观念
在集合与 Boole 代数的代数–几何对偶中, 几何对象是集合, 代数对象是 Boole 代数. 超滤单子是这对伴随给出的单子. 集合 $X$ 上的超滤是 $X$ 的某种广义点.
有一个有趣的设定, 集合 $X$ 是一些人的集合, 他们投票支持或反对某事, 每人必须支持或者反对. 定义 “统治集” 的概念, 意思是当一个子集中所有成员一致支持或一致反对时, 结果必然是这些人的选择. 这个概念有如下的性质:
- $X$ 本身是一个统治集;
- 扩充一个统治集只会得到更大的统治集;
- 有限个统治集的交集仍是统治集;
- 两个互补的子集恰有一个是统治集.
(我们没有说这个模型有任何现实意义.)
定义
集合上的超滤
集合 $X$ 上的超滤是 $X$ 的子集的 Boole 环 $2^X$ 到 $2$ 的同态, 也即 $2^X$ 的素理想.
主超滤
对于集合 $X$ 的元素 $x$, 主超滤 $[x]$ 是包含 $x$ 的子集构成的超滤, 也即 $x\colon *\to X$ 决定的 Boole 环同态 $2^X\to 2$.
性质
单子
将集合 $X$ 对应到 $X$ 上全体超滤的集合, 这一过程构成一个单子 $\beta\colon \mathsf{Set}\to\mathsf{Set}$, 称为超滤单子. 它是 $\mathsf{Set}$ 与 $\mathsf{Boole}^{\mathrm{op}}$ 之间的伴随 $2^{(-)}\dashv\operatorname{Spec}$ 给出的单子.
超滤单子的乘法 $\mu\colon \beta\beta\to\beta$ 也可具体写出如下. 设 $X$ 为集合, $F\in\beta\beta X$ 为超滤的超滤. 对于 $A\subset X$ 则 $\mu_X(F)\in\beta X$ 为超滤
$$
\big\{A\subset X\mid \{G\in\beta X\mid A\in G\}\in F\big\}.
$$
另一种看法: 回忆 $\beta X = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Boole}}(2^X,2)$, 则有求值映射 $\mathrm{ev}\colon 2^X\times\beta X \to 2$, 进一步给出 Boole 环同态 $2^X \to 2^{\beta X}$. 用它来预复合同态 $2^{\beta X}\to 2$, 就得到映射 $\beta\beta X\to \beta X$.
这里 $2^X \to 2^{\beta X}$ 就是 $2^X$ 的 Stone 对偶的单位.
命题. 超滤单子上的代数等同于紧 Hausdorff 空间.
有限集的情形
命题. 有限集上的超滤均为主超滤.
用 “统治集” 的设定, 这就是说有限个人的投票方案必有一个 “独裁者”. (反常识的原因在于这里的投票方案要求统治集的有限交仍是统治集, 而这不符合现实.)
相关概念
Stone 对偶