单射 [单射]

定义

生象

生象范畴 $\mathsf{Ani}$ 中的单射就是 $(-1)$-截断映射. 映射 $f\colon Y\to X$ 是单射, 当且仅当它是 $X$ 的若干连通分支的含入.

一般范畴

定义一般范畴 $\mathcal C$ 中的态射 $f\colon X\to Y$ 是单射当且仅当对任意对象 $X\in\mathcal C$, $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Z,X) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(Z,Y) $$ 是单射.

参见 Ayala–Francis–Rozenblyum 5.1 节.

例

范畴的范畴

范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的单射是满足如下条件的函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$:

• $F$ 给出对象的生象的单射 $\mathcal C^{\simeq} \to \mathcal D^{\simeq}$;
• 对任意两个对象 $X,Y\in\mathcal C$, 映射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))$ 为单射.

注意, 上述条件比全忠实函子弱.