当交换代数作用于线性空间 (模) 时, 往往可将空间分解为 “特征子空间” 的和, 每个特征子空间对应于一个 “特征值”, 也即谱的点.
例
线性算子的特征子空间分解
设 $k$ 是代数闭域, $T$ 是有限维 $k$-线性空间 $V$ 上的线性算子, 相当于 $V$ 上的 $k[x]$-模结构. 此时有特征子空间的分解
$$
V = \bigoplus_{\lambda} V_\lambda,
$$
其中 $\lambda\in k$ 对应 $\operatorname{Spec}k[x]$ 的点, 即素理想 $(x-\lambda)$; 特征子空间 $V_\lambda$ 可由下式定义:
$$
\begin{aligned}
V_\lambda &= V\otimes_{k[x]} k[x]_{(x-\lambda)} \\&= \{v\in V\mid\exists n, (x-\lambda)^n v = 0\}.
\end{aligned}
$$
当然, 类似的精神出现在泛函分析中 (无限维线性空间上) 算子的谱分解.
Lie 群 (Lie 代数) 表示的不可约分解
群 $G$ 在 $\mathbb{C}$-线性空间 $V$ 上的表示相当于 $V$ 的 $\mathbb{C}[G]$-模结构. 虽然 $\mathbb{C}[G]$ 不是交换环, 我们仍然可以取它的中心 $Z(\mathbb{C}[G])$ 并考虑 $V$ 上的 $Z(\mathbb{C}[G])$-模结构, 得到 $V$ 的谱分解.
代数同态 $Z(\mathbb{C}[G]) \to\mathbb{C}$ 等同于所谓 “类函数”, 即 $G$ 的共轭类集合上的函数.
有限群 $G$ 的表示 $V$ 分解为不可约表示的直和:
$$
V = \bigoplus_{\rho} V_\rho
$$
类似地, Lie 代数 $\mathfrak g$ 的表示依中心特征 $Z(U\mathfrak g)\to\mathbb{C}$ 分解, 也即沿 $\operatorname{Spec}Z(U\mathfrak g)$ 分解. 在范畴 $\mathcal O$ 中, 支撑于闭点 $\chi\in\operatorname{Spec}Z(U\mathfrak g)$ 上的对象构成的子范畴称为块 (block).
Fourier 变换作为谱分解
Fourier 变换可视为 $\mathbb{R}^n$ (或更一般的局部紧 Abel 群 $A$) 上的函数关于平移算子生成的交换 $C^*$-代数 $C^*(A)$ 的谱分解; $C^*(A)$ 的谱正是 $A$ 的 Pontryagin 对偶 $\widehat {A}$: 精神上,
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{CAlg}}(C^*(A),\mathbb{C})\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}}(A,\mathbb{C}).
$$
自守函数的 Hecke 作用的谱分解
Vincent Lafforgue 使用某些 Hecke 函子定义了远足代数, 以给出 Langlands 预言的自守函数空间的谱分解.
这一思路在几何 Langlands 纲领中得到延续. 人们发现远足代数等同于某种局部系统模叠上的函数代数. 而提升一个范畴层级后 (见高阶拟凝聚层—但这里实际上只需要提升一阶), 该种局部系统模叠上的拟凝聚层范畴在自守层范畴上的 Hecke 作用可给出自守层沿局部系统模叠的谱分解, 见 AGKRRV.