共尾函子 [共尾函子]

观念

共尾函子 (cofinal functor) 又叫终函子 (final functor), 是不改变余极限的指标代换, 即对于共尾函子 $f\colon I\to J$ 以及图表 $X\colon J\to \mathcal C$, $$ \operatorname{colim}_{i\in I}X_{f(i)}\to \operatorname{colim}_{j\in J}X_j $$ 为等价.

关于英文名称的注. Cofinal functor 的前缀 co- 是 “共” (来自拉丁文 cum) 而非 “余” (来自拉丁文 contra) 的意思.

对偶的概念是共首函子.

定义

命题-定义. 对于函子 $f\colon I\to J$, 若下列等价条件成立, 则称之为共尾函子:

• 对任意 (有余极限的) 图表 $X\colon J\to \mathcal C$, 比较映射 $\operatorname{colim}_{i\in I}X_{f(i)}\to \operatorname{colim}_{j\in J}X_j$ 为等价;
• 同上一个条件, 但只要求 $\mathcal C$ 为 $\mathsf{Ani}$ 的情形;
• 对任意图表 $X\colon J\to \mathcal C$ 以及 $c\in\mathcal C$, 比较映射 $\operatorname{Hom}(X,\operatorname{const}_J c)\to \operatorname{Hom}(Xf,\operatorname{const}_I c)$ 为等价;
• 对任意 $j\in J$, 范畴 $(j\downarrow f):=\{(i,u\colon j\to f(i))\}$ 弱可缩 (即底层生象是可缩的).
• 对任意 $j\in J$, $$ \int_{i\in I}\operatorname{Hom}_J(j,f(i)) = *. $$

核心观察是由于余端的 Fubini 定理, $$ \begin{aligned} \operatorname{colim}_{i\in I}X_{f(i)} &=\int_{i\in I}X_{f(i)}\\ &\simeq\int_{i\in I}\int_{j\in J}\operatorname{Hom}_{J}(j,f(i))\times X_j\\ &\simeq\int_{j\in J}\Big(\int_{i\in I}\operatorname{Hom}_{J}(j,f(i))\Big)\times X_j. \end{aligned} $$

另外, 范畴 $(j \downarrow f)$ 的底层生象 (把所有态射取逆得到的 $\infty$-群胚) 正是 $\int_{i\in I}\operatorname{Hom}_{J}(j,f(i))$.

例

伴随

命题. 右伴随是共尾函子. 或者说有左伴随的函子是共尾函子.

证明. 设函子 $f\colon I\to J$ 有左伴随 $l$, 则 $$ (j\downarrow f) = \{(i,u\colon j\to f(i))\} = \{i,l(j)\to i\} = I_{l(j)/} $$ 有始对象, 当然可缩; 另一种看法是 $$ \int_{i\in I}\operatorname{Hom}_J(j,f(i)) = \int_{i\in I}\operatorname{Hom}_I(l(j),i)=*. $$