定义
用截断性定义
称一个生象 (或一般意象的对象) $X$ $n$-连通是指其 $n$-截断 $\tau_{\leq n} X$ 等于单点.
称一个映射 $f\colon X\to Y$ $n$-连通是指其作为俯意象的对象是 $n$-连通的. (特别地, 一个对象 $X$ 是 $n$ 连通的等价于映射 $X\to *$ 是 $n$ 连通的.)
在 $\mathsf{Ani}$ 中, 映射 $f\colon X\to Y$ $n$-连通等价于其每个纤维都 $n$-连通, 也等价于如下两个条件:
- 对于 $k\leq n$, $\pi_k(X,x) \to \pi_k(Y,f(x))$ 为同构;
- $\pi_{n+1}(X,x) \to \pi_{n+1}(Y,f(x))$ 为满射.
称一个对象或映射 $\infty$-连通是指其对任意 $n$ 都 $n$-连通.
用同伦群定义
称一个生象 $n$-连通是指其 $n$ 阶及以下同伦群平凡.
注意. 有些文献中对象的 $n$-连通性的定义与此处可能相差 $1$. 此处的定义的优点在于, 对象的 $n$-连通性与态射的 $n$-连通性相容: 一个对象 $X$ $n$-连通当且仅当唯一的态射 $X\to *$ 是 $n$-连通态射.
在 HoTT 中, 称一个映射 $n$-连通是指其纤维 $n$-连通. 注意传统拓扑学的 $n$-连通映射在HoTT 中称为 $(n-1)$-连通映射.
性质
“$n$-连通覆叠” 函子
在 $\infty$-意象 $\mathcal C$ 中, 带基点 $n$-连通对象构成带基点对象范畴 $\mathcal C_{*}$ 的余自反子范畴 $\mathcal C_{*,\geq n} \hookrightarrow \mathcal C_{*}$, 其右伴随是 “$n$-连通覆叠” 函子 $\tau_{\geq n}\colon \mathcal C_{*} \to \mathcal C_{*,\geq n}$.
对于带基点对象 $X$ 有纤维列
$$
\tau_{\geq n}X \to X \to \tau_{\leq n} X.
$$
对于不带基点的对象没有 $n$-连通覆叠函子. 例如 $n=1$ 时, 万有覆叠函子必须对带基点空间定义.
例
$n=-2$:
- 任何生象都是 $(-2)$-连通的.
- 任何映射都是 $(-2)$-连通的.
$n=-1$:
- $(-1)$-连通生象是非空生象.
- $(-1)$-连通映射是满射.
$n=0$:
- $0$-连通生象就是通常所说的非空连通生象.
- 函子 $\tau_{\geq 0}\colon \mathsf{Ani}_{*} \to \mathsf{Ani}_{*,\geq 0}$ 取出基点所在的连通分支.
$n=1$:
- $1$-连通生象就是通常所说的单连通生象.
- 函子 $\tau_{\geq 1}\colon \mathsf{Ani}_{*} \to \mathsf{Ani}_{*,\geq 1}$ 取出基点所在连通分支的万有覆叠.
球面
球面 $S^n$ 是 $(n-1)$-连通的.
性质
用对角线刻画
定理. 设 $n\geq 0$. 映射 $f\colon X\to Y$ $n$-连通当且仅当 $f$ 为满射且对角线 $\Delta_f \colon X\to X\times_Y X$ 为 $(n-1)$-连通映射.
用俯意象刻画
命题. 意象 $\mathcal C$ 中, 映射 $f\colon X\to Y$ $n$-连通当且仅当 $f^* \colon (\mathcal C_{/Y})_{\leq n} \to (\mathcal C_{/X})_{\leq n}$ 全忠实; 换言之, 对任意 $n$-截断映射 $Z\to Y$, $Z'\to Y$,
$$
\operatorname{Hom}_{Y}(Z,Z')\simeq \operatorname{Hom}_X(Z_X,Z'_X) \simeq\operatorname{Hom}_Y(Z_X,Z').
$$
假设 $f$ $n$-连通, 则 $Z_X \to Z$ 亦 $n$-连通, 而 $Z'\to Y$ $n$-截断, 由正交性得 $\operatorname{Hom}_{Y}(Z,Z')\simeq\operatorname{Hom}_Y(Z_X,Z')$. 另一方面, 假设有上述等价, 令 $Z=Y$, 得 $f\colon X\to Y$ 正交于所有 $n$-截断映射 $Z'\to Y$, 故 $X\to Y$ $n$-连通. $\square$
相关概念
截断性
($n$-连通, $n$-截断) 分解
超完备意象