观念
预层范畴之间的伴随是范畴论中十分常见的一种现象, 指的是范畴 $\mathcal C$, $\mathcal D$ 之间的函子诱导的预层范畴 $\widehat {\mathcal C} = \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\widehat {\mathcal D} = \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 之间的伴随.
当然, 充实范畴中也有相应的现象.
预层范畴之间的伴随是是 Kan 扩张的特例, 而数学中的许多现象又是它的特例.
陈述
函子 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 诱导预层范畴 $\widehat {\mathcal C} = \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\widehat {\mathcal D} = \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 之间的伴随
$$
f_! \dashv f^* \dashv f_*,
$$
其中
- $f^*\colon \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}) \to \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 是预层的拉回 (函子的复合),
$$
(f^* X)(c) = X(f(c)).
$$
- 拉回的左伴随 $f_!$ 是沿 $f$ 的左 Kan 扩张,
$$
(f_! X)(d) = \operatorname{colim}_{d\to f(c)} X(c).
$$
- 拉回的右伴随 $f_*$ 是沿 $f$ 的右 Kan 扩张,
$$
(f_* X)(d) = \operatorname{lim}_{f(c)\to d} X(c).
$$
注意上述公式中 $d\to f(c)$, $f(c)\to d$ 等为 $\mathcal D$ 中而非 $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ 中的态射. 这导致公式的形式与左 Kan 扩张公式相反.
余端
拉回的左伴随 $f_!$ 的公式也可用余端给出表述与证明. 由余米田引理
$$
X=\int_{c\in\mathcal C} X(c)\otimes \mathbf{y}(c),
$$
以及 $f_!$ 作为左伴随保持余极限, 且 $f_!$ 将可表函子对应到可表函子 (见后文), 得
$$
\begin{aligned}
f_!(X) &=\int_{c\in\mathcal C}X(c)\otimes f_!(\mathbf{y}(c))\\
&=\int_{c\in\mathcal C}X(c)\otimes \mathbf{y}(f(c)).
\end{aligned}
$$
对偶地, $f_*$ 的公式也可用端表述为
$$
f_*(X)(d)=\int^*_{c\in\mathcal C}[\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(f(c),d),X(c)].
$$
代函子
左 Kan 扩张可视为代函子的复合, 右 Kan 扩张可视为代函子的同态集.
若将 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 视为 $\mathcal C$ 到 $\mathcal D$ 的 代函子
$$
\widetilde f\colon \mathcal C\times\mathcal D^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Set},\,
(c,d)\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(d,f(c)),
$$
将 $F\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 视为 $1$ 到 $\mathcal C$ 的代函子, 那么两者的复合为
$F\otimes_{\mathcal C}\widetilde f \colon \mathcal D^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$,
$$
d\mapsto\operatorname{colim}_{c}
F(c)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(d,f(c)).
$$
若将 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 视为 $\mathcal D$ 到 $\mathcal C$ 的代函子
$$
\bar f\colon \mathcal D\times\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set},\,
(d,c)\mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(f(c),d),
$$
将 $F\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 视为 $1$ 到 $\mathcal C$ 的代函子, 那么 $\widetilde f$ 到 $F$ 的同态集为 $1$ 到 $\mathcal D$ 的代函子 $[\bar f,F]\colon \mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$,
$$
d\mapsto \operatorname{lim}_{c}
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Set}}
\big({\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(f(c),d)},F(c)\big).
$$
伴随诱导预层范畴之间的伴随
设 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$, $g\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 是一对伴随, $f\dashv g$.
考虑 $2$-范畴之间的函子 $\mathsf{Psh} = \mathsf{Fun}((-)^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$, 即
$$
\mathfrak{Cat}^{(1,2)\text{-op}}\overset{(-)^{\mathrm{op}}}{\longrightarrow}\mathfrak{Cat}^{\mathrm{op}}\xrightarrow{\mathsf{Fun}(-,\mathsf{Set})}\mathfrak{Cat},
$$
它保持伴随 (道理参见游走的伴随); 综上我们有 $f^*\colon \widehat {\mathcal D} \to \widehat {\mathcal C}$, $g^*\colon \widehat {\mathcal C} \to \widehat {\mathcal D}$ 也是一对伴随, $f^* \dashv g^*$.
换言之,
$$
f^* = g_!,\quad f_* = g^*.
$$
这两个等价也可使用 $g_!$, $f_*$ 的具体表达式验证:
$$
\begin{aligned}
(g_! X) (c) &= \operatorname{colim}_{c\to g(d)} X(d) \\
&= \operatorname{colim}_{f(c)\to d} X(d)\\
&= X(f(c)) = (f^*X) (c),
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
(f_* X) (d) &= \operatorname{lim}_{f(c)\to d} X(c) \\
&= \operatorname{lim}_{c\to g(d)} X(c)\\
&= X(g(d)) = (g^*X) (d).
\end{aligned}
$$
总结起来, 对于伴随 $f\dashv g$, 有预层范畴之间的四元伴随
$$
f_! \dashv (f^*=g_!) \dashv (f_*=g^*) \dashv g_*.
$$
性质
对可表函子的作用
预层拉回的左伴随 $f_!$ 将可表函子映射到可表函子. 具体地, 设函子 $f\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 诱导预层范畴 $\widehat {\mathcal C} = \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathsf{Set}),\widehat {\mathcal D} = \mathsf{Fun}(\mathcal D^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 之间的伴随
$$
f_! \dashv f^* \dashv f_*,
$$
则对于 $c\in \mathcal C$, 有
$$
f_! \mathbf{y}(c) = \mathbf{y}(f(c)).
$$
道理很简单:
$$
\operatorname{Hom}_{\widehat {\mathcal D}}(f_!\mathbf{y}(c),X) = \operatorname{Hom}_{\widehat {\mathcal C}}(\mathbf{y}(c),f^*X) = X(f(c)).
$$
先推再拉
当 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 为全忠实函子, 即全子范畴的嵌入时,
$$
\begin{aligned}
f^*f_! X (c) &=
f_! X(f(c))\\
&=
\operatorname{colim}_{f(c) \to f(c')} X(c')\\
&=
\operatorname{colim}_{c \to c'} X(c') = X(c),
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
f^*f_* X (c) &=
f_* X(f(c))\\
&=
\operatorname{lim}_{f(c') \to f(c)} X(c')\\
&=
\operatorname{lim}_{c' \to c} X(c') = X(c),
\end{aligned}
$$
即两个自然映射 $f^*f_*\to X \to f^*f_! X$ 均为同构.
例