一种数学对象的表现 (presentation), 又称模型 (model), 是指由较少量, 简单, 具体, 容易计算的信息给出一些由抽象方法定义的结构. 这些表现常常脱离对象的实质, 有时也不同于专家们思考这些对象的方式. 通常被表现的那种抽象的结构在理论上更对称, 更优雅; 选取适当的表现, 是为了在破坏了对称和优雅的代价之下, 使这些对象更便于计算. 单纯百科十分重视表现和实质的区分, 经常明确指出某些结构不过是人们真正关心的另一些对象的表现.

例

• 代数结构如群, 环, 模等可用一组生成元和关系表现.
• 一个流形的坐标卡是这个流形的一种表现. 选取适当的坐标卡是为了简化流形上的函数, 微分形式等对象的计算.
• 拓扑空间的同伦型可以表现生象.
• 模型范畴是一类具有良好性质的无穷范畴的表现.

代数–几何对偶是数学上的一大类现象, 某种几何对象与某种代数对象之间有对偶的关系:

• 取几何对象上的某种 “函数”, 得到代数对象;
• 取代数对象的 “谱”, 得到几何对象.

这两个操作通常是一对伴随, 甚至是范畴等价.

在高阶范畴语境中, 代数–几何对偶中的 “函数” 表现为 “集合值” 甚至 “范畴值” 的函数, 也就是所谓层.

例

Gelfand 对偶

紧 Hausdorff 空间对偶于交换 C*-代数.

注意这个等价的关键原因是 Urysohn 引理保证了紧 Hausdorff 空间上有足够多的 $\mathbb{C}$-值连续函数.

Stone 对偶

Pro-有限集对偶于 Boole 代数.

仿射概形

仿射概形对偶于交换环. 这个事实可以作为仿射概形的定义.

环上的模的张量-同态伴随类比空间上的层的直像-逆像伴随.

淡中对偶

淡中 (Tannaka) 对偶是某种几何对象与其上的某种层范畴的对偶.

相关概念

语法–语义对偶

语法是组织符号的方法, 而语义是符号所指向的东西.

一个重要的观念是: 同一个符号可以指向不同的东西, 只要它们满足同样的规律. 例如代数方程中的未定元 $x$ 可以指代一个代数中不同的元素. 但在基础代数之外的领域, 人们似乎常常忘记这一点. 参见综合数学是抽象代数的范畴化.

常常, 一种数学结构可以表示为一个映射 $$ \text{语法} \to \text{语义}, $$ 其中

• “语法” 是由少量信息表现的一个较为抽象的结构, 通常是一个代数或一个范畴 (见语法范畴), 其中的元素或对象记录了某种语言 (如某种一阶语言);
• “语义” 是某一类较为具体的, 或在实践中自然出现的代数对象;
• 这个函子表达的是一个指定的结构相当于给语法的每个对象赋予一个具体的意义的过程 (如一阶语言的解释); 也称为一个理论的模型.

代数–几何对偶, 与分类空间的联系

若将上述的 “语法” 和 “语义” 视为代数对象, 则从对偶的几何侧来看, 一个数学结构是一个映射 $$ \text{参数空间} \to \text{分类空间}, $$

其中

• 参数空间是某个在实践中自然出现的几何对象;
• 参数空间是语义的对偶;
• 分类空间是语法的对偶;
• 这个映射表达的是一个指定的结构相当于对参数空间的每一个点赋予一个结构的过程.

例

代数方程组的解

多项式方程 $f(x)=0$ 在环 $A$ 中的解可以表示为环同态 $$ \mathbb{Z}[x]/(f) \to A, $$ 其中 $x$ 在 $A$ 中的像即是这个解,

• $\mathbb{Z}[x]/(f)$ 是记录语法的代数对象,
• $A$ 是记录语义的代数对象.

(当然, 本例也可推广到多个变量, 多个方程构成的方程组. 类似地, 微分方程组的解可表示为 D-模的同态.)

在代数–几何对偶之下, 环同态 $\mathbb{Z}[x]/(f) \to A$ 对应仿射概形的映射 $$ \operatorname{Spec} A \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]/(f) = \{x\in \mathbb A^1 \mid f(x) = 0\}. $$ 其中

• $\operatorname{Spec}A$ 是参数空间,
• $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]/(f)$ 是方程的解的分类空间.

交换半群

考虑有限集关于无交并构成的对称幺半范畴 $\mathsf{Fin}^{\sqcup}$, 以及集合关于乘积构成的对称幺半范畴 $\mathsf{Set}^\times$. 那么一个对称幺半函子 $$ \mathsf{Fin}^{\sqcup} \to \mathsf{Set}^\times $$ 等同于一个交换半群. 具体地, 交换半群 $A$ 给出函子 $$ \{1,\cdots,n\} \mapsto A^n,\quad \varnothing\mapsto \{*\}, $$ 其中映射 $\{1,2\} \to \{1\}$ 对应的映射 $A^2\to A$ 正是 $A$ 上的运算; 映射 $\varnothing\to\{1\}$ 对应的映射 $\{*\}\to A$ 正是其单位元.

在本例中, $\mathsf{Set}^\times$ 可以替换为任何对称幺半范畴 $\mathcal D$, 称对称幺半函子 $\mathsf{Fin}^\sqcup \to \mathcal D$ 为 $\mathcal D$ 中的交换代数. 例如交换环 $R$ 上的模关于张量积构成的范畴 $\mathsf{Mod}_R^\otimes$ 中的交换代数就是通常说的交换 $R$-代数. 因此我们借用范畴逻辑学的术语, 称 $\mathsf{Fin}^\sqcup$ 记录了交换代数的语法 (syntax), 而种种具体的交换代数都是这个范畴到其它对称幺半范畴的函子, 称之为语义 (semantics).