观念
局部系统是空间上局部平凡的 “(上同调) 系数的系统”, 等同于底空间的基本群胚出发的函子, 即基本群的表示. 有时基本群甚至是通过这一原则反向构造出来的; 见淡中对偶.
定义
生象上
生象 $A$ 上的局部系统就是 $A$ (视为 $\infty$-范畴) 出发的函子. 其它一些种类的几何对象上的局部系统有时可化为其对应的生象上的局部系统.
拓扑空间上
拓扑空间 $X$ 上的局部系统 (local system), 又称局部常值层 $\mathcal L$ 是满足如下条件的层: 每个点 $x$ 都有一个邻域 $U$ 使得 $\mathcal L|_U$ 是常值层.
命题. 对于道路连通空间, 局部常值的每个点上的茎都同构于 $L$. 此时局部系统一一对应于同态
$$
\rho\colon \pi_1(X)\to \operatorname{Aut}L,
$$
称为单值表示 (monodromy representation).
证明. 首先, $[0,1]$ 上的局部系统都是常值层, 所以 $X$ 上的环路给出 $L$ 的自同构, 这定义了同态 $\rho\colon \pi_1(X)\to\operatorname{Aut}L$.
反之, 给定 $\rho$, 考虑万有覆叠 $\widetilde X$ 上的常值层 $\underline{L}$, 其中叠变换 (deck transform) 下与 $\rho$ 等变的截面给出 $X$ 上的局部系统 $\mathcal L(\rho)$,
$$
\mathcal L(\rho)(U) =\left\{s\in \underline{L}(\pi^{-1}(U)): \theta \circ s = \rho(\theta) s \forall \theta\in \operatorname{Deck}(\widetilde X / X)\right\}.
$$
其中 $\operatorname{Deck}(\widetilde X/X)\simeq\pi_1(X)$.
由此亦可见, 局部常值等价于拉回到万有覆盖上是常值层.
意象的对象上
考虑 “生象的生象” $\mathrm{Ani}\in \mathsf{Ani}$ (忽略宇宙问题, 或者引入不同宇宙层级). 这在一个 $\infty$-意象 $\mathcal C$ 中给出 “常值层”对象 $\mathrm{Ani}\in\mathcal C$. 此时对于对象 $X\in\mathcal C$, 定义 $X$ 上的局部系统为映射
$$
X \to \mathrm{Ani}.
$$
“带基点生象的生象” $\mathrm{Ani}_*$ 到 $\mathrm{Ani}$ 有一投影 $\mathrm{Ani}_* \to \mathrm{Ani}$, 而映射 $X\to \mathrm{Ani}$ 也即等同于 “$X$ 上的一族生象”, 即如下的拉回.
$$
\begin{array}{ccc}
Y & \rightarrow & \mathrm{Ani}_* \\
\downarrow & & \downarrow \\
X & \rightarrow & \mathrm{Ani}
\end{array}
$$
todo: 基本群胚
群的局部系
在某些场合 (如几何 Langlands 对应)中, 我们对固定的群 $G$ 谈论 $G$-局部系统.
例
设 $V$ 为光滑流形 $X$ 上的向量丛, 配有可积联络
$$
\nabla\colon V\to V\otimes \Omega_X,
$$
则 $V$ 的平坦截面构成局部系统.
进一步, $X$ 上带平坦联络的向量丛的范畴等价于 $X$ 上向量空间局部系统的范畴, 这是 Riemann–Hilbert 对应的例子.
向量丛的联络有纯代数的版本. 然而, 由带平坦联络的向量丛到局部系统的对应在本质上是超越 (transcendental) 的: $X$ 上两点 $x$ 与 $y$ 之间的道路没有纯代数的对应概念.
反思流形上带联络的向量丛, 我们发现 (不严谨地说) 对于足够接近的两点 $x,y$, 有典范的同构 $V_x\simeq V_y$. 而对于代数簇, Grothendieck 的概形理论可以描述无穷接近的点.