百科. 余端 [余端]

观念

余端是端的对偶概念.

对于函子 $F\colon \mathcal C\to \mathsf{Set}$, $G\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, 余端 $$ \int_{c\in\mathcal C} F(c) \times G(c) $$ 可视为可测空间上的函数对测度积分的类比或范畴化, 其中 $F$ 是 “被积函数”, $G$ 是 “测度”. 这个余端也可理解为代函子 $F\colon 1\to \mathcal C$ 与 $G\colon \mathcal C\to 1$ 的复合, 也即模的张量积. (当然, 这里的范畴也可以改成 $\mathcal V$-充实范畴, $\mathsf{Set}$ 改成 $\mathcal V$.)

$G = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,X)$ 是 “delta 分布” 的类比, $$ \int_{c\in \mathcal C} F(c) \times \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,X) \simeq F(X). $$

例