本文是杨家同于 2026 年 1 月在求真书院形式化数学冬令营上的讲座的笔记, 加入了个人的见解. 假想的读者是有一定数学成熟度但对类型论没有了解的同学.
什么是类型论
类型论是一种不同于集合论的做数学的方法, 因其在处理逻辑问题上的优越性, 而在计算机形式化数学这一领域得到广泛应用. 类型论的首要特征是给每个对象一个类型. 常量, 变量, 函数, 命题, 命题的证明, … 每个对象有唯一且可计算的类型; 甚至 (在某些类型论中) 一个类型也有它的类型. 命题是类型的原则让逻辑学成为类型论的一个子集.
与之相比, 集合论中每个对象的类型都是 “集合”, 这种理论上的简洁造成了实操上的混乱. 例如用集合论定义自然数, $1 = \{\varnothing\}$, 而 $2 = \{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, 我们便可写出 $1\in 2$ 这样正确但毫无意义的话. 这句话在类型论中是不允许的, 因为 $1,2$ 只是类型 $\mathbb{N}$ 的元素, 它们之间无法谈论 “$\in$” 这个关系. 懂得道理的人类可以自觉避免说出无意义的话, 那么如何让死板的机器也能永远做正确的事呢? 最好的办法就是明确地记录每个对象的身份, 用一套成体系的算法计算出每个构造的新对象的类型; 这样, 机器就能确保它说的一句话是有数学意义的.
其实, 类型论的思想已经隐约地存在于每一位数学家的心中. 我们做的事情只是把它明确地表达出来.
类型的三要素
设想有两个类型 $A, B$, 我们希望定义一个类型 $A\times B$, 称为积类型 (product type). 这个类型的一个元素相当于 $A$ 的一个元素和 $B$ 的一个元素, 也即一个二元组 $(a,b)$. 类型论期待我们用如下的方式刻画这个类型:
- 如何创建这个类型, 称为形成法则 (formation rule); 这里, 由两个已知类型 $A,B$ 可以形成这个类型 $A\times B$.
- 如何引入这个类型的元素, 称为引入法则 (introduction rule); 这里, 由类型 $A$ 的元素 $a$, 类型 $B$ 的元素 $b$, 可以得到类型 $A\times B$ 的元素 $(a,b)$.
- 如何使用这个类型的元素, 称为消去法则 (elimination rule); 这里, 由类型 $A\times B$ 的元素 $p$, 可以拆出来类型 $A$ 的元素 $\mathrm{pr}_1(p)$ 和类型 $B$ 的元素 $\mathrm{pr}_2(p)$.
- 作为对消去法则的补充, 还需要我们规定消去法则如何作用于引入法则, 又称计算法则; 这里, $\mathrm{pr}_1((a,b)) = a$, $\mathrm{pr}_2((a,b)) = b$.
类型论中的所有类型都是用这样三个要素刻画的.
下一个例子是 “和类型” (sum type) $A+B$.
- 形成法则: 由两个类型 $A,B$ 可构造和类型 $A+B$.
- 引入法则: 由 $a : A$ 可得 $L(a) : A+B$, 由 $b : B$ 可得 $R(b) : A+B$.
- 消去法则: 由 $f : A\to C$, $g : B\to C$ 可得 $(f,g) : A+B \to C$.
- 计算法则: $(f,g)(L(a)) = f(a)$, $(f,g)(R(b)) = g(b)$.
和类型的消去法则体现了范畴论中的和的泛性质.
函数类型 (function type) $A\to B$.
- 形成法则: 由两个类型 $A,B$ 可构造函数类型 $A\to B$.
- 引入法则: 由含一个变量 $x : A$ 的表达式 $\Phi(x) : B$, 可得 $(x\mapsto \Phi(x)) : A \to B$.
- 消去法则: 由 $a : A$, $f : A\to B$, 可得 $f(a) : B$.
- 计算法则: 对于 $a : A$, $f = (x\mapsto \Phi(x)) : A\to B$, 有 $f(a) = \Phi(a)$. 此外, $(x\mapsto f(x))$ 和 $f$ 是一个意思.
空类型 (empty type).
- 形成法则: 我们规定有一个类型 $\mathbf{0}$, 称为空类型.
- 引入法则: 没有任何方法可以手动引入 $\mathbf{0}$ 的元素.
- 消去法则: 由 $x : \mathbf{0}$, 可得任何类型 $C$ 的元素 $\mathsf{elim}_{\mathbf{0}}(x) : C$. 这就像是空集到任何集合都有一个映射.
单元类型 (unit type).
- 形成法则: 我们规定有一个类型 $\mathbf{1}$, 称为单元类型.
- 引入法则: 有一个元素 $\star : \mathbf{1}$.
- 消去法则: 对 $a : A$, 有一个函数 $f : \mathbf{1} \to A$, $f(\star) = a$.
类似地, 可定义有两个元素的类型 $\mathbf{2}$.
一种重要的定义类型的模式称为归纳类型 (inductive type), 以自然数类型为例. (其实空类型, 单元类型这些也是归纳类型, 不过对初学者可能有点烧脑, 还是从熟悉的自然数开始介绍.)
- 形成法则. 我们规定有一个类型 $\mathbb{N}$.
- 引入法则. 有一个元素 $0 : \mathbb{N}$; 对任意 $n : \mathbb{N}$ 有一个元素 $n' : \mathbb{N}$, 称为 $n$ 的后继.
- 消去法则 (又称归纳). 对任意类型 $C$, 要给出一个函数 $f : \mathbb{N}\to C$, 只要给出 $f(0) : C$, 以及 $f(n') : C$ 的表达式, 其中 $f(n') : C$ 的表达式可以使用前一项 $f(n)$.
例如, 要定义 $\mathrm{Even} : \mathbb{N} \to \mathbf{2}$, 只需给出 $\mathrm{Even}(0) = 1$, $\mathrm{Even}(1) = 0$, $\mathrm{Even}(n'') = \mathrm{Even}(n)$.
归纳的一种理解方式是, 在消去法则中, 当我们要使用一个元素时, 不妨设它具有某种形式 (来自某个引入法则). 例如要使用一个自然数 $n$, 不妨设它具有两种形式之一: 或者是 $0$, 或者是某个自然数 $n$ 的后继. 后面我们将更严格地讲解归纳类型.
类型的类型: 宇宙
一个类型也有它的类型. 粗略地说, 所有类型都是某个类型 $\mathcal U$ 的元素, 称之为宇宙 (universe). 但假若 $\mathcal U$ 也是 $\mathcal U$ 的元素会导致矛盾; 实践上人们的做法是规定一串宇宙 $\mathcal U_1,\mathcal U_2,\cdots$, “普通” 的类型是宇宙 $\mathcal U_1$ 的元素, 而 $\mathcal U_1$ 是 $\mathcal U_2$ 的元素, 以至于无穷.
但在多数情况下, 我们不需要明确所处的宇宙层级, 而是以笼统的 $\mathcal U$ 代替.
比通常宇宙低一个层级的宇宙是命题的类型 $\mathsf{Prop}=\mathcal U_0$. 所谓命题是满足如下条件的类型 $P$: 对任意 $x,y : P$ 有 $x=y$. 在 Curry–Howard 对应之下, 这意味着一个命题的任意两个证明都视为相等.
依值类型: 到宇宙的函数
宇宙 $\mathcal U$ 也是 (某个更大的宇宙的) 类型, 从而我们可以谈论类型 $A$ 到 $\mathcal U$ 的函数 $B\colon A \to \mathcal U$, 称为依值类型 (dependent type). 它对每个 $a : A$ 都指定了一个类型 $B(a)$.
例如, 固定 $A : \mathcal U$, 对每个自然数 $n : \mathbb{N}$ 有一个类型 $A^n$, 那么这些类型合起来构成了一个依值类型 $V_A \colon \mathbb{N} \to \mathcal U$.
这个依值类型是通过归纳定义的:
$V_A(0) = \mathbf{1}$, $V_A(n') = V_A(n) \times A$.
写给有相关背景的读者: 依值类型是代数拓扑中的纤维化 (fibration) (纤维丛) 或代数几何中相对概形 (relative scheme) 的类比. 准确地说, 它们都是纤维范畴的例子, 而纤维范畴可以作为依值类型的范畴语义.
对一个依值类型 $B \colon A \to\mathcal U$ 我们可以做两件事: 把每个类型 “加起来”, 叫做依值和 (dependent sum)
$$
\sum_{a : A} B(a),
$$
以及把每个类型 “乘起来”, 叫做依值积 (dependent product)
$$
\prod_{a : A} B(a).
$$
两者分别是乘积类型和函数类型的推广, 因为当 $B(a)$ 不依赖于 $a$ 时, $\sum_{a : A} B(a)$, $\prod_{a : A} B(a)$ 分别退化为 $A\times B$, $A\to B$. 因此, 有些文献或形式化系统中也将 $\sum_{a : A} B(a)$ 记为 $(a : A)\times B(a)$, 将 $\prod_{a : A} B(a)$ 记为 $(a : A) \to B(a)$.
依值积类型的元素又称为依值函数. 归纳类型 (如 $\mathbb{N}$) 的消去法则可以升级为依值函数的构造法则, 以 $\mathbb{N}$ 为例:
要给出一个依值函数 $f\colon (n : \mathbb{N}) \to C(n)$, 只要给出 $f(0) : C(0)$, 以及 $f(n') : C(n')$ 的表达式, 依赖于 $f(n) : C(n)$, 这相当于给出函数 $C(n) \to C(n')$.
如果依值类型类比于纤维丛, 那么依值和类比于纤维丛的全空间, 而依值积类比于纤维丛的截面空间.
写给有范畴论背景的读者: 依值和类型与依值积类型的范畴语义分别是拉回的左伴随和右伴随.
类型 $A$ 到命题宇宙的函数 $P \colon A \to \mathcal U_0$ 是类型 $A$ 上的谓词 (predicate), 也可以理解为 $A$ 的 “子集”. 换言之, 子集是一种特殊的依值类型, 其中每个类型都是命题. 对于谓词 $P \colon A \to \mathcal U_0$, 其对应的子类型是依值和 $\sum_{a : A} P(a)$, 带有到 $A$ 的 “投影” (或称 “含入”) 映射.
命题即类型: Curry–Howard 对应
类型论不仅能让机器保证它说出的话有意义, 而且能让它保证作出的证明是对的 (而这当然是我们做形式化数学最关心的事情). 这是因为 “有意义” 和 “对” 根本是一回事: 由于命题即类型 (Propositions as Types) 的原则, 在类型论中检查一个元素的类型是否正确, 和检查一个证明是否正确, 做的是同一件事.
比如, 检查 $(a,b)$ 是类型 $A\times B$ 的元素, 就是分别检查 $a$ 是 $A$ 的元素, 以及 $b$ 是 $B$ 的元素. 与之对应地, 检查 $(p,q)$ 构成命题 $P \land Q$ 的证明, 就是检查 $p$ 构成 $P$ 的证明, 以及 $q$ 构成 $Q$ 的证明.
| 类型论 | 逻辑 |
|---|
| $a : A$ | $a$ 是 $A$ 的证明 |
| $A\times B$ | $A$ 且 $B$ |
| $A + B$ | $A$ 或 $B$ |
| $A\to B$ | $A$ 蕴涵 $B$ |
| $\mathbf 0$ | 假 |
| $\mathbf 1$ | 真 |
| $\sum_{a : A}B(a)$ | 存在 $a$ 使得 $B(a)$ |
| $\prod_{a : A} B(a)$ | 对任意 $a$ 有 $B(a)$ |
直觉主义逻辑
不是每个经典逻辑的永真命题都能通过 Curry–Howard 对应得到证明. 一个重要的例子是排中律 (law of excluded middle)
$$
A + \neg A = A + (A \to \mathbf{0}).
$$
要证明这个命题 (构造这个类型的元素), 我们只能要么构造 $A$ 的元素, 要么构造映射 $A\to \mathbf{0}$. 但是当我们不知道 $A$ 的更多信息时, 无论哪一边都没有办法构造, 进退两难.
类似地, 双重否定律 (law of double negation)
$$
\neg\neg A \to A
$$
也不能证明.
在需要经典逻辑的类型论中, 这些定律是作为公理提供的. 所谓公理就是人为规定某个特定类型的一个元素.