范畴 $\mathcal C$ 上的预层即是其反范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 到 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 的函子.
充实范畴中也有类似概念. $\mathcal V$-充实单对象范畴上的预层, 也可视为 $\mathcal V$ 中的结合代数上的模.
性质
可表函子的余极限
每个预层 $X\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 都是可表函子的余极限:
$$
X = \operatorname{colim}_{\mathbf{y}(c) \to X}\mathbf{y}(c).
$$
预层意象
任何 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 取值的预层范畴都是意象; 见预层意象.
态射的计算
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}(X,Y)
&=
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}(
\operatorname{colim}_{c\to X}\mathbf{y}(c),Y)\\
&=
\operatorname{lim}_{c\to X}
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}
(\mathbf{y}(c),Y)\\
&=
\operatorname{lim}_{c\to X}
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}
(\mathbf{y}(c),
\operatorname{colim}_{d\to Y}\mathbf{y}(d))\\
&=
\operatorname{lim}_{c\to X}
\operatorname{colim}_{d\to Y}
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}
(\mathbf{y}(c),
\mathbf{y}(d))\\
&=
\operatorname{lim}_{c\to X}
\operatorname{colim}_{d\to Y}
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}
(c,d).
\end{aligned}
$$
例
群作用
群 $G$ 的作用等同于 $\mathbf{B}G$ 上的预层. 因此预层也可视为群作用的推广.