范畴 $\mathcal C$ 上的预层即是其反范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 到 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 的函子.
充实范畴中也有类似概念. $\mathcal V$-充实单对象范畴上的预层, 也可视为 $\mathcal V$ 中的结合代数上的模.
性质
可表函子的余极限
每个预层 $X\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 都是可表函子的余极限:
$$
X = \operatorname{colim}_{\mathbf{y}(c) \to X}\mathbf{y}(c).
$$
预层意象
任何 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 取值的预层范畴都是意象; 见预层意象.
态射的计算
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}(X,Y)
&=
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}(
\operatorname{colim}_{c\to X}\mathbf{y}(c),Y)\\
&=
\operatorname{lim}_{c\to X}
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}
(\mathbf{y}(c),Y)\\
&=
\operatorname{lim}_{c\to X}
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}
(\mathbf{y}(c),
\operatorname{colim}_{d\to Y}\mathbf{y}(d))\\
&=
\operatorname{lim}_{c\to X}
\operatorname{colim}_{d\to Y}
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}
(\mathbf{y}(c),
\mathbf{y}(d))\\
&=
\operatorname{lim}_{c\to X}
\operatorname{colim}_{d\to Y}
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}
(c,d).
\end{aligned}
$$
识别定理
如下定理告诉我们如何识别一个范畴为预层范畴.
定理. 设范畴 $\mathcal D$ 有一个小的全子范畴 $\mathcal C$, 满足
- $\mathcal C$ 的对象 $c$ 在 $\mathcal D$ 中完全紧, 即 $\operatorname{Hom}(c,-)\colon \mathcal D\to\mathsf{Ani}$ 保持任意余极限;
- $\mathcal C$ 的对象在余极限下生成整个 $\mathcal D$;
那么 $\mathcal D$ 等价于 $\mathcal C$ 上的预层范畴. 具体地, 函子 $\mathcal D\to\operatorname{Psh}(\mathcal C)$, $d\mapsto\operatorname{Hom}(-,d)$ 为等价.
例
群作用
群 $G$ 的作用等同于 $\mathbf{B}G$ 上的预层. 因此预层也可视为群作用的推广.