{array} $$ 由此可见, 只要一个范畴中具有拉回, 那么 $\{a\in A\mid f(a) = b\}$ 这样的表达式就有意义, 而不需要对象 $A$ 真的是由一个一个的元素组成.

任意量词 $\forall$ 和存在量词 $\exists$ 也不是只在集合范畴中有意义. 它们分别是依值积, 依值和的特例, 而这两者分别是拉回操作 $\mathcal{C}_{/Y} \to \mathcal{C}_{/X}$ 的左右伴随. (更一般地, 每种类型论都有与之相应的范畴论结构. 见三位一体.)

经过如此多的铺垫, 如果我现在告诉读者, 我们自古以来熟悉的这个集合范畴, 并不是唯一存在的, 唯一合理的 “集合的范畴”, 我们使用的数学语言描述的不一定是集合, 而可能是任何适当结构的范畴的对象, 不知读者是否还会像只熟悉实数的古人见到虚数那样感到恐慌.

更关键的是, 就像在抽象代数中我们不需要关心集合中的元素的具体构造一样, 在综合数学中我们不需要关心范畴中的对象的具体构造, 这便是综合数学的核心观念; 这种观念无非是抽象代数的核心观念的一次范畴化.

将集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质抽象出来, 得到一种允许通常数学语言在其中获得语义的范畴的概念, 这就是意象.

在以意象理论为主要表现方式的综合数学中,

一个意象是一个带有结构的范畴, “集合” 不过是那个最基本的意象 $\mathsf{Set}$ 的对象;
通过一阶逻辑, 我们不仅是在研究集合的规律, 而且可以研究任何意象中的规律, 不依赖于这些范畴中对象的具体形式.

我们认为的 “带结构的集合”, 不过是最基本的意象 $\mathsf{Set}$ 中的结构; 而同样的结构发生在任何一个意象中.

换言之, 随着范畴层级的提升, 我们发现自己从那个 “思想开放” 的 “现代人”, 变成了 “抱残守缺” 的 “古人”.

综合数学的一个出现较早的分支是综合微分几何. 它的理论是这样建立的: 首先规定存在一个对象, 称为直线 $R$; 它具有 $0,1$, 加法和乘法, 构成一个代数. 定义一阶无穷小线段 $D$ 是 $R$ 中平方为零的元素的 “集合” $$ D = \{x\in R \mid x^2 = 0\}. $$ 一条重要的公理是: 对任意函数 $f\colon D\to R$, 存在唯一的 $a,b\in R$ 满足对任意 $d\in D$, 有 $f(d) = ad+b$. 对任意 “集合” $M$, 定义其切向量为映射 $v\colon D \to M$; 定义 $M$ 的切丛为 $M^D \to M,v\mapsto v(0)$. 微分几何最重要的概念就这样产生了.

如果认为上述理论谈论的是普通的集合范畴, 就会发现它简直是天方夜谭. 实直线上平方为零的元素只有 $0$, 又怎能表达切向量这样的概念呢? 感兴趣的读者可以进一步阅读综合微分几何讲稿. 结论是, 我们应当认为综合微分几何谈论的是一种满足特定条件的意象中的对象. 综合数学的每一个分支, 都可视为对所讨论的意象作某种约束. 任何一个满足约束的意象都可以作为这个学科的模型, 而这个学科所产生的定理在所有模型中同样成立.

我将目前的类比总结成一个表格.

范畴层级	0	1
对象	实数	集合
语言	四则运算	一阶语言
全体对象	实数的全体 $\mathbb{R}$	集合的全体 $\mathsf{Set}$
抽象概念	代数 = 带结构的集合	意象 = 带结构的范畴¹
约束	代数方程	公理

其实一个范畴构成一个意象这件事是性质而非结构. 不过这里的结构与 “积幺半结构” 中的结构是同一种用法.

表格有没有可能向右延申? 有没有可能, 范畴的 $2$-范畴 $\mathsf{Cat}$ 不是唯一合理的 “范畴的范畴”, 而是所有的范畴论语言都可以在一个 “$2$-意象” 中解读? 这种语言该如何设计? 我不知道.

单纯百科 - 术语翻译表 [terminologies]

meta
SimplicialCat

下表的第二列是单纯百科使用的译文.

表格第三列是其它地方也曾出现的译文, 它们有的是历史淘汰的选择, 有的是机翻造成的错误. 这个表格的作用是为 LLM 提供正确的术语.

原文	译文	其它译文
anima	生象
associated bundle	关联丛	配丛
coherent sheaf	凝聚层	相干层
dependent type	依值类型	依赖类型
groupoid	群胚	广群
homotopy-coherent	融贯
lax	松
locale	位象
nerve	脉	神经
operad	算畴
over category	俯范畴
presheaf	预层	预束
profunctor	代函子
quasicoherent sheaf	拟凝聚层
section	截面
sheaf	层	束
site	景
stack	叠	栈
stalk	茎
topos	意象	拓扑斯
torsor	主丛	旋子, 扭子, 挠子
walking	游走

未确定的术语

原文	译文
Gestalt	格式塔
suave	滑

∞-意象 [∞-意象]

观念

$\infty$-意象是意象在 $\infty$-范畴语境中的相应概念.

定义

Grothendieck ∞-意象是 (取值于 $\mathsf{Ani}$ 的) 预层范畴的正合局部化.

例

$\mathsf{Ani}$ 是最基本的 $\infty$-意象.

性质

Giraud 公理

不动点 [不动点]

百科
SimplicialCat

观念

不动点, 顾名思义即群作用之下 “不变” 的元素: $$ X^G = \{x\in X\mid \forall g\in G, gx=x\}. $$

在高阶范畴中, 何谓不变需要更仔细的解释, 但若正确理解高阶范畴中的等式, 仍有合适的不动点概念. 以同伦类型论的语言, 群 $G$ 作用于类型 $X$, 其不动点的类型为 $$ X^G := \sum_{x : X} \prod_{g : G} gx = x. $$ (注意这个定义与前面用集合语言写的定义的类比.)

意象 $\mathcal C$ 中, $G$-作用的不动点可以理解为沿 $\mathbf{B}G \to *$ 的拉回 (即 “平凡 $G$-作用” 函子) $\mathcal C = \mathcal C_{/*} \to \mathcal C_{/\mathbf{B}G}$ 的右伴随 $\mathcal C_{/\mathbf{B}G} \to \mathcal C$, 从而理解为 $\mathbf{B}G$ 上的依值积, 也即 $\mathbf{B}G$ 上的层的整体截面.

例

等变对象

在数学上, “等变对象” (equivariant object) 某某对象常常可理解为带群作用的范畴的不动点. 等变即是高阶范畴语境下的不变.

主齐性空间, 主丛 [主丛]

百科
SimplicialCat

观念

主齐性空间 (principal homogeneous space), 又称旋子 (torsor), 是一个 “忘掉了单位元在哪里的群”. 对于群 $G$, 一个 $G$-主齐性空间是一个带有 $G$-作用的对象 $P$, 且满足其商 $P / G$ 是一个点 (在 $1$-范畴语境中这等同于说作用是自由且传递的).

当我们谈论的对象是相对于一个基底空间 $X$ 上的丛 (或层) 时, 主齐性空间又称为 $X$ 上的主丛 (principal bundle). 对于群 $G$, 空间 $X$ 上的 $G$-主丛是 $X$ 上一个带有 $G$-作用的对象 $P\to X$, 满足其商 $P / G$ 就是 $X$.

空间 $X$ 上的 $G$-主丛在局部上是 $G$, 但不一定有整体截面; 有整体截面的 $G$-主丛即同构于平凡 $G$-主丛.

在 $\infty$-意象中可以谈论群和主丛 (主齐性空间); 这涵盖了所有 “主丛” 的概念.

群 $G$ 的主丛的分类空间是其逆环路空间 $\mathbf{B}G$; 空间 $X$ 到 $\mathbf{B}G$ 的映射同伦类又称为 $1$ 阶非 Abel 上同调类.

定义

意象中的主丛

设 $G$ 是 $\infty$-意象 $\mathcal X$ 中的群. 定义 $\mathcal X$ 上的 $G$-主丛即是终对象 $1$ 到逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 的态射 $P\colon 1\to\mathbf{B}G$. 换言之, 它是一个 $G$-作用 $P\colon \mathbf{B}G\to\mathcal X$, 满足余不动点为单点: $$\operatorname{colim}_{\mathbf{B}G} P = 1.$$

定义对象 $X\in\mathcal X$ 上的 $G$-主丛为俯意象 $\mathcal X_{/X}$ 上的 $G$-主丛, 这相当于 $\mathcal X$ 中的态射 $X\to \mathbf{B}G$, 给出如下拉回图, $$ \begin{array} {ccc} P & \to & 1 \\ \downarrow & & \downarrow \\ X & \to & \mathbf{B}G \end{array} $$ 因此 $X$ 上的 $G$-主丛也即 $G$ 在某对象 $P$ 上的作用, 且使得商 $P/G$ 等价于 $X$.

注. 一般而言 $G$-主丛会共享 $G$ 的许多拉回稳定的性质. 例如当 $G$ 是 $0$-截断对象时, 映射 $1\to \mathbf{B}G$ 是 $0$-截断映射, 从而其拉回也是 $0$-截断映射. 这意味着 $0$-截断对象 $X$ 上的 $G$-主丛的全空间也是 $0$-截断对象, 也就是落在 $1$-意象 $\mathcal X_{\leq 0}$ 中.

上述定义中 $\mathbf{B}G$ 也可替换为任意的生象 $A$, 通过常值层函子视为意象的对象. 由意象的下降, $$ \mathcal X_{/A}\simeq \operatorname{lim}_A \mathcal X =\mathsf{Fun}(A,\mathcal X), $$ 态射 $1\to A$ 等同于函子 $P\colon A\to \mathcal X$, 满足 $\operatorname{colim}_{a\in A}P_a\simeq 1$.

一般范畴

要想在一般的范畴 (如拓扑空间的范畴, 流形的范畴) 中定义主丛, 只需要将其嵌入到一个层意象中, 再使用意象中的主丛的定义. 不过需要注意逆环路空间 $\mathbf{B}G = * / G$ 以及一般的商 $X / G$ 可能不再是原来范畴的对象.

$1$-范畴的具体情形

在 $(1,1)$-范畴中, 可以用更简单具体的资料来定义群的主齐性空间. 每个 $G$-作用都给出 $\infty$-意象中的一个 $G$-主丛, 但要使得基底空间 $X / G$ 落在原来的 $1$-范畴, 就需要加自由作用的条件.

性质

使用 Čech 上同调的计算

对于覆盖 (即意象中的满射) $U\to X$, 由于 Giraud 公理, $X$ 是 Čech 脉的几何实现 $$ X \simeq \operatorname{colim} \text{\v{C}}(U\to X), $$ 故对象 $X$ 上的主丛可表示为 $\text{\v{C}}(U\to X)$ 上的主丛: $$ \operatorname{Hom}(X,\mathbf{B}G) \simeq \operatorname{lim} \big(\operatorname{Hom}(U,\mathbf{BG})\rightrightarrows \operatorname{Hom}(U\times_X U,\mathbf{BG})\cdots\big). $$ 由此, 可用非交换 Čech 上同调计算 $X$ 上的 $G$-主丛的同构类等信息.

例

有限群的主丛

对于离散拓扑群 $G$, 其主丛等同于 Galois 覆叠.

俯意象 [俯意象]

百科
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定义

意象的俯范畴仍是意象, 称之为俯意象.

性质

意象 $\mathcal C$ 的所有俯意象构成函子 $$ \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat},\ X\mapsto\mathcal C_{/X}. $$

几何态射 [几何态射]

百科
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观念

若将意象视为某种几何对象, 那么几何态射 (geometric morphism) 就是这种几何对象之间合适的映射的概念. (意象之间还有其它的态射的概念, 如逻辑态射.)

一个几何态射是一对伴随, 这个概念抽象自拓扑空间的连续映射的直像–逆像伴随.

定义

意象之间的几何态射 $$ f\colon \mathcal F \to \mathcal E $$ 由一对伴随函子 $f^*\colon \mathcal E\to\mathcal F$, $f_*\colon \mathcal F\to\mathcal E$ 构成, 满足 $f^*$ 是 $f_*$ 的左伴随, 且 $f^*$ 左正合 (即保持有限极限).

性质

与拓扑空间的映射的关系

当 $Y$ 为 Hausdorff 空间时, 几何映射 $\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)$ 唯一确定了 $f\colon X\to Y$.

与逻辑的关系

几何态射保持几何逻辑的公式.

例

一个意象 $\mathcal E$ 中的箭头 $k\colon B\to A$ 给出了 “换基” (change of base) 函子 $$ k^* \colon \mathcal E/A \to \mathcal E/B. $$ 它同时具有左伴随 $\sum_k$ 与右伴随 $\prod_k$. 于是, 它给出了几何态射 $$ \mathcal E/B\to\mathcal E/A, $$ 其中 $k_*=\prod_k$. 而 $k^*$ 左正合是由于它存在左伴随 $\sum_k$.

“分离几何态射” [分离几何态射]

百科
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称意象之间的几何态射 $f\colon X\to Y$ 分离, 是指 $X\to X\times_Y X$ 为紧合几何态射.

分类意象 [分类意象]

百科
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观念

“语法” 侧: 意象的表现

分类意象是以逻辑理论对意象的一种表现.

“几何” 侧: 作为分类空间

分类意象作为一种几何对象, 是分类空间的概念在意象理论中的化身. 一种结构的分类意象可理解为分类空间上的层意象.

“代数” 侧: 作为泛对象所在的范畴

一种结构的分类意象可理解为 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 自由加入一个 “泛” (generic) 对象所得的意象. 例如带点对象的分类意象可理解为自由加入一个泛带点对象.

例

生象群 $G$ 的分类意象即是其逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 上的层意象, 也即 $\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G} \simeq \mathsf{Fun}(\mathbf{B}G,\mathsf{Ani})$.

叠 [叠]

百科
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观念

叠是景上取值于高阶范畴的层, 也即高阶意象的对象.

例

对于 Lie 群 $G$ 有一个叠 $\mathbf{B}G$, 它是一个函子 $\mathsf {Mfd}^{\text{op}}\to\mathsf {Grpd}$, 将流形 $U$ 对应到 $U$ 上的 $G$-主丛的群胚, 将态射 $U\to V$ 对应到主丛的拉回.

可表现范畴 [可表现范畴]

百科
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观念

可表现范畴 $\mathcal C$ 是一个可能很大的范畴, 却能由较小的一族对象 $\mathcal S\hookrightarrow\mathcal C$ 控制. 此时, $\mathcal C$ 可表现为预层范畴 $\mathsf{Psh}(\mathcal S)$ 的局部化.

范畴论中的许多结论依赖于范畴的可表现性, 例如伴随函子定理, 以及刻画意象的 Giraud 公理.

另一种重要的观点: 从范畴逻辑学的角度, 可表现范畴是本质代数理论的模型的范畴.

定义

对于正则基数 $\kappa$ (通常取为 $\aleph_0$, 见紧生成范畴), 称满足如下等价条件的范畴 $\mathcal C$ 为 $\kappa$-可表现范畴:

$\mathcal C$ 余完备, 且有一族 $\kappa$-可表现对象构成的集合, 在 $\kappa$-滤余极限下生成整个范畴.
$\mathcal C$ 等价于一个小范畴的 $\kappa$-Ind 范畴.

称 $\mathcal C$ 为可表现范畴是指存在一个基数 $\kappa$, $\mathcal C$ 为 $\kappa$-可表现范畴.

等价的定义是: 有一个小范畴到 $\mathcal C$ 的函子 $j\colon \mathcal S\hookrightarrow\mathcal C$, 使得米田扩张 $\mathsf{Psh}(\mathcal S) \to \mathcal C$ 是预层范畴 $\mathsf{Psh}(\mathcal S)$ 关于某个小态射族 $W \subset \mathsf{Fun}([1],\mathsf{Psh}(\mathcal S))$ 的局部化.

可表现范畴以及保持余极限的函子构成的范畴记为 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$, 其中 $\mathrm{L}$ 的含义是这些函子是左伴随 (伴随函子定理).

可表现范畴以及保持极限的函子构成的范畴记为 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{R}}$. 有 $$ \mathsf{Pr}^{\mathrm{R}} \simeq (\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}})^{\mathrm{op}}. $$

性质

张量积

可表现范畴的范畴 $\mathsf{Pr}$ 上有一个对称幺半范畴结构, 称为 Lurie 张量积.

命题-定义. 对于可表现范畴 $\mathcal C,\mathcal D$, 存在万有的可表现范畴 $\mathcal C\otimes\mathcal D$, 带有一个双线性 (即保持每个分量的余极限) 的函子 $$ \mathcal C\times \mathcal D \to \mathcal C\otimes\mathcal D. $$

可表现范畴的张量积的单位是 $\mathsf{Ani}$.

极限

可表现范畴的极限即是其作为范畴的极限. 换言之, 遗忘函子 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}} \to \mathsf{Cat}$ 保持极限.

余极限

可表现范畴的余极限, 不是其作为范畴的余极限; 但可以如下计算: 图表 $X\colon I \to \mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$ 给出 $X^{\mathrm{op}}\colon I^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Pr}^{\mathrm{R}}$, 而其余极限可计算为 $$ \operatorname{colim}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}}X = \operatorname{lim}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{R}}}X^{\mathrm{op}}= \operatorname{lim}^{\mathsf{Cat}} X^{\mathrm{op}}. $$ 换言之, 遗忘函子 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{R}} \to\mathsf{Cat}$ 保持极限.

例如, 对任意集合 $I$, 可表现范畴的 $I$-余积实际上等同于可表现范畴的积, 也等同于其作为范畴的积: $$ \coprod_{i\in I}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}} \mathcal C_i \overset{\simeq}{\to} \prod_{i\in I}^{\mathsf{Cat}} \mathcal C_i \simeq \prod_{i\in I}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}} \mathcal C_i. $$ 这是一个重要的性质, 称为半加性 (semiadditivity).

例

意象

(由景表现的) 意象是可表现范畴.

其中, 由小范畴 $\mathcal C$ 上的平凡 Grothendieck 拓扑表现的意象, 也即预层意象 $\mathsf{Fun}(\mathcal C ^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$, 是 $\mathcal C$ 生成的自由可表现范畴.

多项式函子 [多项式函子]

百科
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观念

多项式函子是多项式函数 (形式幂级数) 的范畴化. 另见解析函子.

定义

设 $\mathcal C$ 为局部积闭范畴 (如意象), 固定两个对象 $X,Y\in\mathcal C$. 定义多项式函子 $\mathcal C_{/X}\to \mathcal C_{/Y}$ 为形如 $t_! p_* s^*$ 的函子, 其中 $t,p,s$ 如下图: $$ X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y $$ $t_!$ 是 $t^*$ 的左伴随, $p_*$ 是 $p^*$ 的右伴随. 直观上,

$s^*$ 是在每个 $e\in E$ 上放一个来自 $X$ 的东西,
$p_*$ 是对每个 $b \in B$ 将 $b$ 上的一堆东西相乘 (见依值积),
$t_!$ 是对每个 $y\in Y$ 将 $y$ 上的一堆东西相加 (见依值和);
因此 $t_! p_* s^*$ 就是 “拿 $X$ 个不同的东西, 每个可以拿多份, 共有 $E$ 份; 然后将这 $E$ 份分成 $B$ 组; 将每一组乘起来, 将这 $B$ 个乘积再分成 $Y$ 组, 每一组加起来”. 这正是多项式的直观, 只是这里每一项的 “次数” 以及 “项数” 都未必有限.

注. 当 $p\colon E\to B$ 的纤维离散且有限时, 所得的多项式函子是解析函子.

性质

复合

多项式的重要性质是: 多项式的复合仍是多项式. 多项式函子也是如此.

文献中记载着一种使用巨大交换图的证明 (见 Gepner–Haugseng–Kock 定理 2.1.8), 但我们使用一种类似于依值类型论的表述, 这样似乎更直观, 因为在语法的形式上, 它和 “多项式的复合仍是多项式” 的证明完全一致. 实际上这和那个巨大交换图证明说的是同一件事.

首先, 将图 $X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y$ 给出的多项式函子记为 $$ A(x) \mapsto \sum_{b\in t^{-1}(y)} \prod_{e\in p^{-1}(b)} A(s(e)). $$ 现设有两个图

$X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y$,
$Y \overset{u}{\leftarrow} F \overset{q}{\rightarrow} C \overset{v}{\rightarrow} Z$.

那么两个多项式函子的复合为 $$ A(x) \mapsto \sum_{c\in v^{-1}(z)} \prod_{f\in q^{-1}(c)} \sum_{b\in t^{-1}(u(f))} \prod_{e\in p^{-1}(b)} A(s(e)).\,\,\,\,\,(\star) $$ 我们的想法是将中间的 “和的积” 展开为 “积的和”, 从而将 $\Sigma\Pi\Sigma\Pi$ 化简为 $\Sigma\Sigma\Pi\Pi$, 再化简为 $\Sigma\Pi$. $$ \begin{aligned} &\prod_{f\in q^{-1}(c)}\sum_{b\in t^{-1}(u(f))} B(b)\\ &=\sum_{g\colon (f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))}\prod_{f\in q^{-1}(c)}B(g(f)), \end{aligned} $$ 其中 $(f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))$ 是依值积类型 $\prod_{f: q^{-1}(c)}t^{-1}(u(f))$ 的简写. 于是 $(\star)$ 的右端等于 $$ \sum_{c\in v^{-1}(z),g\colon (f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))}\prod_{f\in q^{-1}(c), e\in p^{-1}(g(f))} A(s(e)). $$ 这便证明了它是多项式函子.

子对象分类子 [子对象分类子]

百科
SimplicialCat

观念

子对象分类子是 $(-1)$-截断对象的分类空间.

定义

子对象分类子 $\Omega$ 是意象中一个特殊的对象, 任意对象到 $\Omega$ 的态射一一对应于其子对象.

真值

$\Omega$ 是 $1$ 的幂集. 逻辑公式 $\varphi$ 的真值为 $1$ 的子集, 也即 $\Omega$ 的元素. 在经典逻辑中当然 $\Omega=\{\text{false},\text{true}\}$. 而在直觉主义逻辑中, $\Omega$ 不一定只有两个元素.

例如, 空间 $X$ 上的层意象中, 子对象分类子是终层 $1$ 的幂对象 $$ \Omega\colon\quad U\subset X\text{ open} \quad \mapsto \quad \{V\subset U\text{ open}\}. $$ 此时, 逻辑公式 $\varphi$ 的真值是 $X$ 中最大的使得 $U\models\varphi$ 的开集 $U$.

对象分类子 [对象分类子]

百科
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观念

在一些范畴 (尤其是意象) 中, 我们常常将态射 $$ \begin{array} {c} Y\\ \downarrow\\ X \end{array} $$ 视为对象 $X$ 上的一族对象; 进而我们希望这个族由一个映射 $X\to O$ 分类. 这里 $O$ 是 “对象的分类空间”.

定义

定义 (意象的对象分类子). 意象 $\mathcal C$ 的对象分类子 (object classifier) 是一个保持极限的函子 $O\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Ani}$, 使得 $$ \operatorname{Hom}(X,O) \simeq (\mathcal C_{/X})^\simeq. $$

局部意象 [局部意象]

百科
SimplicialCat

观念

局部意象是仅含有一个点 $x$ 及其 “局部” 的意象; 其表现为意象的整体截面 $\Gamma$ 等同于这一点处的茎 $(-)_x$.

定义

对于带点意象 $(\mathcal X,x)$ 有自然变换 $$ \Gamma(X,-)\to (-)_x := x^*. $$

当上述自然变换为同构时, 称 $(\mathcal X,x)$ 为局部意象.

性质

对于局部意象 $(\mathcal X,x)$, 记 $p\colon \mathcal X\to\mathrm{pt}$ 为到点的几何态射, 有三元伴随 $$ p^* \dashv (p_* = x^*) \dashv x_*. $$ 此时 $p\colon \mathcal X\to\mathrm{pt}$ 是 $x\colon \mathrm{pt}\to\mathcal X$ 在意象的 $2$-范畴中的左伴随.

局部类 [局部类的分类子]

百科
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设 $\Sigma$ 为意象 $\mathcal C$ 中映射的局部类 (关于基变换与余积封闭, 且被满射的基变换探测). 定义 $\Sigma$ 的分类子为态射 $f_\Sigma\colon Y_\Sigma \to X_\Sigma$, 又称为 $\Sigma$ 中的万有态射, 满足 “$\Sigma$ 的任何态射都是其基变换”; 具体地, 对任意对象 $X$, $$ \operatorname{Hom}(X,X_\Sigma) \to (\mathcal C_{/X})^\simeq, g\mapsto g^*f_\Sigma $$ 的像恰为 $\mathcal C_{/X}$ 中由 $\Sigma$ 中的态射构成的子生象. 由米田引理, 分类子一旦存在, 就是唯一的.

例

单射 ($(-1)$-截断映射) 的分类子叫做子对象分类子.

层意象 [层意象]

百科
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层意象是景上的层构成的意象, 也即由景所表现的意象.

几何对象 (如拓扑空间, 代数簇, 概形) 上的层意象可视为几何对象在意象范畴中的化身.

层意象的内语言具有层语义.

常值层 [常值层]

百科
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定义

对于意象 $\mathcal X$, 常值层函子是几何态射 $$ \pi\colon \mathcal X \to\mathsf{Ani} = \operatorname{Sh}(*) $$ 的左伴随部分 (拉回部分) $$ \pi^*\colon \mathsf{Ani} \to\mathcal X. $$

意象中的满射 [意象中的满射]

定义

∞-意象

$\infty$-意象中的有效满射 (effective epimorphism) 是可被 Čech 脉实现的映射, 也等价于 $0$-截断后为 $1$-意象中的 (有效) 满射.

1-意象, 内语言定义

$1$-意象中的 (有效) 满射是内语言中满足如下条件的映射 $f\colon X\to Y$: $$ \forall y\in Y\exists x\in X \, f(x) = y. $$

注意这句话不能在外部语言中解释; 不能推出 (外部语言) $f$ 存在截面.

层意象

层意象中的满射可用景的信息来定义. 对于景 $(\mathcal C,J)$ 上的层 $X,Y$ 以及态射 $f\colon X\to Y$, $f$ 为层意象 $\mathsf{Sh}(\mathcal C,J)$ 中的满射当且仅当

对任意 $U\in\mathcal C$ 与 $y\in Y(U)$, 存在 $U$ 的 $J$-覆盖 $\{U_i\to U\}$ 以及 $x_i\in X(U_i)$, 使得 $f_{U_i}(x_i) = y|_{U_i}$.

意象的内语言 [意象的内语言]

百科
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每个意象都有一个以其对象为类型, 其态射为函数符号的一阶语言, 称为内语言.

直观地说, 使用这种语言, 我们可以假装意象中的对象是集合, 态射是集合的映射, 并且像对待集合一样对 $\mathcal E$ 中的命题进行推理.

例如, 态射 $\alpha\colon X\to Y$ 是满射这一命题可使用内语言表达为 $$ \forall y:Y , \exists x:X , \alpha(x)=y. $$ 对于集合, 满射的复合是满射; 那么意象中满态射的复合是满态射. 因为一条元定理指出, 若语句 $\varphi$ 在意象 $\mathcal E$ 的内语言中成立, 且逻辑上 $\varphi$ 推出 $\psi$, 则 $\psi$ 也在这一内语言中成立.

意象的内语言通常是直觉主义逻辑的, 而非经典逻辑的. 这意味着不能使用排中律, 且一个命题 $P$ 的否定之否定不能推出 $P$ 本身.

例

概形上的层语义

概形上的层意象的层语义简化了代数几何中的许多概念和命题.

见概形上的层语义.

物理

一个量子力学系统可赋予一个 Bohr 意象.

其他

另见 Newton–Puiseux 定理

景 [景]

百科
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观念

景是意象的一种表现.

Grothendieck 将拓扑空间上的层推广为景上的层. 景 (site) 是带有覆盖结构 (又称 Grothendieck 拓扑) 的范畴. 正如拓扑空间中的开集可由子开集覆盖, 景规定了其对象何时由一族到它的态射覆盖.

例

Zariski 景

无穷小景

景上的层 [景上的层]

百科
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观念

一个景上的层, 就是这个景所表现的意象中的对象.

景上的层是拓扑空间上的层的推广.

定义

逐元素定义

设 $(C,J)$ 为景, $P\colon C^{\text{op}}\to \mathsf {Set}$ 是 $C$ 上的预层.

固定一个对象 $c\in C$ 以及覆盖筛 $S \in J(c)$. 定义 $P$ 的一个相容族 (matching family) 是如下资料: 对 $S$ 中的每个 $f\colon d\to c$ 指定一个元素 $x_f\in P(D)$, 使得 $$ x_f\cdot g := P(g)(x_f) = x_{fg},\quad \forall g\colon e\to d. $$ 上式可形象地表示为下图的 “相容性”. $$ e \overset{g}{\to} d \overset{f}{\to} c \overset{x}{\leadsto} P $$

(todo)

范畴论定义

(todo)

景的态射 [景的态射]

百科
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景的态射 $f\colon (\mathcal C,J) \to (\mathcal D,K)$ 是诱导意象之间的几何态射 $$ f\colon \operatorname{Sh}(\mathcal D,K) \to \operatorname{Sh}(\mathcal C,J) $$ 的函子 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$.

注意这个态射的方向和 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 的方向相反.

(todo)

束 [束]

百科
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束 (gerbe) 是意象中的一种特殊的对象, 仅包含某一个阶数的非平凡同伦信息.

定义

抽象定义

束就是意象中的 $1$-截断 $0$-连通对象.

一般地, 定义 $n$-束为 $n$-截断 $(n-1)$-连通对象.

使用相对观点, 对于态射 $Y\to X$, 若其在 $X$ 上的俯意象中为 $n$-束, 我们也可称之为 $X$ 上的 $n$-束.

一般的束没有 (整体的) 点. 由定义, 带点的 $n$-束等同于 $n$ 阶 Eilenberg–MacLane 对象, 又称为平凡 $n$-束 (trivial $n$-gerbe).

通过景定义

景 $(\mathcal C,J)$ 上的束 (gerbe) 是 $1$-群胚取值的层 $F \colon \mathcal C\to\mathsf{Ani}_{\leq 1}$, 满足

($(-1)$-连通性) $F$ 局部非空, 即存在终对象的覆盖 $(U_i)$, 使得 $F(U_i)$ 非空;
($0$-连通性) 对任意 $U\in\mathcal C$, 任意两个元素 $x,y\in F(U)$ 局部同构, 即存在 $U$ 的覆盖使得 $x,y$ 在其上的限制 (拉回) 同构.

性质

设 $F$ 为 $n$-束, $x,y\colon * \to F$ 为两个点. 考虑拉回 $$ \begin{array} {ccc} *\times_F * & \to & * \\ \downarrow & & \downarrow {\scriptsize{x}}\!\!\! \\ * & \underset{y}{\to} & F, \end{array} $$ 那么 $*\times_F *$ 为 $(n-1)$-束.

由群控制的束

类似于 Eilenberg–MacLane 空间由一个 (Abel) 群控制, 束有时也可由群控制.

$n=1$ 情形.

定义. 设 $G$ 为意象 $\mathcal{C}$ 中的 $0$-截断群, 定义由 $G$ 控制的 $1$-束是一个 $1$-束带有如下结构:

(抽象表述) $F$ 的 $1$ 阶整体同伦群与 $G$ 的同构 $\pi_1(F)\simeq G_F := G\times F$;
(传统表述, 对于景 $(\mathcal C,J)$ 上的层意象定义) 对任意 $U\in\mathcal C$, 任意 $x\in F(U)$, 有函子性的同构 $G(U) \simeq \operatorname{Aut}_{F(U)}(x)$.

注. 假设 $\pi_1(F)\simeq G_F$, 即 “对任意 $x\in F$” (只能在局部上或在内语言中解读) 有 $\pi_1(F,x)\simeq G$, 由截断性实际上有 $\Omega(F,x)\simeq G$; 那么 (外部语言) 对任意 $x\in F(U)$ 就有 $\operatorname{Aut}_{F(U)}(x)\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}_{/U}}(U,\Omega (F\times U,x)) \simeq G(U)$.

注. 对于 $1$-束 $F$, 上面的群 $G$ 不一定存在.

$n\geq 2$ 情形.

定义. 设 $n\geq 2$, $A$ 为意象 $\mathcal{C}$ 中的 $0$-截断 Abel 群. 定义由 $A$ 控制的 $n$-束为一个 $n$-束 $F$ 带有一个同构 $\pi_n(F) \simeq A\times F$.

直观上, $A$-束 $F$ 在每一点处的 $n$ 阶同伦群均为 $A$. 注意这不能推出 $F$ 同构于 Eilenberg–MacLane 对象 $\mathbf{B}^n A$. 因为 $F$ 甚至可以没有整体的点.

记 Abel 群 $A$ 控制的 $n$-束的范畴为 $\mathsf{Gerb}_n^A(\mathcal{C})$.

命题. 设 $F$ 为意象 $\mathcal C$ 中的 $n$-束 ($n\geq 2$), 则存在 $\mathcal C$ 中的 $0$-截断 Abel 群 $A$, 使得 $$ \pi_n (F) \simeq A \times F. $$

证明. 由于 $F$ 是 $(n-1)$-连通对象, 函子 $F\times (-) \colon \mathcal{C} \to\mathcal{C}_{/F}$ 诱导了俯意象的 $(n-2)$-截断部分的等价 $$ \mathcal{C}_{\leq n-2} \simeq (\mathcal{C}_{/F})_{\leq n-2}. $$ 特别地, 两边的 $0$-截断部分等价, 从而 $\pi_n (F) \in \mathsf{Ab}((\mathcal{C}_{/F})_{\leq 0})$ 对应于 $A\in\mathsf{Ab}(\mathcal{C}_{\leq 0})$.

平凡性与局部平凡性

对于 $0$-截断群 $A$, 由 $A$ 控制的带点 $n$-束即为 Eilenberg–MacLane 对象 $K(A,n)=\mathbf{B}^n A$. 定义一个 $A$ 控制的 $n$-束 $F$ 的平凡化为其 (整体) 点; 也等同于其到 $\mathbf{B}^n A$ 的等价.

设 $A$ 是意象 $\mathcal C$ 中的 $0$-截断 Abel 群, 对于 $X$ 上 $A$ 控制的 $n$-束 $\tilde{X} \to X$, 若有 $\mathcal C_{/X}$ 中的同构 $\tilde{X} \simeq X\times\mathbf{B}^{n}A$, 则称 $\tilde{X}\to X$ 为平凡 $n$-束, 称同构 $\tilde{X} \simeq X\times\mathbf{B}^{n}A$ 为 $\tilde{X}$ 的 平凡化.

命题. 若 $n$-束 $\tilde{X}\to X$ 有截面 $s\colon X\to \tilde{X}$, 则它是平凡 $n$-束.

命题. $X$ 上的 $n$-束 $\tilde{X} \to X$ 在 $X$ 的局部有截面; 即沿某个满射 $U\to X$ 的拉回有截面 (从而为平凡 $n$-束).

与上同调的关系

命题. 设 $A$ 为意象 $\mathcal{C}$ 中的 $0$-截断 Abel 群, $n\geq 2$. 则有生象的等价 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,\mathbf{B}^n A) \simeq \mathsf{Gerb}_{n-1}^A(\mathcal C_{/X}), $$ 将 $X\to\mathbf{B}^n A$ 对应到拉回 $(n-1)$-束 $$ \begin{array} {ccc} \tilde{X} & \to & * \\ \downarrow & & \downarrow \\ X & \to & \mathbf{B}^n A. \end{array} $$ 换言之, $*\to \mathbf{B}^n A$ 是万有的 $A$ 控制的 $(n-1)$-束.

特别地 (取 $0$-截断), $X$ 的 $A$-系数上同调 $H^n(X,A)$ 等同于 $A$ 控制的 $(n-1)$-束的等价类.

证明. 要证的是对任意由 $A$ 控制的 $(n-1)$-束 $\tilde{X}\to X$, 存在唯一如上的拉回图.

采用从局部到整体的方法. 首先, 要证明的结论关于 $X$ 是局部的; 也就是对任意满射 $U\to X$, 只要结论对拉回 $(n-1)$-束 $\tilde{X}\times_X U \to U$ 成立, 就有结论对 $(n-1)$-束 $\tilde{X}\to X$ 成立.

扭层

(集合值的) 层可以视为平凡束的截面; 一般地, 每一个束的截面给出一种扭层的概念, 用传统的观点即一个 “粘合条件被 $2$-上圈扭过” 的层.

“环化意象” [环化意象]

百科
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定义

nLab 页面

设 $\mathcal E$ 为意象, 其中有内蕴交换环对象 $R$, 则称 $(\mathcal E,R)$ 为环化意象.

若 $\mathcal{E}$ 为景 $\mathcal C$ 上的层意象, 则 $R$ 为 $\mathcal C$ 上的环层 (结构层).

例

一个环化空间 $(X,\mathcal O_X)$ 诱导了环化意象 $(\operatorname{Sh}(X),\mathcal O_X)$.

综合微分几何

在综合微分几何中, $\mathcal E$ 的对象称作 “空间” 或 “集合”, $R$ 称作 “数轴”. “环” 指的就是 “环对象”, “映射” 指的就是 “光滑映射”. $R$ 类似于实数轴 $\mathbb{R}$, 但不是一个域, 因为我们需要考虑幂零元. 简单起见我们设 $R$ 是特征 $0$ 的, 且 $1+1+\cdots + 1$ 可逆, 即 $R$ 包含 $\mathbb{Q}$. (但代数几何中人们会认真对待正特征的情形.) 有时我们需要 $R$ 是局部环: 若一些数的和可逆, 则其中至少有一个数可逆.

$R$-模 $V$ 称作有限维向量空间, 是指存在线性同构 $V\to R^n$. 其中 “存在” 一词应在层的语义 (sheaf semantics) 下理解, 即 $V$ 局部同构于 $R^n$.

生象, ∞-群胚 [生象]

百科
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观念

从现代数学的观点, “生象” 的概念代替了传统的 “集合” 的概念: 对生象的最好描述就是一类数学对象的全体构成一个生象. Anima 有 “灵魂” 之意, 而生象在历史上的来源是从拓扑空间或其它几何对象中提取的同伦信息.

Philosophically, “anima” means something like “soul”—and, indeed, the functor from topological spaces to their homotopy category extracts something like the soul of a space: it only remembers data independent of any worldly representation in terms of physical points.

Kestutis Cesnavicius, Peter Scholze, Purity for flat cohomology

在范畴论 (尤其是高阶范畴论) 上, 生象等同于 $\infty$-群胚. 但是它值得一个特别的名字, 因为它比范畴的概念更为基本.

从集合到生象

当我们把一类事物放到一起作为一个整体来谈论的时候, “集合” 的概念便产生了. 随着数学 (尤其是同伦论, 高阶代数) 的发展, 人们发现数学语言中的 “集合” 有时不能表达实践中的 “一类事物的集体” 这一概念, 其关键的缺陷在于对何为相等这一问题的过于草率的回答.

诚然, 对于基础算术而言, 何为相等不是一个问题: $1+1$ 等于 $2$ 而不等于 $3$; 任何两个数要么相等, 要么不相等, 绝无第三种情形. 但当数学研究的对象从简单的数变成了代数, 拓扑空间, 层, 叠等等越来越复杂的结构时, 这些对象之间的相等不再是一个是或否的命题, 而是一个同样越来越复杂的问题. 甚至一个对象和自身的相等也可能不是一个平凡的命题, 而是存在多个不平凡的途径.

最终人们走向这样一个观念:

一类事物的 “集合” 之中, 任何两个事物之间的等式须构成一类新的事物, 从而这个新的 “集合” 中又可以谈论相等构成的 “集合”, 以至于无穷. 这种革新的 “集合” 概念就是生象.

生象有别于集合的特点在于, 生象 $A$ 中两个元素 $x,y$ 之间的相等不一定是一个是或否的命题, 而是一个新的生象 (换言之, 相等是结构而非性质), 记作 $x =_A y$. 一个直观是空间中两个点之间的道路空间.

当然, 集合是特殊的生象, 集合的定义是任何两个元素之间的相等都是命题的生象.

一种适合用于谈论生象的语言是同伦类型论.

性质

生象的范畴

生象的范畴 $\mathsf{Ani}$ 是最基本的 ∞-范畴, 也是最简单的 $\infty$-意象.

生象的表现

如下类型的对象可以表现生象, 其表现的生象有时称为同伦型:

单纯集
拓扑空间
意象 (见意象的形)

盲人摸象 [盲人摸象]

参考资料
我

项目 (包括 tex 源代码): https://github.com/SimplicialCat/topos

PDF : https://simplicialcat.github.io/topos.pdf

2023 年开始的项目, 包含 $1$-意象的基本知识, 位象的概念, 以及范畴论和一阶逻辑基础.

内容

1 意象的范畴论性质
- 1.1 范畴论基本概念
- 1.2 意象
- 1.3 更多范畴论结构
2 位象: 无点拓扑学
- 2.1 基本概念
- 2.2 位象的几何性质
- 2.3 位象与逻辑
3 意象与空间的概念
- 3.1 拓扑空间上的层与平展空间
- 3.2 位象上的层与平展空间
- 3.3 范畴上的预层
- 3.4 景
- 3.5 层化与 Grothendieck+构造
- 3.6 Grothendieck 意象
- 3.7 Lawvere–Tierney 拓扑,内蕴层化与局部化
- 3.8 意象之间的态射
- 3.9 景之间的态射
- 3.10 意象的几何性质
- 3.11 Giraud 定理
- 3.12 等变层与拓扑群胚
- 3.13 意象的余极限
4 意象的内语言
- 4.1 Mitchell–Bénabou 语言
- 4.2 Kripke–Joyal 语义
- 4.3 不同意象的内语言的联系
5 语法景与分类意象
- 5.1 语法范畴:语法–语义对偶
- 5.2 分类意象
6 意象理论的应用
- (这一章没有完成)
A 范畴论基础
- A.1 $2$-范畴
- A.2 伴随
- A.3 自反子范畴与局部化
- A.4 预层范畴与米田嵌入
- A.5 (余)滤范畴和(余)滤(余)极限
- A.6 可表现范畴
- A.7 Kan扩张
- A.8 单子论
- A.9 万有代数
- A.10 纤维范畴与索引范畴
- A.11 下降
B 形式逻辑和范畴逻辑基础
- B.1 一阶逻辑
- B.2 一阶逻辑的范畴语义
- B.3 高阶逻辑
- B.4 类型论
- B.5 模态逻辑
术语和符号表
参考文献

相对同伦群 [相对同伦群]

百科
SimplicialCat

观念

相对同伦群是同伦群的相对版本.

定义

一般定义

意象 $\mathcal C$ 中的映射 $A\to X$ 的相对同伦群是其作为 $X$ 的俯意象的对象的同伦群 $$ \pi_n(A\to X) \in \mathcal (\mathcal C_{/X})_{/A} = \mathcal C_{/A}. $$ 对于 $A$ 的点 $a\colon 1\to A$, 定义 $a$ 处的相对同伦群 $$ \pi_n(A\to X, a) := a^*\pi_n(A\to X). $$

传统

设 $(X,A)$ 为空间偶, $A$ 带有基点 $x_0$. 设 $n$ 为正整数.

定义相对同伦群 $\pi_n(X,A,x_0)$ 的元素为映射 $(I^n,\partial I^n,J^{n-1}) \to (X,A,x_0)$ 的同伦类, 其中 $J^{n-1}$ 是 $\partial I^n$ 去掉一个面 (“开口的盒子”).

另一种等价的定义是, $\pi_n(X,A,x_0)$ 的元素为映射 $(D^n,S^{n-1},s_0) \to (X,A,x_0)$ 的同伦类.

对于 $n\geq 2$, 定义 $\pi_n(X,A,x_0)$ 的群运算如下. 设 $[f],[g] \in\pi_n(X,A,x_0)$ 分别由映射 $f,g \colon (I^n,\partial I^n,J^{n-1}) \to (X,A,x_0)$ 代表. 设 $J^{n-1}$ 是 $\partial I^n$ 去掉了对应于 $x_n=1$ 的面. 定义 $f\cdot g$ 为映射 $$ (x_1,\cdots,x_n)\mapsto\begin{cases} f(2x_1,x_2,\cdots,x_n) & x_1<1/2;\\ f(2x_1-1,x_2,\cdots,x_n) & x_1\geq 1/2.\\ \end{cases} $$ 这个映射的同伦类不依赖于代表元 $f,g$ 的选取.

性质

零元

映射 $(D^n,S^{n-1},s_0) \to (X,A,x_0)$ 代表相对同伦群的零元的充要条件是它可相对于 $S^{n-1}$ 同伦到 $A$ 中.

交换性

对于 $n\geq 3$, $\pi_n(X,A,x_0)$ 是交换群.

长正合列

三元组

对三元组 $(X,A,B,x_0)$ 有相对同伦群的长正合列 $$ \cdots\to \pi_n(A,B,x_0) \to \pi_n(X,B,x_0) \to \pi_n(X,A,x_0) \to \pi_{n-1}(A,B,x_0) \to\cdots. $$

例

真值 [真值]

百科
SimplicialCat

定义

在经典逻辑中, 真值只有两个: $\top$ (真), $\bot$ (假).
在意象中, 真值是子终对象, 即终对象 $1$ 的子对象.
在同伦类型论中, 真值是 $(-1)$-截断类型. 见命题 (同伦类型论).

空意象 [空意象]

定义

空意象是终范畴 $1$, 也即空空间对应的意象.

箭图 [箭图]

百科
SimplicialCat

定义

箭图 (quiver) $Q$ 是允许有多箭头或圈的有向图.

箭图也可理解为如下范畴上的预层:

对象: $e,v$;
态射: $s,t\colon e\to v$.

因此箭图的范畴是一个 $1$-意象.

性质

路代数

箭图 $Q$ 上的一条路是一列箭头 $a_n\cdots a_1$, 使得当 $1\leq i <n$ 时, $a_i$ 的终点等于 $a_{i+1}$ 的起点. 另外, 我们规定每个顶点 $x$ 处有一个平凡道路 $e_x$.

固定域 $k$. 箭图 $Q$ 的路代数 (path algebra) $kQ$ 作为向量空间由所有的路生成; 其乘法由路的连接给出. 当 $Q$ 的顶点数有限时, 每个顶点处平凡道路的和对应 $kQ$ 的乘法单位元; 否则 $kQ$ 没有乘法单位元.

表示

箭图 $Q$ 的一个表示是如下信息: 对每个顶点 $x$ 指定一个 $k$-线性空间 $V_x$, 对每条边 $x\to y$ 指定一个线性映射 $V_x\to V_y$.

箭图 $Q$ 的表示等同于路代数 $kQ$ 上的模:

给定 $Q$ 的表示, 令 $V=\bigoplus_x V_x$ 得到 $kQ$-模.
给定 $kQ$-模 $V$, 令 $V_x=e_x V$ 得到 $Q$ 的表示.

例

Ext-箭图

设 $k$ 为代数闭域, $\Lambda$ 为有限维 $k$-代数. 定义其 Ext-箭图 $Q(\Lambda)$ 是以 $\Lambda$-单模的同构类为顶点, 每两点 $S_i,S_j$ 之间 $\dim_k\operatorname{Ext}_{\Lambda}^1 (S_i,S_j)$ 条边构成的箭图.

“紧合几何态射” [紧合几何态射]

百科
SimplicialCat

称意象 $\mathcal C$ 为紧意象是指整体截面的直像部分保持子终对象的定向并.

称意象态射 $f\colon \mathcal F\to\mathcal E$ 为紧合的, 是指其为 $\mathcal E$ 上的紧意象. 这个条件可用叠语义表述.

纤维函子 [纤维函子]

百科
SimplicialCat

观念

纤维函子指的是某种空间 $X$ 上的层范畴 (作为几何对象的代数侧对偶) 到点上的层范畴的函子, 在代数–几何对偶下对应空间 $X$ 的一个点.

意象的茎是最常见的纤维函子.

综合微分几何 [综合微分几何]

学科
SimplicialCat

综合微分几何是综合数学的微分几何的分支.

综合微分几何的模型一般是一个包含光滑流形和一些微分几何关心的无穷小对象的意象, 即其语言可理解为该意象的内语言.

综合微分几何讲稿

todo: 重写

综合微分几何使用无穷小的空间, 以无坐标的方式, 将 “微分” 的过程变成纯粹的代数.

综合微分几何的公理始于环化意象 $(\mathcal E,R)$. 无穷小空间引入了 $k$-阶相邻 $(k=0,1,2,\cdots)$ 的概念, 这个关系在所有映射下不变.

开集的概念

我们在 $R$ 上公理化地定义开集, 其中最重要的是要求可逆元的集合 $R^*$ 是开集.

具体地, 我们假定在 $\mathcal E$ 的所有态射中 (先天) 给定了一类态射, 称作 “开含入” (open inclusions), 满足拉回之下的稳定性 (stability under pullback), 且 $R$ 的可逆元集合到 $R$ 的含入是开含入.

开集的概念有多种不同的选择. 内蕴 (intrinsic) 地定义开集是有可能的, 例如下面讲的形式开; 但形式开的概念会使得 $R$ 不连通. 还有另外一种内蕴的开集的概念, 不会让 $R$ 不连通, 但更复杂.

有了开集, 就可以谈论局部的概念. 流形是局部微分同胚于向量空间的空间, 即存在一族空间 $\{U_i: i\in I\}$ 与开含入 $U_i\to M$, $U_i\to R^n$, 且所有 $U_i\to M$ 合在一起是满的.

注意, 流形的概念不仅依赖于 “开集” 的概念, 还依赖于 “族” 的概念. 这里指标集 $I$ 是一个外蕴 (external) 的集合, 而不是 $\mathcal E$ 中的空间.

我们假设开集都是 “形式开” 的. 称子集 $M\subset R^n$ 形式开 (formally open) 是指, 若 $a\in M$, $x$ 无穷小, 则 $a+x\in M$. 在综合微分几何中 “开” 的概念常常需要替换为形式开.

微积分

在综合微分几何中, 微分的技术建立在 KL 公理之上. KL 公理大致是说无穷小空间出发的映射都是多项式.

综合数学 [综合数学]

观念
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观念

分析与综合之辨

分析 (analysis) 与综合 (synthesis) 是数学的两种思维模式:

分析是将所研究的对象拆解为更简单的东西, 直至还原为最基本的对象 (通常是集合);
综合是规定所研究的对象应当具有的性质, 行为或关系, 而不关心其底层的构造.

以平面几何为例,

经典的分析方法是 Descartes 建立的解析几何, 使用平面直角坐标系将所有几何对象还原为点的集合;
经典的综合方法是 Euclid (或更严格的 Hilbert) 建立的公理几何, 规定点, 直线等对象的性质, 而不关心其具体构造.

综合数学

通常, 一种综合数学的理论可视为对一个具有较丰富性质的范畴, 如意象, 以内语言的方式强加的要求; 正如一个代数方程是对一个环强加的要求. 见综合数学是抽象代数的范畴化.

群胚对象 (∞-范畴论) [群胚对象]

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群胚对象可视为 $1$-范畴论中 “等价关系” 的概念在 $\infty$-范畴论中的推广. 与等价关系类似, (在意象中) 每个群胚对象都给出一个商映射, 而每个满射都通过 Čech 脉给出一个群胚对象. 这是刻画意象的 Giraud 公理的一部分.

定义

设范畴 $\mathcal C$ 具有有限极限. 定义 $\mathcal C$ 中的群胚对象是满足如下条件的单纯对象 $X\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$:

对任意 $n\geq 2$, 若 $[n] = \{0< 1<\cdots < n\} = S \cup T$, 且 $S\cap T = \{i\}$, 则 $X([n]) \to X(S)\times_{X_{\{i\}}} X(T)$ 为等价.

例如, $\{0<1<2\} = \{0<1\} \cup \{0< 2\}$, 上述条件说 $X(\{0<1<2\}) \to X(\{0<1\})\times_{X_{\{0\}}} X(\{0<2\})$ 为等价. 直观上, 这表示从同一对象出发的任意两个态射都互相穿过.

商映射

群胚对象 $X$ 的商映射定义为映射 $$ X_0 \to \operatorname{colim}X. $$

其中 $\operatorname{colim}X$ 又称为 $X$ 的几何实现.

“自然数对象” [自然数对象]

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对于意象 $\mathcal E$, 若存在对象 $\mathbb N$, 以及两个箭头 $$ 1\overset{0}{\longrightarrow} \mathbb N \overset{s}{\longrightarrow} \mathbb N, $$ 使得此图为所有形如 $1\to X\to X$ 的图中的始对象, 则称 $\mathbb N$ 为 $\mathcal E$ 的自然数对象 (n. n. o.)

自然数对象是集合意象中自然数集 $\mathbb N$ 的推广. 自然数对象的存在性又叫无穷公理 (axiom of infinity).

性质

设意象 $\mathcal E$ 有自然数对象 $\mathbb N$, $\mathcal F$ 为另一意象, 有一对伴随函子 $$ g_*\colon \mathcal F \to \mathcal E,\quad g^*\colon \mathcal E\to\mathcal F,\quad g^*\dashv g_*, $$ 且满足 $g^* 1 =1$, (特别地, 几何态射 $g\colon \mathcal F\to\mathcal E$ 满足上述性质), 则 $g^*\mathbb N$ 为 $\mathcal F$ 的自然数对象.

例如, 由 $\mathsf {Set}^{C^{\mathrm{op}}}$ 与 $\mathsf {Set}$ 之间的全局截面 $\Gamma$ 与常值预层 $\Delta$ 的伴随, 可得 $\mathsf {Set}^{C^{\mathrm{op}}}$ 的自然数对象是常值预层 $\Delta(\mathbb N)$.

逆像 [逆像]

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逆像 (inverse image) 是指意象的几何态射的左伴随部分.

定义

对于景的态射 $f\colon (\mathcal C,J) \to (\mathcal D,K)$, 定义 $(\mathcal C,J)$ 上的层 $F$ 的逆像 $f^*F$ 为 $$ f^*F(d) = \operatorname{colim}_{f(c) \to d} F(c), $$ 也即沿 $f$ 的左 Kan 扩张.

预层 [预层]

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范畴 $\mathcal C$ 上的预层即是对偶范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 到 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 的函子.

充实范畴中也有类似概念. $\mathcal V$-充实单对象范畴上的预层, 也可视为 $\mathcal V$ 中的结合代数上的模.

性质

可表函子的余极限

每个预层 $X\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 都是可表函子的余极限: $$ X = \operatorname{colim}_{\mathbf{y}(c) \to X}\mathbf{y}(c). $$

预层意象

任何 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 取值的预层范畴都是意象; 见预层意象.

态射的计算

$$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}(X,Y) &= \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}( \operatorname{colim}_{c\to X}\mathbf{y}(c),Y)\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)} (\mathbf{y}(c),Y)\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)} (\mathbf{y}(c), \operatorname{colim}_{d\to Y}\mathbf{y}(d))\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{colim}_{d\to Y} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)} (\mathbf{y}(c), \mathbf{y}(d))\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{colim}_{d\to Y} \operatorname{Hom}_{\mathcal C} (c,d). \end{aligned} $$

例

群作用

群 $G$ 的作用等同于 $\mathbf{B}G$ 上的预层. 因此预层也可视为群作用的推广.

预层意象 [预层意象]

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预层意象指的是某范畴上 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 取值的预层构成的意象.

观念

作为集合范畴的推广

作为几何对象

关于译名 “意象”

定义

Grothendieck 意象

Giraud 公理

初等意象

下降观点

性质

指数对象与幂对象

例

层意象

预层意象

位象

初等意象

相关概念