百科. Pontryagin 对偶 [Pontryagin对偶]

定义

局部紧 Abel 群

记 $\mathsf{LCA}$ 为局部紧 Abel 群的范畴, 其中态射为连续同态. 记 $\mathbb T = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 为圆环, 定义局部紧 Abel 群 $G$ 的 Pontryagin 对偶为 $$ \widehat G = \operatorname{Hom}_{\mathsf{LCA}}(G,\mathbb T). $$ (配备紧开拓扑.) 这给出函子 $\widehat{(-)}\colon \mathsf{LCA}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{LCA}$.

自然同态 $G \to \widehat {\widehat {G}}$, $x\mapsto (\chi\mapsto \chi(x))$ 是同构. 换言之, 对偶函子复合两次是恒等: $\widehat{(-)}\circ \widehat{(-)}^{\mathrm{op}}\simeq\mathrm{id}_{\mathsf{LCA}}$.

例

  • $\widehat {\mathbb{Z}}\simeq \mathbb T$, $\widehat {\mathbb T}\simeq\mathbb{Z}$.
  • $\widehat {\mathbb{R}} \simeq \mathbb{R}$.

性质

紧–离散对偶

  • 若 $G$ 为紧群, 则 $\widehat {G}$ 为离散群.
  • 若 $G$ 为离散群, 则 $\widehat {G}$ 为紧群.

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