观念
可表现范畴 $\mathcal C$ 是一个可能很大的范畴, 却能由较小的一族对象 $\mathcal S\hookrightarrow\mathcal C$ 控制.
此时, $\mathcal C$ 可表现为预层范畴 $\mathsf{Psh}(\mathcal S)$ 的局部化.
范畴论中的许多结论依赖于范畴的可表现性, 例如伴随函子定理, 以及刻画意象的 Giraud 公理.
另一种重要的观点: 从范畴逻辑学的角度, 可表现范畴是本质代数理论的模型的范畴.
定义
对于正则基数 $\kappa$ (通常取为 $\aleph_0$, 见紧生成范畴), 称满足如下等价条件的范畴 $\mathcal C$ 为 $\kappa$-可表现范畴:
称 $\mathcal C$ 为可表现范畴是指如下等价条件成立:
- 存在一个正则基数 $\kappa$, 使得 $\mathcal C$ 为 $\kappa$-可表现范畴.
- 有一个小范畴到 $\mathcal C$ 的函子 $j\colon \mathcal S\hookrightarrow\mathcal C$, 使得米田扩张 $\mathsf{Psh}(\mathcal S) \to \mathcal C$ 是预层范畴 $\mathsf{Psh}(\mathcal S)$ 关于某个小态射族 $W \subset \mathsf{Fun}([1],\mathsf{Psh}(\mathcal S))$ 的局部化.
可表现范畴以及保持余极限的函子构成的范畴记为 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$, 其中 $\mathrm{L}$ 的含义是这些函子是左伴随 (伴随函子定理).
可表现范畴以及保持极限的函子构成的范畴记为 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{R}}$. 有
$$
\mathsf{Pr}^{\mathrm{R}} \simeq (\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}})^{\mathrm{op}}.
$$
有这样一种观点: “范畴” 与 “可表现范畴” 可以是处于平等地位的两个概念, 每个都可以视为另一个的特殊情况, 但是嵌套会使得宇宙变大.
性质
张量积
可表现范畴的范畴 $\mathsf{Pr}$ 上有一个对称幺半范畴结构, 称为 Lurie 张量积.
命题-定义. 对于可表现范畴 $\mathcal C,\mathcal D$, 存在万有的可表现范畴 $\mathcal C\otimes\mathcal D$, 带有一个双线性 (即保持每个分量的余极限) 的函子
$$
\mathcal C\times \mathcal D \to \mathcal C\otimes\mathcal D.
$$
可表现范畴的张量积的单位是 $\mathsf{Ani}$.
极限
可表现范畴的极限即是其作为范畴的极限. 换言之, 遗忘函子 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}} \to \mathsf{Cat}$ 保持极限.
余极限
可表现范畴的余极限, 不是其作为范畴的余极限; 但可以如下计算: 图表
$X\colon I \to \mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$
给出 $X^{\mathrm{op}}\colon I^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Pr}^{\mathrm{R}}$, 而其余极限可计算为
$$
\operatorname{colim}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}}X = \operatorname{lim}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{R}}}X^{\mathrm{op}}= \operatorname{lim}^{\mathsf{Cat}} X^{\mathrm{op}}.
$$
换言之, 遗忘函子 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{R}} \to\mathsf{Cat}$ 保持极限.
对于指标范畴的代换 $I\to J$, 有如下伴随.
$$
\begin{array}{ccc}
\operatorname{colim}_{i\in I}X_i & = & \operatorname{lim}_{i\in I^{\mathrm{op}}}X_i \\
\downarrow & \dashv & \uparrow \\
\operatorname{colim}_{j\in J}X_j & = & \operatorname{lim}_{j\in J^{\mathrm{op}}}X_j
\end{array}
$$
例. 对任意集合 $I$, 可表现范畴的 $I$-余积实际上等同于可表现范畴的积, 也等同于其作为范畴的积:
$$
\coprod_{i\in I}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}} \mathcal C_i \overset{\simeq}{\to} \prod_{i\in I}^{\mathsf{Cat}} \mathcal C_i \simeq \prod_{i\in I}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}} \mathcal C_i.
$$
这是一个重要的性质, 称为半加性 (semiadditivity).
例
意象
(由景表现的) 意象是可表现范畴.
其中, 由小范畴 $\mathcal C$ 上的平凡 Grothendieck 拓扑表现的意象, 也即预层意象 $\mathsf{Fun}(\mathcal C ^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$, 是 $\mathcal C$ 生成的自由可表现范畴.
代数理论的模型的范畴
见紧生成范畴.
相关概念
带有代数结构的范畴
若 $\mathcal C$ 为可表现对称幺半范畴, $A$ 为其中的交换代数, 则模范畴 $\mathsf{Mod}(A)$ 为可表现对称幺半范畴.
相关讲义: Gestalten - 在范畴上做代数
高阶可表现范畴
见高阶可表现范畴.