百科. Fourier 变换 [Fourier变换]

观念

定义

局部紧 Abel 群

局部紧 Abel 群 $G$ 上的 $\mathbb{C}$-值可积函数 $f$ 的 Fourier 变换是 $G$ 的 Pontryagin 对偶 $\widehat {G} = \operatorname{Hom}(G,\mathbb T)$ 上的函数 $\widehat {f}$, $$ \widehat {f}(\chi) = \int_G f(g)\overline{\chi(g)} dg. $$ 记算子 $f\mapsto \widehat {f}$ 为 $\mathcal F$.

性质

运算

对于可积函数 $f,g\in L^1(G)$, 定义其卷积 $f*g$, $$ (f*g)(x) = \int_G f(xy^{-1}) g(y)\,d\mu(y). $$

命题. $\mathcal F$ 将卷积变为函数的乘积: $$ \widehat {f*g} = \widehat {f}\cdot \widehat {g}. $$

范数

命题 ($L^1$–$C_0$ 对偶, Riemann–Lebesgue 引理). Fourier 变换 $\mathcal F$ 将 $L^1(G)$ 映射到 $C_0(\widehat G)$.

命题 ($L^2$, Plancherel 定理). Fourier 变换 $\mathcal F$ 将 $L^2(G)$ 等距同构地映射到 $L^2 (\widehat G)$.

命题 (Hausdorff–Young 不等式). 设 $p,q\geq 1$, 且 $1/p+1/q = 1$. 那么 Fourier 变换 $\mathcal F$ 将 $L^p(G)$ 映射到 $L^q (\widehat G)$, 且 $$ \|\widehat f\|_q\leq \|f\|_p. $$ 这是 Riesz–Thorin 插值定理的推论.

例

$(\mathbb{R}_+,\times)$ 的 Haar 测度为 $\dfrac{dx}{x}$, 其 Pontryagin 对偶可视为 $i\mathbb{R}$, 其中 $i\xi\in i\mathbb{R}$ 对应于同态 $\mathbb{R}_+\to\mathbb T$, $x\mapsto x^{i\xi}$.

$\mathbb{R}_+$ 上的函数 $f$ 的 Fourier 变换为 $$ \widehat{f}\colon i\xi \mapsto \int_{\mathbb{R}_+} f(x) x^{-i\xi} dx. $$ 这与 Mellin 变换有关.