观念
多项式函子是多项式函数 (形式幂级数) 的范畴化. 另见解析函子.
定义
设 $\mathcal C$ 为局部积闭范畴 (如意象), 固定两个对象 $X,Y\in\mathcal C$.
定义多项式函子 $\mathcal C_{/X}\to \mathcal C_{/Y}$ 为形如 $t_! p_* s^*$ 的函子, 其中 $t,p,s$ 如下图:
$$
X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y
$$
$t_!$ 是 $t^*$ 的左伴随, $p_*$ 是 $p^*$ 的右伴随.
直观上,
- $s^*$ 是在每个 $e\in E$ 上放一个来自 $X$ 的东西;
- $p_*$ 是对每个 $b \in B$ 将 $b$ 上的一堆东西相乘 (见依值积), 常常我们要求 $p$ 的纤维是有限集;
- $t_!$ 是对每个 $y\in Y$ 将 $y$ 上的一堆东西相加 (见依值和);
- 因此 $t_! p_* s^*$ 就是 “拿 $X$ 个不同的东西, 每个可以拿多份, 共有 $E$ 份; 然后将这 $E$ 份分成 $B$ 组; 将每一组乘起来, 将这 $B$ 个乘积再分成 $Y$ 组, 每一组加起来”. 这正是多项式的直观, 只是这里的 “项数” 未必有限.
注. 当 $p\colon E\to B$ 的纤维离散且有限时, 所得的多项式函子是解析函子.
为了最直接地说明问题, 我们考虑一个随意写下的例子 (见 Weber).
例. $\mathsf{Set}$ 上的函子
$$
f(X) = X^3 + 2X + 2
$$
是下图对应的多项式函子:
$$
1 \overset{s}{\leftarrow} 5 \overset{p}{\to} 5 \overset{t}{\to} 1,
$$
其中 $5=\{0,1,2,3,4\}$, 中间的映射 $p$ 满足 $p(0) = p(1) = p(2) = 0$, $p(3) = p(4) = 1$. 于是有
$$
\begin{aligned}
X&\overset{s^*}{\mapsto}(X,X,X,X,X)\\&\overset{p_*}{\mapsto}(X^3,X,X,1,1)\\&\overset{t_!}{\mapsto}X^3+2X+2.
\end{aligned}
$$
态射
定义多项式函子之间的态射为 Descartes 自然变换. 考虑交换图
$$
\begin{CD}
I @<{s}<< E @>{p}>> B @>{t}>> J \\
@| @VfVV @VVgV @| \\
I @<<{s'}< E' @>>{p'}> B' @>>{t'}> J,
\end{CD}
$$
其中方块
$$
\begin{CD}
E @>{p}>> B \\
@VfVV @VVgV \\
E' @>>{p'}> B'
\end{CD}
$$
是拉回, 则有自然变换
$$
\begin{aligned}
t_!p_*s^* &= t'_!g_!p_*f^*(s')^*\\
&= t'_! g_! g^* p'_* (s')^* \,(\star)\\
&\to t'_!p'_*(s')^*,
\end{aligned}
$$
其中 $(\star)$ 是 Beck–Chevalley 基变换.
直观上, $p\colon E\to B$ 的纤维是多项式的 “次数”, 而 $B$ 中有多项式的每个 “系数”. 多项式函子之间的 Descartes 自然变换就是变系数而不变次数的变换.
对每个复合条件的范畴 $\mathcal C$, 多项式函子及其 Descartes 自然变换构成 $\mathsf{Cat}$ 的子 $2$-范畴
$$
\mathsf{Poly}(\mathcal C) \to \mathsf{Cat},
$$
其对象为 $\mathcal C$ 的切片 $\mathcal C_{/X}$, $1$-态射为多项式函子, $2$-态射为 Descartes 自然变换.
性质
滤余极限
当多项式函子的每项次数均有限时, 该函子保持滤余极限.
复合
多项式的重要性质是: 多项式的复合仍是多项式. 多项式函子也是如此.
文献中记载着一种使用巨大交换图的证明 (见 Gepner–Haugseng–Kock 定理 2.1.8), 但我们使用一种类似于依值类型论的表述, 这样似乎更直观, 因为在语法的形式上, 它和 “多项式的复合仍是多项式” 的证明完全一致. 实际上这和那个巨大交换图证明说的是同一件事.
首先, 将图 $X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y$ 给出的多项式函子记为
$$
A(x) \mapsto \sum_{b\in t^{-1}(y)} \prod_{e\in p^{-1}(b)} A(s(e)).
$$
现设有两个图
- $X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y$,
- $Y \overset{u}{\leftarrow} F \overset{q}{\rightarrow} C \overset{v}{\rightarrow} Z$.
那么两个多项式函子的复合为
$$
A(x) \mapsto \sum_{c\in v^{-1}(z)} \prod_{f\in q^{-1}(c)} \sum_{b\in t^{-1}(u(f))} \prod_{e\in p^{-1}(b)} A(s(e)).\,\,\,\,\,(\star)
$$
我们的想法是将中间的 “和的积” 展开为 “积的和”, 从而将 $\Sigma\Pi\Sigma\Pi$ 化简为 $\Sigma\Sigma\Pi\Pi$, 再化简为 $\Sigma\Pi$.
$$
\begin{aligned}
&\prod_{f\in q^{-1}(c)}\sum_{b\in t^{-1}(u(f))} B(b)\\
&=\sum_{g\colon (f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))}\prod_{f\in q^{-1}(c)}B(g(f)),
\end{aligned}
$$
其中 $(f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))$ 是依值积类型 $\prod_{f: q^{-1}(c)}t^{-1}(u(f))$ 的简写.
于是 $(\star)$ 的右端等于
$$
\sum_{c\in v^{-1}(z),g\colon (f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))}\prod_{f\in q^{-1}(c), e\in p^{-1}(g(f))} A(s(e)).
$$
这便证明了它是多项式函子.
终对象的值与系数和
考虑
$$
X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y
$$
对应的多项式函子 $f=t_!p_*s^*\colon \mathcal C_{/X}\to\mathcal C_{/Y}$. 范畴 $\mathcal C_{/X}$ 的终对象为 $\mathrm{id}_X\colon X\to X$, 求其在函子 $f$ 下的值:
- $s^*\mathrm{id}_X = \mathrm{id}_E$;
- $p_*\mathrm{id}_E = \mathrm{id}_B$;
- $t_!\mathrm{id}_B = t$;
故有
$$
f(\mathrm{id}_X) = t.
$$
直观上, 多项式在 $1$ 处的取值是系数的和.
局部 (参数化) 伴随
多项式函子是局部右伴随 (又称参数化右伴随). 考虑
$$
X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y
$$
对应的多项式函子 $f=t_!p_*s^*\colon \mathcal C_{/X}\to\mathcal C_{/Y}$, 所谓局部右伴随是指 $f_{/X} = \colon \mathcal C_{/X}\to\mathcal C_{/f(X)}$ 是一个右伴随, 而由前面关于终对象处取值的讨论, $f_{/X} = p_*s^*\colon \mathcal C_{/X} \to\mathcal C_{/B}$; 其左伴随为 $s_! p^*\colon \mathcal C_{/B} \to \mathcal C_{/X}$.
例
恒等函子
$\mathcal C_{/X}$ 上的恒等函子是下图对应的多项式函子:
$$
X \leftarrow X \rightarrow X \to X.
$$
自由幺半群函子
集合范畴上的自由幺半群单子 $X\mapsto \bigsqcup_{n\in\mathbb{N}}X^n$ (即列表) 是下图对应的多项式函子:
$$
1\leftarrow \{(n,m)\in\mathbb{N}^2\mid n < m\} \overset{\mathrm{pr}_2}{\to}\mathbb{N}\to 1
$$