刚性幺半范畴 [刚性幺半范畴]

百科
SimplicialCat

定义

设 $\mathcal A$ 为稳定幺半范畴. 若如下条件成立, 则称其刚性:

$1_{\mathcal A}$ 为紧对象;
乘法函子 $\mathrm{mult}\colon \mathcal A\otimes\mathcal A \to \mathcal A$ 的右伴随 $\mathrm{mult}^R$ 为连续函子;
函子 $\mathrm{mult}^R\colon \mathcal A\to\mathcal A\otimes\mathcal A$ 为 $\mathcal A$-双模的同态 (它本来只是松同态).

参考 Gaitsgory–Rozenblyum.

性质

基变换条件

刚性幺半范畴的条件中, $\mathrm{mult}^R$ 为 $\mathcal A$-双模同态的条件表明下图为交换图.

换言之, 由有限集的推出图 $$ \begin{array}{ccc} 4 & \rightarrow & 3 \\ \downarrow & & \downarrow \\ 2 & \rightarrow & 1 \end{array} $$ 诱导的交换图 $$ \begin{array}{ccc} \mathcal A\otimes\mathcal A \otimes \mathcal A\otimes\mathcal A & \rightarrow & \mathcal A\otimes\mathcal A \otimes\mathcal A \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathcal A\otimes\mathcal A & \rightarrow & \mathcal A \end{array} $$ 满足基变换条件.

对象的可对偶性

对于刚性范畴 $\mathcal A$ 中的紧对象 $a$, 函子 $a \otimes -\colon \mathcal A\to\mathcal A$ 的右伴随由如下复合给出: $$ G\colon \mathcal A \overset{\mathrm{mult}^R}{\longrightarrow} \mathcal A\otimes\mathcal A \overset{\operatorname{Hom}(a,-)\otimes \mathrm{id}}{\longrightarrow} \mathsf{Sp}\otimes\mathcal A=\mathcal A. $$ 具体地, $$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(a\otimes b,c)&\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal A\otimes\mathcal A}(a\boxtimes b,\mathrm{mult}^R(c))\\ &\simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(b,G(c)). \end{aligned} $$ 这说明 $a$ 可对偶.

关联页面

几何 Satake 等价 [Geo-Sat-eq]

讲义
SimplicialCat

参考

Gaitsgory 等人 2010 春季的几何表示论讨论班,
朱歆文的讲义 An introduction to affine Grassmannians and the geometric Satake equivalence.

不幸的是, 这两个文献分别讨论 D-模和偏屈层, 两者的实质内容相同, 但我暂时不知道如何转换, 只能照抄原文.

Hecke 叠: 动机

设 $X$ 为光滑曲线.

定义一点 $x\in X$ 处的 Hecke 叠 $\mathcal H_{X^n}$ 为如下对象的模空间:

$X$ 上的 $G$-主丛 $T_1, T_2$, 配备 $T_1$ 和 $T_2$ 在 $X \setminus \{x\}$ 上的同构 $\alpha$.

由 $(T_1,T_2,\alpha)$ 分别投影到 $T_1$, $T_2$, 得到 “卷积图” $$ \mathrm{Bun}_G \overset{\overleftarrow{h_x}}{\longleftarrow} \mathcal H_x \overset{\overrightarrow{h_x}}{\longrightarrow} \mathrm{Bun}_G. $$

回忆仿射 Grassmann 空间 $\mathrm{Gr}_G$ 是如下对象的模空间:

形式圆盘 $\mathbb D$ 上的 $G$-主丛 $T$, 配备 $T$ 在去心形式圆盘上的平凡化.

记 $\widehat {\mathcal K}_x$ 为 $X$ 在 $x$ 处的完备局部域 (对应 $x$ 处的去心形式圆盘), 它是完备化局部环 $\widehat {\mathcal O}_x$ (对应 $x$ 处的形式圆盘) 的分式域. 我们常选取 “单值化参数” 得到同构 $\widehat {\mathcal K}_x \simeq \mathbb{C}(\!(t)\!)$, $\widehat {\mathcal O}_x\simeq\mathbb{C}[\![t]\!]$. 此时记 $\widehat {\mathcal K}_x$ 为 $\widehat {\mathcal K}$, $\widehat {\mathcal O}_x$ 为 $\widehat {\mathcal O}$.

记 $G(\widehat {\mathcal K})$ 为 $\operatorname{Spec}\widehat {\mathcal K}$ 到 $G$ 的映射叠, $G(\widehat {\mathcal O})$ 类似. 朱文作 $LG, L^+G$.

那么 $\mathrm{Gr}_G$ 的元素相当于去心形式圆盘上的 $G$-值函数, 模去整个形式圆盘上的 $G$-值函数: $$ \mathrm{Gr}_G \simeq G(\widehat {K}) / G(\widehat {\mathcal O}). $$

观察. $\mathcal H_x$ 在 $\mathrm{Bun}_G$ 上一点 $T_1$ 处的纤维非典范地同构于 $\mathrm{Gr}_G$. 这是因为, 我们可非典范地选取 $T_1$ 在 $\mathbb D$ 上的一个平凡化, 那么这给出如下两种数据之间的等价:

$X$ 上的另一个 $G$-主丛 $T_2$, 配备 $T_1$ 和 $T_2$ 在 $X \setminus \{x\}$ 上的同构;
$\mathbb D$ 上的 $G$-主丛 $T_2|_{\mathbb D}$, 配备其在去心形式圆盘上的平凡化.

命题. $\mathcal H_x$ 是 $\mathrm{Bun}_G$ 上的 $\mathrm{Gr}_G$-丛, 结构群为 $G(\widehat {\mathcal O})$.

因此, 对于 $\mathrm{Gr}_G$ 上的 $G(\widehat {\mathcal O})$-等变 D-模 $F$, 可将其 “拉回” 为 $\mathcal H_x$ 上的 D-模 $\widetilde {F}$ 并以此定义 Hecke 函子 $$ H_x^F\colon M\mapsto (\overrightarrow{h}_x)_! \big[ (\overleftarrow{h}_x)^* M \otimes \widetilde {F} \big]. $$

分解 Grassmann 空间

弧群, 环路群, 仿射 Grassmann 空间, Hecke 叠等等对象不仅可以在一个点 $x\in X$ 上定义, 而且可以

同时对所有 $x\in X$ 定义, 以及
在多个点 $(x_i\in X)$ 上定义,

这些数据构成分解 (factorization) 结构.

定义分解 Grassmann 空间 (factorizable Grassmannian) $\mathrm{Gr}_n = \mathrm{Gr}_{G,X^n}$ 为如下对象的模空间:

$X$ 上的 $G$-主丛 $T$, 以及 $X$ 的 $n$ 个点 $(x_i)$ (允许相同), 配备 $T$ 在 $X \setminus \bigcup \{x_i\}$ 上的平凡化.

对所有自然数 $n$, 空间 $\mathrm{Gr}_{G,X^n}$ 共同构成一个分解结构, 大致如下:

设 $p \colon \{1,\cdots,n\} \to \{1,\cdots,m\}$ 为分划, 记 $\Delta_p \colon X^m \to X^n$ 为对应的 “对角” 映射, 则有同构 $$ {\mathrm{Gr}_{n}} |_{\Delta_p} \simeq {\mathrm{Gr}_m}. $$ (直观: $n$ 个点有一些重复, 相当于只有 $m$ 个点)
设 $p \colon \{1,\cdots,n\} \to \{1,\cdots,m\}$ 为分划, 各组大小为 $n_i$. 记 $U_p\subset X^n$ 为 “不同组的分量互不相等” 的点构成的开子空间. 那么 $$ {\mathrm{Gr}_{n}} |_{U_p} \simeq \Big({\prod_{}{\mathrm{Gr}_{n_i}}}\Big)\Big|_{U_p}. $$ (直观: 将 $n$ 个点按互不相交的区域分为若干组)
对于对称群 $S_n$ 在 $X^n$ 上的作用, $\mathrm{Gr}_{n}$ 有等变结构.
上述结构之间还有一些相容性, 此处就不具体描述了.

$\mathrm{Gr}_{G,X^n}$ 还可以写成 “相对环路群” 对 “相对弧群” 的商: $$ \mathrm{Gr}_{G,X^n} = G(\widehat {\mathcal K})_n / G(\widehat {\mathcal O})_n, $$ 其中 $G(\widehat {\mathcal K})_n$, $G(\widehat {\mathcal O})_n$ 分别是如下对象的模空间:

$X$ 的 $n$ 个点 $(x_i)$, 以及去心形式圆盘上的 $G$-值函数 $g\in G(\widehat {X}_{\{x_i\}}\setminus \{x_i\})$;
$X$ 的 $n$ 个点 $(x_i)$, 以及形式圆盘上的 $G$-值函数 $g\in G(\widehat {X}_{\{x_i\}})$;

其中 $\widehat {X}_{\{x_i\}}$ 是各个形式圆盘 $\operatorname{Spec}\widehat {\mathcal O}_{X,x_i}$ 的并.

观察. $\mathrm{Gr}_{G,X^1}$ 是 $X$ 上的 $\mathrm{Gr}_G$-丛, 结构群为 $\operatorname{Aut}(\widehat {\mathcal O})$. 例如当 $X$ 本身是小圆盘时, $\mathrm{Gr}_{G,X^1} = \mathrm{Gr}_G\times X$.

Satake 范畴

定义 Satake 范畴, 又称球面 Hecke 范畴

$\mathsf{Sph}$ 为 $\mathrm{Gr}_{G}$ 上的 $G(\widehat {\mathcal O})$-等变 D-模范畴 (朱文作 $\mathsf{Sat}_G$);
$\mathsf{Sph}_n$ 为 $\mathrm{Gr}_{G,X^n}$ 上的 $G(\widehat {\mathcal O})_n$-等变 D-模范畴.

名称中的 “球面” 是来源于一个粗略的类比: 两个圆盘沿着去心圆盘粘起来就是 “球面”.

半单性

朱: 记 $\mathrm{IC}_\mu$ 为仿射 Schubert 簇 $\mathrm{Gr}_{\leq\mu}$ 上的相交上同调层. 有 $\mathrm{IC}_\mu |_{\mathrm{Gr}_\mu} \simeq \overline{\mathbb{Q}}_\ell [\langle 2\rho,\mu\rangle]$ 是常值层的移位. 范畴 $\mathsf{Sat}_G$ 半单; $\mathrm{IC}_\mu$ 之间无扩张 (朱 5.1.1).

卷积

粗略地说, $G(\widehat {\mathcal K})$, $G(\widehat {\mathcal K})_n$ 的群结构导致这些范畴具有卷积. 然而, 由于 $G(\widehat {\mathcal K})$ 比较野蛮, 我们不能直接卷积; 实际的做法是利用等变性, 转移到较好的空间上作卷积.

$G(\widehat {\mathcal K})$ 的乘法映射下降为映射 $$ \mathrm{Conv}_G = G(\widehat {\mathcal K})\times_{G(\widehat {\mathcal O})}\mathrm{Gr}_G \overset{m}{\to} \mathrm{Gr}_G. $$ (朱文作 $\mathrm{Gr}_G \operatorname{\widetilde \times}\mathrm{Gr}_G$, 这实际上是 $G(\widehat {\mathcal O})$-主丛 $G(\widehat {\mathcal K})\to\mathrm{Gr}_G$ 的关联丛)

考虑映射 $\mathrm{pr}\colon \mathrm{Conv}_G \to \mathrm{Gr}_G$, 投影到商 $G(\widehat {\mathcal K})\times_{G(\widehat {\mathcal O})}1=G(\widehat {\mathcal K}) / G(\widehat {\mathcal O}) = \mathrm{Gr}_G$.

$\mathrm{Conv}_G$ 可理解为如下对象的模空间:

形式圆盘 $\mathbb D$ 上的 $G$-主丛 $T_1,T_2$, 配备 $T_1$ 在去心形式圆盘 $\mathbb D^\circ$ 上的平凡化, 以及 $T_1,T_2$ 在去心形式圆盘 $\mathbb D^\circ$ 上的同构.

$$ \mathrm{Conv}_G = \sum_{T_1,T_2\in\mathrm{Bun}_G(\mathbb D)}(T_1|_{\mathbb D^\circ}=\mathrm{triv}_{\mathbb D^\circ})\times (T_1|_{\mathbb D^\circ}=T_2|_{\mathbb D^\circ}). $$ $\mathrm{Conv}_G$ 到 $\mathrm{Gr}_G$ 的两个投影映射 $\mathrm{pr},m$ 可视为上述对象分别到如下对象的投影: $$ \sum_{T_1\in\mathrm{Bun}_G(\mathbb D)}(T_1|_{\mathbb D^\circ}=\mathrm{triv}_{\mathbb D^\circ}),\sum_{T_2\in\mathrm{Bun}_G(\mathbb D)}(T_2|_{\mathbb D^\circ}=\mathrm{triv}_{\mathbb D^\circ}). $$

对于 $F\in\mathsf{Sph}$, 定义 $\widetilde F$ 为 $\mathrm{pr}_2^*q^*F$ 由 $G(\widehat {\mathcal K}) \times G(\widehat {\mathcal K})$ 下降到 $\mathrm{Conv}_G$ 的对象.

这里有一个一般的道理, 叫做 “扭曲外张量积” (朱 A.1.2). 对于某结构群 $K$ 的主丛 $p\colon E \to X$ 以及另一个带 $K$-作用的空间 $Y$, 可定义 $X$ 上的层 $F$ 与 $Y$ 上的 $K$-等变层 $G$ 的扭曲外张量积 $F \operatorname{\widetilde {\boxtimes}} G$, 它是 $X$ 与 $Y$ 的扭曲乘积 $X \operatorname{\widetilde {\times}} Y := (E \times Y)/K$ 上的层.

对于 $F_1,F_2\in\mathsf{Sph}$, 定义 $$ F_1 \operatorname{\widetilde {\boxtimes}} F_2 = (\mathrm{pr}^* F_1) \otimes \widetilde {F_2}; $$ $$ F_1 * F_2 = m_* (F_1 \operatorname{\widetilde {\boxtimes}} F_2). $$

注 (朱 1.6.1, 5.2.2). 在 $\mathbb{C}$ 上, 这个卷积有更简单的描述: 取 $G$ 的极大紧子群 $K$, 则有 $\mathrm{Gr}\simeq\Omega K$, 上述卷积等同于拓扑群 $\Omega K$ 上的卷积.

我们的目标是

定理. 上述卷积使得 $\mathsf{Sph}$ 构成刚性张量范畴, 且存在忠实正合的纤维函子 $\mathsf{Sph} \to \mathsf{Vect}$, 在淡中对偶下, 将 $\mathsf{Sph}$ 等同于 $\mathsf{Rep}(^LG)$.

$G(\widehat {\mathcal K})_n$ 的群结构 $$ m\colon G(\widehat {\mathcal K})_n \times_{X^n} G(\widehat {\mathcal K})_n \to G(\widehat {\mathcal K})_n $$ 下降为 $$ m\colon \mathrm{Conv}_n := G(\widehat {\mathcal K})_n \times_{G(\widehat {\mathcal O})_n} \mathrm{Gr}_{G,X^n} \to \mathrm{Gr}_{G,X^n}. $$ 对于 $F\in\mathsf{Sph}_n$, 类似地, $\mathrm{pr}_2^* q^*F$ 由 $G(\widehat {\mathcal K})_n \times_{X^n} G(\widehat {\mathcal K})_n$ 下降到 $\mathrm{Conv}_n$, 记之为 $\widetilde {F}$; 定义 $$ F_1 \operatorname{\widetilde \boxtimes} F_2 = (\mathrm{pr}_1^* F_1 \otimes \widetilde {F}_2)[-n]; $$ $$ F_1 * F_2 = m_* (F_1 \operatorname{\widetilde \boxtimes} F_2). $$

范畴 $\mathsf{Sph}_n$ 是一个分解结构的组成部分, 粗略地说,

设 $p \colon \{1,\cdots,n\} \to \{1,\cdots,m\}$ 为分划, 记 $\Delta_p \colon X^m \to X^n$ 为对应的 “对角” 映射, 依同构 ${\mathrm{Gr}_{n}}|_{\Delta_p}\simeq {\mathrm{Gr}_m}$, 有 “直像” 函子 $$ \Delta_* \colon \mathsf{Sph}_m \to \mathsf{Sph}_n, $$ 且有右伴随 $\Delta^!$.
对于分划 $p$, 简单起见设为 $n = n_1 + n_2$, 记 $U_p\subset X^n$ 为对应的开集 (不同组的分量不相等), $\mathsf{Sph}_p$ 为 $U_p$ 上的 $G(\widehat {\mathcal O})_{n_1} \times G(\widehat {\mathcal O})_{n_2}$-等变 D-模范畴. 有两个函子 $$ \mathsf{Sph}_n \to \mathsf{Sph}_p \leftarrow \mathsf{Sph}_{n_1} \times \mathsf{Sph}_{n_2}, $$ 其中第一个函子为 $X^n$ 到 $U_p$ 的限制, 第二个函子为外张量积 $\boxtimes$ 限制到 $U_p$. 各函子均有右伴随.
这些函子与 $\mathsf{Sph}_n$ 上的卷积相容.

对于分划 $p\colon \{1,\cdots,n\} \to \{1,\cdots,m\}$, 有卷积映射 $$ m_p \colon \mathrm{Gr}_{p^{-1}(1)} \operatorname{\widetilde \times} \cdots \operatorname{\widetilde \times} \mathrm{Gr}_{p^{-1}(m)} \to \mathrm{Gr}_m, $$ 对于 $A_i\in\mathsf{Sph}_{p^{-1}(i)}$, 定义外卷积 $$ A_1 \operatorname{\boxed{*}} \cdots \operatorname{\boxed{*}} A_m := (m_p)_! (A_1 \operatorname{\widetilde \boxtimes} \cdots \operatorname{\widetilde \boxtimes} A_m); $$ 有同构 $$ A_1 \operatorname{\boxed{*}} \cdots \operatorname{\boxed{*}} A_m \simeq (U_p)_{!*}(A_1\boxtimes\cdots\boxtimes A_m)|_{U_p}. $$ 这称为融合积 (fusion product).

定义内卷积 $$ A_1 \circledast \cdots \circledast A_m := \Delta^! (A_1 \operatorname{\boxed{*}} \cdots \operatorname{\boxed{*}} A_m). $$

融合积展现出对称性. 例如 $\mathrm{Gr}_2$ 的对称性给出同构 $$ A_1 \circledast A_2 \simeq A_2 \circledast A_1. $$


## 群表示的分解范畴

设 $H$ 为任意群. 定义 $H$ 在 $X^n$ 上的 D-模 $F$ 的**分解作用** (factorizable action) 为如下数据:

- 对 $n$ 的任意分划 $p \colon n = n_1+\cdots+ n_m$, 有 $H^m$ 在 $F|_{U_p}$ 上的作用, $U_p$ 是分划 $p$ 给出的开子空间;
- 这些作用关于 $p$ 的细化相容.

例如, $n=3$, $U_p = X^3 \setminus (\Delta_{13} \cup \Delta_{23})$, 有 $H^2$ 在 $F|_{U_p}$ 上的作用,

todo

## Hecke 特征层

回忆 **Hecke 叠** $\mathcal H_n$ 为如下对象的模空间: $X$ 上的两个 $G$-丛, 在 $X$ 的 $n$ 个点之外同构. 有两个投影映射
$$
\mathrm{Bun}_G \overset{\overleftarrow{h_n}}{\longleftarrow} \mathcal H_n \overset{\overrightarrow{h_n}}{\longrightarrow} X^n\times\mathrm{Bun}_G,
$$


## Hecke 范畴的结构

记 $1 \in \mathrm{Gr}_G$ 为 $G(\widehat {\mathcal O})\subset G(\widehat {\mathcal K})$ 对应的点. 记 $\delta_1 := 1_*\mathbb{C}$. 它是 $\mathsf{Sph}$ 上卷积的单位.
$$

$$

取定 $G$ 的[极大环面](极大环面.md) $T$, 单[根](根.md) $\alpha_i$, 单余根 $\check{\alpha_i}$;

$\mathrm{Gr}_G$ 的 $G(\widehat {\mathcal O})$-轨道一一对应于余根格 $X_*(T)$ 的 [$W$](Weyl群.md)-轨道, 记为 $\mathrm{Gr}_G^{\check{\lambda}}$, 其中 $\check{\lambda}$ 为轨道中的支配权.

$\mathsf{Sph}$ 的不可约对象均形如
$$
J(\check\lambda) = j_{!*} \mathcal O,
$$
其中 $j$ 是 $\mathrm{Gr}_G^{\check\lambda}$ 的含入映射, $\mathcal O$ 为平凡 D-模.

注. $\delta_1 = J(0)$.

纤维函子

考虑 $G \hookleftarrow B \twoheadrightarrow T$ 给出的图表 $$ \mathrm{Gr}_G \overset{b}{\leftarrow} \mathrm{Gr}_B \overset{t}{\rightarrow} \mathrm{Gr}_T, $$ (现在我们将 $T$ 视为 $B$ 的商群而非子群) 定义 $$ F = t_! b^*\colon \mathsf{Sph}\to \mathsf{Sph}_T \simeq\mathsf{Vect}^{X_*(T)}. $$

幺半结构

我们需要上同调函子 $$ H^*\colon \mathsf{Sat}_G \to \mathsf{Vect}_{\overline{\mathbb{Q}}_\ell} $$ 具有幺半结构 (朱 5.2.1).

记 $R_G := H^*(\mathbf{B}G)$ 为分类空间的上同调环. 对于 $A\in\mathsf{Sat}_G$, $H^*_{L^+ G}(A)$ 是自由 $R_G$-模.

引理 (5.2.3). 有一系列相容的同构 $H^*_{L^+G} (A_1 * \cdots * A_n) \simeq H^*_{L^+G} (A_1) \otimes_{R_G} \cdots \otimes_{R_G} H^*_{L^+G} (A_n)$. 从而有幺半函子 $$ H^*_{L^+G}\colon \mathsf{Sat}_G \to \mathsf{BiMod}(R_G,R_G). $$

上述函子复合 “增广” $R_G \to \overline{\mathbb{Q}}_\ell$ 即得 $H^* \colon \mathsf{Sat}_G \to \mathsf{Vect}$.

考虑如下几何对象,

$L^m G$, 即 “$m$ 阶无穷小圆盘” 上的 $G$-值函数空间, 直观上当 $m$ 越来越大时, $m$ 阶无穷小圆盘越来越大, 趋向于形式圆盘,
$L^+G^{(m)} = \ker (L^+G \to L^m G)$, 即 “$m$ 阶平凡” 弧群,
$\pi_m \colon \mathrm{Gr}^{(m)} = LG / L^+ G^{(m)} \to \mathrm{Gr}$, 它是 $\mathrm{Gr}$ 上的一个 $L^m G$-主丛.

我们仅说明 $n=2$ 的情形. 假设 $m$ 足够大, 使得 $L^+G$ 在 $\mathrm{Gr}_{\leq \mu_2}$ 上的作用穿过商群 $L^mG$. 此时有 $$ \begin{aligned} \mathrm{Gr}_{\leq\mu_1} \operatorname{\widetilde \times} \mathrm{Gr}_{\leq\mu_2} &\simeq (LG_{\leq\mu_1} \times \mathrm{Gr}_{\leq\mu_2})/L^+G \\ &\simeq (\mathrm{Gr}^{(m)}_{\leq\mu_1} \times \mathrm{Gr}_{\leq\mu_2})/L^mG. \end{aligned} $$ 由等变上同调的 Kunneth 公式, $$ \begin{aligned} H^*_{L^+G}(\mathrm{IC}_{\mu_1}) \otimes_{R_G} H^*_{L^+G}(\mathrm{IC}_{\mu_2}) &\simeq H^*_{L^+G\times L^mG}(\pi_m^*\mathrm{IC}_{\mu_1}\boxtimes\mathrm{IC}_{\mu_2})\\ &\simeq H^*_{L^+G} (\mathrm{IC}_{\mu_1} * \mathrm{IC}_{\mu_2}). \end{aligned} $$

交换性

接下来说明纤维函子是对称幺半函子. 朱指出对于对称幺半范畴之间的一个幺半函子, 其交换性是性质而非结构, 也即提升为对称幺半函子的方式的空间可缩; 但我不知道如何证明. (对比: 一个幺半范畴构成对称幺半范畴需要额外的结构.)

识别对偶群

我们需要说明纤维函子的自同构群 $$ \widetilde G := \operatorname{Aut}^\otimes H^* $$ 是 Langlands 对偶群.

首先说明 $\widetilde G$ 是连通约化群. 这是如下几个命题的应用.

$\mathsf{Sat}_G$ 作为张量范畴由有限个 $\mathrm{IC}_\mu$ 生成.

命题 (Deligne–Milne, Tannakian categories 2.20). 设 $G$ 是域 $k$ 上的仿射群概形. 其如下性质反映于范畴 $\mathsf{Rep}(G)$ 的性质:

$G$ 有限当且仅当存在 $X\in\mathsf{Rep}(G)$ 使得 $\mathsf{Rep}(G)$ 的任何对象都是某个 $X^n$ 的子商;
$G$ 是代数的 (意思是 $G$ 对应的 $k$-代数有限生成), 当且仅当 $\mathsf{Rep}(G)$ 作为张量范畴有一个生成元;

命题 (2.21). 设 $f\colon G\to G'$ 是域 $k$ 上仿射群概形的同态, 记 $f^*\colon \mathsf{Rep}(G') \to \mathsf{Rep}(G)$ 为拉回. 那么

$f$ 忠实平坦, 当且仅当 $f^*$ 全忠实, 且任何 $f^*X'$ 的子对象均为 $X'$ 的子对象的像.
$f$ 为闭嵌入, 当且仅当 $\mathsf{Rep}(G)$ 的每个对象均为某个 $f^*X'$ 的子商.

推论 (2.22). 设 $G$ 是域 $k$ 上的仿射群概形. 那么

$G$ 连通当且仅当对任意 $X\in\mathsf{Rep}(G)$, 由所有 $X^n$ 的所有子商构成的全子范畴关于张量积不封闭.

命题 (2.23). 设 $G$ 是域 $k$ 上的连通代数群. 那么 $G$ 是约化群当且仅当 $\mathsf{Rep}(G)$ 半单.

下面证明 $\widetilde G$ 的根数据与 $G$ 对偶.

先考虑 $G = T$ 为环面的情形.

$\mathrm{Gr}_T$ (的既约部分) 为离散点集, 等同于 $X_*(T)$.
$\mathsf{Sat}_T$ 等价于 $X_*(T)$-分次有限维线性空间范畴;
$H^*\colon \mathsf{Sat}_T\to \mathsf{Vect}$ 遗忘分次.

对偶环面 $T^\vee$ 的一维不可约表示对应于 $T^\vee$ 的特征, 即 $T$ 的余特征. 所以 $\mathsf{Rep}(T^\vee)$ 等价于 $X_*(T)$-分次有限维线性空间范畴.

为了从环面过渡到整个约化群, 由 $$ \mathrm{Gr}_G \leftarrow \mathrm{Gr}_B \to \mathrm{Gr}_T $$ 构造 “范畴化 Satake 变换” $$ \mathrm{CT}\colon \mathsf{Sat}_G \to \mathsf{Sat}_T; $$

记 $S_\lambda$ 为点 $\lambda\in X_*(T)$ 在上图中对应 $\mathrm{Gr}_G$ 的子空间, 同时也是 $t^\lambda$ 在 $LU\subset LG$ 作用下的轨道 ($U$ 为 $B$ 的幂幺根). 这在 Mirković–Vilonen 理论中称为 $\mathrm{Gr}_G$ 上的 “半无限轨道”.
$S_\lambda$ 的闭包是 $S_{\leq \lambda} = \bigcup_{\lambda'\leq\lambda} S_{\lambda'}$.
若 $t^\lambda\in\mathrm{Gr}_{\leq\mu}$, 则 $S_{\lambda}\cap\mathrm{Gr}_{\mu}$ 非空, $\dim (S_{\lambda}\cap\mathrm{Gr}_{\leq\mu}) = \langle \rho,\lambda + \mu\rangle$.
对于 $A\in\mathsf{Sat}_G$, 其在 $\mathsf{Sat}_T$ 中的推拉 $t_!b^* A$ 的 $\lambda$ 分量为 $H_c^*(S_\lambda,A)$, 且聚集在 $\langle 2\rho,\lambda\rangle$ 次.
$H^* \simeq\mathrm{CT} :=\bigoplus_\lambda H^*_c(S_{\lambda},-)\colon \mathsf{Sat}_G\to\mathsf{Vect}$.
这给出群同态 $T^\vee\simeq\widetilde T \to \widetilde G$, 给出 $\widetilde G$ 的一个极大环面. 于是 $\widetilde G$ 的权格与余权格对偶于 $G$.

最后看单根和单余根. 一个权 $\lambda\in X^*(T^\vee)$ 落在正根生成的半群中, 当且仅当存在最高权表示 $L_\mu$ 使得 $\mu - \lambda$ 出现在其权中, 即存在 $\mu$ 使得 $t^{\mu-\lambda}\in\mathrm{Gr}_{\leq\mu}$, 这等价于 $\lambda$ 是 $G$ 的正余根的和.

GKRV [notes-GKRV]

笔记
SimplicialCat

本文是 GKRV 的阅读笔记. 这篇文章是 AGKRRV 在拓扑语境中的玩具模型.

1. 对称幺半范畴沿空间积分

本文中 DG 范畴指的是可表现范畴中 $\mathsf{Vect}$ 上的模, 即 $$ \mathsf{DGCat} := \mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathsf{Vect}). $$ 其中的态射为保持余极限的函子.

脑中图像:

$\mathcal A = \mathsf{QCoh}(X)$ (实际 $X=\mathbf{B}G$)

$1_{\mathcal A} = \mathcal O_X$

$\mathcal A^{\otimes Y} = \mathsf{QCoh}(\operatorname{Maps}(Y,X))$

$1_{\mathcal A^{\otimes Y}} = \mathcal O_{\operatorname{Maps}(Y,X)}$

$\mathcal A^{\otimes\Sigma(J)}=\mathsf{QCoh}(\operatorname{Maps}(\Sigma(J),X))=\mathsf{QCoh}(X\times_{X^J}X)$

$\Sigma (J) \to Y$ 给出映射 $\operatorname{Maps}(Y,X) \to \operatorname{Maps}(\Sigma (J),X)$

设 $\mathcal A$ 为对称幺半 DG 范畴, $Y$ 为空间 (即生象). 考虑对称幺半 DG 范畴 $$ \mathcal A^{\otimes Y} := \operatorname{colim}^{\mathsf{SymMonCat}}_Y\mathcal A. $$ 我们可以在三种不同语境下描述这个范畴:

对称幺半 DG 范畴,
幺半 DG 范畴,
DG 范畴.

总之, 设 $\mathfrak C$ 是上述某种范畴的全体, 即 $\mathfrak C = \mathsf{Alg}_{\mathbb E_n}(\mathsf{DGCat})$, $n\in\{0,1,\infty\}$. 注意, 三种语境中一般的余极限与遗忘函子不相容; 但筛余极限是相容的. 这个事实马上就要用到.

注. $\mathcal A$ 也可以视为 $\mathsf{CAlg}(\mathfrak C)$ 的对象, 也即对称幺半函子 $\mathsf{Fin} \to \mathfrak C$, $I\mapsto \mathcal A^{\otimes I}$. (我觉得这个视角才是本质的.)

1.2 将 $\mathcal A^{\otimes Y}$ 表现为余极限

命题. 对称幺半 DG 范畴 $\mathcal A^{\otimes Y}$ 遗忘到 $\mathfrak C$ 中, 等同于如下的余端: $$ \mathcal A^{\otimes Y} = \int_{I\in\mathsf{Fin}}^{\mathfrak C} Y^I\otimes\mathcal A^{\otimes I}.\, (\star) $$ 其中

$\mathcal A^{\otimes I}$ 是 $\mathcal A$ 作为对称幺半 DG 范畴的 $I$ 次张量积,
$Y^I\otimes (-)$ 是指取常值图的余极限 $\operatorname{colim}_{Y^I}^{\mathfrak C}(-)$.

证明的思路是: 命题对 $Y\in\mathsf{Fin}$ 较为平凡, 然后将两边视为关于 $Y$ 的函子, 沿 $\mathsf{Fin}\to\mathsf{Ani}$ 作左 Kan 扩张.

注. 我目前对这个命题的理解是:

$\mathsf{Fin}$ 在 $\mathsf{Ani}$ 中关于筛余极限稠密;

对称幺半范畴 $\mathfrak C$ 中的交换代数等同于对称幺半函子 $\mathsf{Fin} \to \mathfrak C$;

命题中等式右端正是将其按筛余极限延拓为 $\mathsf{Ani} \to \mathfrak C$ 的方法, 同时也是沿 $\mathsf{Fin}\to\mathsf{Ani}$ 左 Kan 扩张的计算式.

注意, 函子 $\mathsf{Ani} \to \mathfrak C$, $Y\mapsto\mathcal A^{\otimes Y}$ 不保持余极限. 换言之, 它不是 $1\to\mathfrak C$ 沿 $1\to\mathsf{Ani}$ 的左 Kan 扩张.

引理 1. 函子 $\mathsf{Ani}\to\mathfrak C$, $Y\mapsto \mathcal A^{\otimes Y}$ 是其沿 $\mathsf{Fin}\to\mathsf{Ani}$ 的限制的左 Kan 扩张.

证明. 这是因为对任意 $Y\in\mathsf{Ani}$, 左 Kan 扩张的计算式中的指标范畴 $\mathsf{Fin}_{/Y}$ 是筛范畴, 而遗忘函子 $$ \mathsf{CAlg}(\mathsf{DGCat}) \to \mathsf{Alg}(\mathsf{DGCat}) \to \mathsf{Cat} $$ 均保持筛余极限 (这一事实对更一般的算畴的代数成立).

引理 2. 等式 $(\star)$ 的右端给出的函子 $\mathsf{Ani}\to\mathfrak C$ 是其沿 $\mathsf{Fin}\to\mathsf{Ani}$ 的限制的左 Kan 扩张.

证明. 对任意有限集 $I,J$, 函子 $Y\mapsto Y^J$, $Z\mapsto Z\otimes \mathcal A^{\otimes I}$ 均保持筛余极限, 从而复合函子 $Y\mapsto Y^J\otimes \mathcal A^{\otimes I}$ 保持筛余极限.

上面讨论了一些余极限. 下面讨论一些极限, 陈述某些极限和余极限相等.

与余极限的情况不同的是, 遗忘函子 $$ \mathsf{CAlg}(\mathsf{DGCat}) \to \mathsf{Alg}(\mathsf{DGCat}) \to \mathsf{Cat} $$ 保持所有极限.

定义生象 $Y$ 上局部系统的范畴为 $$ \begin{aligned} \mathsf{LS}(Y) &= \operatorname{lim}_Y^{\mathsf{DGCat}} \mathsf{Vect}\\ &=\operatorname{lim}_Y^{\mathsf{CAlg}(\mathsf{DGCat})} \mathsf{Vect}, \end{aligned} $$ 它是对称幺半 DG 范畴. 若 $\mathscr Y$ 为较好的拓扑空间 (仿紧, 同伦等价于 CW 复形, 同伦维数有限), $Y$ 为 $\mathscr Y$ 对应的生象, 则 $\mathsf{LS}(Y)$ 等价于 $\mathsf{Shv}_{\text{lisse}}(Y)$, 即线性空间层的导出范畴 $\mathsf{Shv}(\mathscr{Y})$ 中上同调为局部常值层的对象构成的全子范畴.

由可表现范畴的余极限的性质,

对任意生象 $Y$, 范畴 $\mathsf{LS}(Y)$ 等价于 $\operatorname{colim}_Y^{\mathsf{DGCat}}\mathsf{Vect}$;
对生象的映射 $f\colon Y\to Z$, 自然的函子 $f^\dagger\colon \mathsf{LS}(Z)\to\mathsf{LS}(Y)$ 等同于 $\operatorname{colim}_Y^{\mathsf{DGCat}}\mathsf{Vect} \to \operatorname{colim}_Z^{\mathsf{DGCat}}\mathsf{Vect}$ 的右伴随; 同时, 两个态射也通过 $\mathsf{DGCat}$ 中的对偶函子 $(-)^{\vee}\colon \mathsf{DGCat}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{DGCat}$ 相联系.

命题. 设 $\mathfrak C$ 为 $\mathsf{CAlg}(\mathsf{DGCat}),\mathsf{Alg}(\mathsf{DGCat}),\mathsf{DGCat}$ 之一. 对于 $\mathcal C\in\mathfrak C$, 典范态射 $$ \mathcal C\otimes\mathsf{LS}(Y) \to \operatorname{lim}_Y\mathcal C $$ 为等价.

证明. 因为遗忘函子和 $-\otimes\mathsf{LS}(Y)$ 交换, 故只需证明 $\mathfrak C = \mathsf{DGCat}$ 的情形. 注意到两边均将 $\mathsf{Ani}$ 中的余极限对应到 $\mathfrak C$ 中的极限: 左边由可对偶性等价于 $\mathsf{Fun}(\operatorname{colim}^{\mathsf{DGCat}}_Y\mathsf{Vect},\mathcal C)$.

1.5 局部系统的叠

局部系统的叠 $\mathsf{LS}_G(Y)$ 上的 $\mathsf{QCoh}$ 是对称幺半范畴 $\mathsf{Rep}(G)$ 沿空间积分的重要例子, 也是本文的主要研究对象 (本文将研究其上的 $\mathsf{QCoh}$, 以及 $1\in\mathsf{QCoh}$ 的自同态, 也即函数环).

由生象的映射 $$ \begin{aligned} Y&\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(*,Y)\\ &\to\operatorname{Hom}_{\mathsf{PreStk}}(\mathsf{LS}_G(Y),\mathsf{LS}_G(*))\\ &\to\operatorname{Hom}_{\mathsf{CAlg}(\mathsf{DGCat})}(\mathsf{QCoh}(\mathsf{LS}_G(*)),\mathsf{QCoh}(\mathsf{LS}_G(Y)))\\ &\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{CAlg}(\mathsf{DGCat})}(\mathsf{Rep}(G),\mathsf{QCoh}(\mathsf{LS}_G(Y))), \end{aligned} $$ 我们得到函子 $$ \operatorname{colim}_Y^{\mathsf{CAlg}(\mathsf{DGCat})}\mathsf{Rep}(G) \to \mathsf{QCoh}(\mathsf{LS}_G(Y)). $$

定理. 若 $Y$ 仅有有限个连通分支, 则上述函子为等价.

1.7 由 $\mathcal A^{\otimes Y}$ 出发的函子

仍设 $\mathfrak C$ 为 $\mathsf{CAlg}(\mathsf{DGCat}),\mathsf{Alg}(\mathsf{DGCat}),\mathsf{DGCat}$ 之一, $\mathcal C$ 为 $\mathfrak C$ 的对象.

由于 $\mathcal A^{\otimes Y}$ 可表现为 $\mathfrak C$ 中的余端, 相应地 $\operatorname{Hom}_{\mathfrak C}(\mathcal A^{\otimes Y},\mathcal C)$ 可表现为端 $$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathfrak C}(\mathcal A^{\otimes Y},\mathcal C)&\simeq \int_{I\in\mathsf{Fin}}\operatorname{Hom}_{\mathfrak C}(Y^I\otimes\mathcal A^{\otimes I},\mathcal C)\\ &\simeq \int_{I\in\mathsf{Fin}}\operatorname{Hom}(\mathcal A^{\otimes I},\mathcal C\otimes\mathsf{LS}(Y^I))\\ &\simeq\mathsf{Nat}_{\mathsf{Fun}(\mathsf{Fin},\mathfrak C)}(\mathcal A^{\otimes (-)},\mathcal C\otimes\mathsf{LS}(Y^{(-)})). \end{aligned} $$

例. $\mathfrak C = \mathsf{Alg}(\mathsf{DGCat})$, $\mathcal A^{\otimes Y}$ 在 DG 范畴 $\mathcal M$ 上的作用, 即幺半函子 $\mathcal A^{\otimes Y} \to \operatorname{End}(\mathcal M)$, 等同于一族幺半函子 $$ \mathcal A^{\otimes I} \to \operatorname{End}(\mathcal M)\otimes\mathsf{LS}(Y^I). $$

2. 远足

记 $\mathsf{FFM}$ 为有限生成自由幺半群的范畴.

命题. 对任意幺半群 $H_0$, 范畴 $\mathsf{FFM}_{/H_0}$ 为筛范畴, 且典范的映射 $$ \operatorname{colim}_{H\in\mathsf{FFM}_{/H_0}}H\to H_0 $$ 为等价.

推论. 设 $Y$ 为带基点连通生象. 那么 $\mathsf{FFM}_{/\Omega Y}$ 为筛范畴, 且典范的映射 $$ \operatorname{colim}^{\mathsf{Ani}_*}_{H\in\mathsf{FFM}_{/\Omega Y}}\mathbf{B}H \to Y $$ 为等价.

2.4 将 $\mathcal A^{\otimes Y}$ 的单位对象的自同态表现为余极限

我们先计算一类幺半范畴的余极限中的态射.

考虑幺半范畴的图 $I\to\mathsf{Alg}(\mathsf{DGCat})$, $i\mapsto\mathcal C_i$. 设指标范畴 $I$ 有始对象 $i_0$. 任取 $\mathcal C_{i_0}$ 的对象 $c_{i_0},c'_{i_0}$. 记 $c_i,c'_i$ 为两者在 $\mathcal C_i$ 中的像; 记 $c,c'$ 为两者在余极限 $\mathcal C=\operatorname{colim}_i\mathcal C_i$ 中的像. 则有自然态射 $$ \operatorname{colim}_i\operatorname{Hom}_{\mathcal C_i}(c_i,c'_i) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,c').\,(\spadesuit) $$

命题 2.4.6. 若 $I$ 为筛范畴且 $\mathcal C_{i_0} \to \mathcal C_{i}$ 为仿射函子 (即每个 $\mathcal C_i$ 都是 $\mathcal C_{i_0}$ 上某结合代数上的模范畴; 准确地说, 函子 $I\to\mathsf{Alg}(\mathsf{DGCat})$ 穿过 $\mathsf{Alg}(\mathcal C_{i_0})$), 则 $(\spadesuit)$ 为等价.

推论 2.4.4. 设 $\mathcal A$ 具有仿射对角线, 且 $1_{\mathcal A}$ 紧. 那么对于带基点连通生象 $(Y,y)$, $$ \operatorname{End}(1_{\mathcal A^{\otimes Y}}) \simeq\operatorname{colim}_{H\in\mathsf{FFM}_{/\Omega Y}}\operatorname{End}(1_{\mathcal A^{\otimes\mathbf{B}H}}). $$

2.7

对于有限集 $I$, 记 $I_+$ 为带基点集合 $I\sqcup \{*\}$. 注意 $\mathbf{B}(\operatorname{Free}_{\mathbb E_1}(I)) \simeq \Sigma(I_+)$, 因为它们到任何带基点生象 $(Y,y)$ 的映射都等同于映射 $I\to\Omega Y$.

由推论 2.4.4, $$ \operatorname{End}(1_{\mathcal A^{\otimes Y}}) = \operatorname{colim}_{I\to\Omega Y}\operatorname{End}(1_{\mathcal A^{\otimes\Sigma (I_+)}}). $$

设 $J$ 为有限集. 记 $\mathrm{mult}_J\colon \mathcal A^{\otimes J} \to \mathcal A$ 为乘积函子. 由于 $Y\mapsto\mathcal A^{\otimes Y}$ 保持余极限, 故有 $\mathsf{CAlg}(\mathsf{DGCat})$ 中的推出 $$ \mathcal A^{\otimes \Sigma (J)} \simeq \mathcal A\otimes_{\mathcal A^{\otimes J}} \mathcal A. $$ 记 $\iota_s,\iota_t\colon \mathcal A\to\mathcal A^{\Sigma (J)}$ 为两个含入 $*\to\Sigma (J)$ 对应的函子. 基变换给出自然变换 $$ \mathrm{BC}_J\colon \mathrm{mult}_J\circ\mathrm{mult}_J^R \to \iota_s^R\circ\iota_t. $$ 注意该变换保持松幺半函子结构.

引理 2.7.4. 若 $\mathcal A$ 为刚性, 则 $\mathrm{BC}_J$ 为等价.

又因为 $\iota_s,\iota_t$ 均将 $1_{\mathcal A}$ 对应到 $1_{\mathcal A^{\otimes\Sigma (J)}}$

推论 2.7.6. $$ \operatorname{Hom}(1_{\mathcal A},\mathrm{mult}_J\circ\mathrm{mult}_J^R (1_{\mathcal A})) \simeq \operatorname{End}(1_{\mathcal A^{\Sigma (J)}}). $$

从而 $\operatorname{Hom}(1_{\mathcal A},\mathrm{mult}_J\circ\mathrm{mult}_J^R (1_{\mathcal A}))$ 带有交换代数结构. 这个代数结构还可以具体写出: 对于 $\xi_1,\xi_2\colon 1_{\mathcal A}\to\mathrm{mult}_J\circ\mathrm{mult}_J^R (1_{\mathcal A})$, 其乘积 $\xi_1 * \xi_2$ 是如下复合: $$ \begin{aligned} 1_{\mathcal A} & = 1_{\mathcal A} \otimes 1_{\mathcal A}\\ & \to \mathrm{mult}_J(\mathrm{mult}_J^R (1_{\mathcal A})) \otimes \mathrm{mult}_J(\mathrm{mult}_J^R (1_{\mathcal A}))\\ & \simeq \mathrm{mult}_J(\mathrm{mult}_J^R (1_{\mathcal A}) \otimes \mathrm{mult}_J^R (1_{\mathcal A})) \\ & \to \mathrm{mult}_J(\mathrm{mult}_J^R (1_{\mathcal A} \otimes 1_{\mathcal A})) \\ & \simeq \mathrm{mult}_J(\mathrm{mult}_J^R (1_{\mathcal A})). \end{aligned} $$

记 $\xi$ 对应的 $1_{\mathcal A^{\Sigma (J)}}$ 的自同态为 $E_\xi$.

2.8 以远足构造模上的作用

对于带基点生象 $Y$ 的 $I$ 条环路 $$ \gamma^I\colon I\to\Omega Y, $$ 有映射 $$ \gamma^{I_+} \colon \operatorname{End}(1_{\mathcal A^{\Sigma (I_+)}}) \to \operatorname{End}(1_{\mathcal A^{\otimes Y}}). $$ 我们关注 $E_\xi$ 在这个映射下的像, 称为远足算子; 它们是远足代数的生成元.

设有 DG 范畴的函子 $S^Y\colon \mathcal A^{\otimes Y} \to \mathcal C$. 它等同于一族函子 $$ S_I \colon \mathcal A^{\otimes I} \to\mathcal C\otimes\mathsf{LS}(Y^I). $$

对于点 $y\in Y$, 记 $\mathrm{ev}_y$ 为 $y$ 处的取值函子 $\mathsf{LS}(Y)\to\mathsf{Vect}$. 对于两个点 $y_1,y_2$ 之间的道路 $\gamma$, 有自然变换 $\mathrm{mon}_\gamma\colon \mathrm{ev}_{y_1} \to \mathrm{ev}_{y_2}$, 称为 “平行移动”.

设 $y_1,y_2\in Y$ 是两个点, $\gamma^J$ 是 $J$ 条 $y_1$ 到 $y_2$ 的道路, $\xi\in\operatorname{Hom}(1_{\mathcal A},\mathrm{mult}_J\circ\mathrm{mult}_J^R (1_{\mathcal A}))$.

断言. 远足算子为如下映射的复合.

由于 $1_{\mathcal A}$ 沿 $\mathcal A \to \mathcal A^{\otimes Y}$ 的像是 $1_{\mathcal A^{\otimes Y}}$, 可将 $S_Y(1_{\mathcal A^{\otimes Y}})$ 等价于 $\mathrm{ev}_{y_1}(S_{1}(1_{\mathcal A}))$;
通过函数 $\xi$ 由 $\mathrm{ev}_{y_1}(S_{1}(1_{\mathcal A}))$ 映射到 $\mathrm{ev}_{y_1}(S_{1}(\mathrm{mult}_J\mathrm{mult}_J^R 1_{\mathcal A}))$;
由于 $S_I$ 的相容性, 上述对象等价于 $\mathrm{ev}_{y_1^J}(S_{J}(\mathrm{mult}_J^R 1_{\mathcal A}))$;
用 “平行移动” 算子 $\mathrm{mon}_{\gamma^J}$ 映射到 $\mathrm{ev}_{y_2^J}(S_{J}(\mathrm{mult}_J^R 1_{\mathcal A}))$;
由于 $S_I$ 的相容性, 上述对象等价于 $\mathrm{ev}_{y_2}(S_{1}(\mathrm{mult}_J\mathrm{mult}_J^R 1_{\mathcal A}))$;
通过伴随的余单位映射到 $\mathrm{ev}_{y_2}(S_{1}(1_{\mathcal A}))$;
上述对象等价于 $S_Y(1_{\mathcal A^{\otimes Y}})$.

脑中图像:

$\mathcal A = \mathsf{QCoh}(X)$, $\mathcal A^{\otimes Y}=\mathsf{QCoh}(X^Y)$ (其中 $X^Y$ 表示 $\operatorname{Maps}(Y,X)$), 特别地 $\mathcal A^{\otimes\Sigma (J)}=\mathsf{QCoh}(X^{\Sigma (J)})=\mathsf{QCoh}(X\times_{X^J}X)$;
$\mathcal C =\mathsf{QCoh}(S)$, $S_Y\colon \mathcal A^{\otimes Y}\to\mathcal C$ 对应映射 $f\colon S\to X^Y$ (其中 $S$ 是任何测试空间, 或为万有情形即 $X^Y$ 本身);
$1_{\mathcal A} = \mathcal O_X$, $1_{\mathcal A^{\otimes Y}} = \mathcal O_{X^Y}$, $S_Y(1_{\mathcal A^{\otimes Y}})=\mathcal O_S$;
$\xi\in \operatorname{End}(1_{\mathcal A^{\otimes\Sigma (J)}})=\Gamma(\mathcal O_{X^{\Sigma (J)}})$;
$S_{I}\colon \mathcal A^{\otimes I}\to\mathcal C\otimes\mathsf{LS}(Y^I)$ 对应映射 $s_I\colon S\times Y^I \to X^I$, 特别地, $S_1$ 对应 $s_1\colon S\times Y\to X$;
$\mathrm{ev}_{y_1^I}$ 对应映射 $y_1^I\colon S\to S\times Y^I$;

3. 迹

定理 3.8.5. 设 $\mathcal C$ 为刚性对称幺半 DG 范畴, $F$ 为对称幺半的自函子. 那么 $F$ 的迹等于 Hochschild 同调的单位的自同态: $$ \operatorname{Tr}(F) \simeq \operatorname{End}(1_{\operatorname{HH}_* (\mathcal C,F)}). $$