一种数学对象的表现 (presentation), 又称模型 (model), 是指由较少量, 简单, 具体, 容易计算的信息给出一些由抽象方法定义的结构. 这些表现常常脱离对象的实质, 有时也不同于专家们思考这些对象的方式. 通常被表现的那种抽象的结构在理论上更对称, 更优雅; 选取适当的表现, 是为了在破坏了对称和优雅的代价之下, 使这些对象更便于计算. 单纯百科十分重视表现和实质的区分, 经常明确指出某些结构不过是人们真正关心的另一些对象的表现.

例

• 代数结构如群, 环, 模等可用一组生成元和关系表现.
• 一个流形的坐标卡是这个流形的一种表现. 选取适当的坐标卡是为了简化流形上的函数, 微分形式等对象的计算.
• 拓扑空间的同伦型可以表现生象.
• 模型范畴是一类具有良好性质的无穷范畴的表现.

代数–几何对偶是数学上的一大类现象, 某种几何对象与某种代数对象之间有对偶的关系 (即两个范畴互为反范畴):

• 取几何对象上的某种 “函数”, 得到代数对象;
• 取代数对象的 “谱”, 得到几何对象.

这两个操作通常是一对伴随, 甚至是范畴等价.

在高阶范畴语境中, 代数–几何对偶中的 “函数” 表现为 “集合值” 甚至 “范畴值” 的函数, 也就是所谓层.

例

Gelfand 对偶

紧 Hausdorff 空间对偶于交换 C*-代数.

注意这个等价的关键原因是 Urysohn 引理保证了紧 Hausdorff 空间上有足够多的 $\mathbb{C}$-值连续函数.

Stone 对偶

Pro-有限集对偶于 Boole 代数.

仿射概形

仿射概形对偶于交换环. 这个事实可以作为仿射概形的定义.

环上的模的张量-同态伴随类比空间上的层的直像-逆像伴随.

淡中对偶

淡中 (Tannaka) 对偶是某种几何对象与其上的某种层范畴的对偶.

相关概念

语法–语义对偶

语法是组织符号的方法, 而语义是符号所指向的东西.

一个重要的观念是: 同一个符号可以指向不同的东西, 只要它们满足同样的规律. 例如代数方程中的未定元 $x$ 可以指代一个代数中不同的元素. 但在基础代数之外的领域, 人们似乎常常忘记这一点. 参见综合数学是抽象代数的范畴化.

常常, 一种数学结构可以表示为一个映射 $$ \text{语法} \to \text{语义}, $$ 其中

• “语法” 是由少量信息表现的一个较为抽象的结构, 通常是一个代数或一个范畴 (见语法范畴), 其中的元素或对象记录了某种语言 (如某种一阶语言);
• “语义” 是某一类较为具体的, 或在实践中自然出现的代数对象;
• 这个函子表达的是一个指定的结构相当于给语法的每个对象赋予一个具体的意义的过程 (如一阶语言的解释); 也称为一个理论的模型.

代数–几何对偶, 与分类空间的联系

若将上述的 “语法” 和 “语义” 视为代数对象, 则从对偶的几何侧来看, 一个数学结构是一个映射 $$ \text{参数空间} \to \text{分类空间}, $$

其中

• 参数空间是某个在实践中自然出现的几何对象;
• 参数空间是语义的对偶;
• 分类空间是语法的对偶;
• 这个映射表达的是一个指定的结构相当于对参数空间的每一个点赋予一个结构的过程.

例

代数方程组的解

多项式方程 $f(x)=0$ 在环 $A$ 中的解可以表示为环同态 $$ \mathbb{Z}[x]/(f) \to A, $$ 其中 $x$ 在 $A$ 中的像即是这个解,

• $\mathbb{Z}[x]/(f)$ 是记录语法的代数对象,
• $A$ 是记录语义的代数对象.

(当然, 本例也可推广到多个变量, 多个方程构成的方程组. 类似地, 微分方程组的解可表示为 D-模的同态.)

在代数–几何对偶之下, 环同态 $\mathbb{Z}[x]/(f) \to A$ 对应仿射概形的映射 $$ \operatorname{Spec} A \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]/(f) = \{x\in \mathbb A^1 \mid f(x) = 0\}. $$ 其中

• $\operatorname{Spec}A$ 是参数空间,
• $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]/(f)$ 是方程的解的分类空间.

交换半群

考虑有限集关于无交并构成的对称幺半范畴 $\mathsf{Fin}^{\sqcup}$, 以及集合关于乘积构成的对称幺半范畴 $\mathsf{Set}^\times$. 那么一个对称幺半函子 $$ \mathsf{Fin}^{\sqcup} \to \mathsf{Set}^\times $$ 等同于一个交换半群. 具体地, 交换半群 $A$ 给出函子 $$ \{1,\cdots,n\} \mapsto A^n,\quad \varnothing\mapsto \{*\}, $$ 其中映射 $\{1,2\} \to \{1\}$ 对应的映射 $A^2\to A$ 正是 $A$ 上的运算; 映射 $\varnothing\to\{1\}$ 对应的映射 $\{*\}\to A$ 正是其单位元.

在本例中, $\mathsf{Set}^\times$ 可以替换为任何对称幺半范畴 $\mathcal D$, 称对称幺半函子 $\mathsf{Fin}^\sqcup \to \mathcal D$ 为 $\mathcal D$ 中的交换代数. 例如交换环 $R$ 上的模关于张量积构成的范畴 $\mathsf{Mod}_R^\otimes$ 中的交换代数就是通常说的交换 $R$-代数. 因此我们借用范畴逻辑学的术语, 称 $\mathsf{Fin}^\sqcup$ 记录了交换代数的语法 (syntax), 而种种具体的交换代数都是这个范畴到其它对称幺半范畴的函子, 称之为语义 (semantics).

一个数学分支研究的对象, 常常不是构成唯一确定的范畴, 而是构成许多个互相关联嵌套的范畴. 如

• 分析学中, 同一个微分方程, 既可以求光滑函数空间中的解, 又可以求 $L^2$ 函数空间中的解, 等等.
• 代数几何中, 几何对象的种类包括代数簇, 概形, 导出概形等等.

但是, 总有些对象是最基本的, 是无论所考虑的范畴大小都必须囊括的. 例如

• 分析学中考虑的所有函数空间都包含一类最基本的函数 — 紧支集光滑函数.
• 代数几何中所有的几何对象的范畴都包含一类基本的几何对象 — 由基本代数对象所给出的 “仿射” 对象.

在许多数学分支存在这样一个反复出现的现象: 用一些基本对象来 “探测”, 就足够描述更大的范畴中的对象; 甚至这样的探测过程常常就作为更大的范畴的定义.

对于一族参数化的结构 (常为相对结构), 形变 (deformation) 是其参数的延拓. 常常人们只关心参数的无穷小延拓, 即无穷小形变.

例

概形的形变

设 $X$ 是光滑 $k$-代数簇, $(Y,y_0)$ 是带基点概形. $X$ 在 $(Y,y_0)$ 上的形变是一个平坦紧合映射 $\mathcal X\to Y$ 与一个同构 $\psi\colon X\to \varphi^{-1}(y_0)$.

一阶无穷小形变是 $(\operatorname{Spec}k[x]/(x^2),(x))$ 之上的形变.

曲线的无穷小形变

曲线 $C$ 的无穷小形变的空间即为模空间的切空间, 由此可计算模空间的维数. 由 Serre 对偶, $$ H^1(C,T_C) \simeq H^0 (C,T^\vee_C\otimes\omega_C)^\vee \simeq H^0(C,\omega_C^{\otimes 2}), $$ 后一个等式是因为 $T_C^\vee=\omega_C$; 又由 Riemann–Roch 定理, $$ \dim H^0 (C,\omega_C^{\otimes 2})- \dim H^1(C,\omega_C^{\otimes 2})=\deg(\omega^{\otimes 2})+g-1=3g-3, $$ 又因为 $H^1(C,\omega_C^{\otimes 2})=0$ (为什么?), 所以曲线模空间的维数为 $$ \dim H^1(C,T_C)=3g-3. $$

到法锥的形变

见法形变.

当交换代数作用于线性空间 (模) 时, 往往可将空间分解为 “特征子空间” 的和, 每个特征子空间对应于一个 “特征值”, 也即谱的点.

例

线性算子的特征子空间分解

设 $k$ 是代数闭域, $T$ 是有限维 $k$-线性空间 $V$ 上的线性算子, 相当于 $V$ 上的 $k[x]$-模结构. 此时有特征子空间的分解 $$ V = \bigoplus_{\lambda} V_\lambda, $$ 其中 $\lambda\in k$ 对应 $\operatorname{Spec}k[x]$ 的点, 即素理想 $(x-\lambda)$; 特征子空间 $V_\lambda$ 可由下式定义: $$ \begin{aligned} V_\lambda &= V\otimes_{k[x]} k[x]_{(x-\lambda)} \\&= \{v\in V\mid\exists n, (x-\lambda)^n v = 0\}. \end{aligned} $$

当然, 类似的精神出现在泛函分析中 (无限维线性空间上) 算子的谱分解.

Lie 群 (Lie 代数) 表示的不可约分解

群 $G$ 在 $\mathbb{C}$-线性空间 $V$ 上的表示相当于 $V$ 的 $\mathbb{C}[G]$-模结构. 虽然 $\mathbb{C}[G]$ 不是交换环, 我们仍然可以取它的中心 $Z(\mathbb{C}[G])$ 并考虑 $V$ 上的 $Z(\mathbb{C}[G])$-模结构, 得到 $V$ 的谱分解. 代数同态 $Z(\mathbb{C}[G]) \to\mathbb{C}$ 等同于所谓 “类函数”, 即 $G$ 的共轭类集合上的函数.

有限群 $G$ 的表示 $V$ 分解为不可约表示的直和: $$ V = \bigoplus_{\rho} V_\rho $$

类似地, Lie 代数 $\mathfrak g$ 的表示依中心特征 $Z(U\mathfrak g)\to\mathbb{C}$ 分解, 也即沿 $\operatorname{Spec}Z(U\mathfrak g)$ 分解. 在范畴 $\mathcal O$ 中, 支撑于闭点 $\chi\in\operatorname{Spec}Z(U\mathfrak g)$ 上的对象构成的子范畴称为块 (block).

Fourier 变换作为谱分解

Fourier 变换可视为 $\mathbb{R}^n$ (或更一般的局部紧 Abel 群 $A$) 上的函数关于平移算子生成的交换 $C^*$-代数 $C^*(A)$ 的谱分解; $C^*(A)$ 的谱正是 $A$ 的 Pontryagin 对偶 $\widehat {A}$: 精神上, $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{CAlg}}(C^*(A),\mathbb{C})\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}}(A,\mathbb{C}). $$

自守函数的 Hecke 作用的谱分解

Vincent Lafforgue 使用某些 Hecke 函子定义了远足代数, 以给出 Langlands 预言的自守函数空间的谱分解.

这一思路在几何 Langlands 纲领中得到延续. 人们发现远足代数等同于某种局部系统模叠上的函数代数. 而提升一个范畴层级后 (见高阶拟凝聚层—但这里实际上只需要提升一阶), 该种局部系统模叠上的拟凝聚层范畴在自守层范畴上的 Hecke 作用可给出自守层沿局部系统模叠的谱分解, 见 AGKRRV.