幂等态射 [幂等态射]

定义

考虑 $(1,1)$-范畴 $\mathsf{Idem}$, 其有一个对象 $*$ 和两个态射 $\mathrm{id},e\colon *\to *$, 满足 $e^2=e$. 换言之, $$ \mathsf{Idem} = \mathrm{B}\langle e \mid e^2 = e \rangle. $$

定义范畴 $\mathcal C$ 中的幂等态射 (idempotent) 为函子 $\mathsf{Idem}\to\mathcal C$.

性质

幂等性为结构

对于一般 $(\infty,1)$-范畴 $\mathcal C$ 中的态射 $f\colon X\to X$, 其幂等是结构而非性质. 换言之, 生象的映射 $$ \operatorname{Fun}(\mathsf{Idem},\mathcal C)\to \mathsf{Fun}(\Delta^1,\mathcal C) $$ 不是 $(-1)$-截断的.

分裂性

考虑 $(1,1)$-范畴 $\mathsf{Ret}$, 其有两个对象 $x,y$,

• $\operatorname{Hom}(x,x) = \{\mathrm{id}_x,e\}$, $e^2=e=ir$,
• $\operatorname{Hom}(x,y) = \{r\}$,
• $\operatorname{Hom}(y,x) = \{i\}$,
• $\operatorname{Hom}(y,y) = \{\mathrm{id}_y\}$.

有明显的函子 $\mathsf{Idem} \to \mathsf{Ret}$.

若函子 $\mathsf{Idem} \to \mathcal C$ (对应幂等态射 $f\colon X\to X$) 可延拓为 $\mathsf{Ret} \to \mathcal C$, 则称该幂等态射分裂 (split).

命题. 一个幂等态射分裂, 当且仅当对应的函子 $\mathsf{Idem} \to \mathcal C$ 存在极限或余极限; 此时极限和余极限都是同一个对象, 即 $y\in\mathsf{Ret}$ 在 $\mathcal C$ 中的像.