提升性质 [提升性质]

定义

对于某范畴中的态射 $u\colon A\to B$, $v\colon X\to Y$, 有方块 $$ \begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(B,X) & \rightarrow & \operatorname{Hom}(B,Y) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \operatorname{Hom}(A,X) & \rightarrow & \operatorname{Hom}(A,Y) \end{array} $$ 给出映射 $$ \operatorname{Hom}(B,X) \to\operatorname{Hom}(A,X)\times_{\operatorname{Hom}(A,Y)}\operatorname{Hom}(B,Y).\ (1) $$ 上式中右边的拉回又可理解为如下的方块的全体. $$ \begin{array}{ccc} A & \rightarrow & X \\ \downarrow & & \downarrow \\ B & \rightarrow & Y \end{array}\quad (2) $$ 对于给定的方块 $(2)$, 其对应的 $(1)$ 的纤维是如下的提升的全体. $$ \begin{array}{ccc} A & \rightarrow & X \\ \downarrow & \nearrow & \downarrow \\ B & \rightarrow & Y \end{array} $$ 若 $(1)$ 为同构, 则称 $u$ 关于 $v$ 有左提升性质, $v$ 关于 $u$ 有右提升性质, 记 $u \perp v$.

性质

关于自身提升

对于态射 $f$, 有 $f\perp f$ 当且仅当 $f$ 可逆.