加权余极限 [加权余极限]

定义

设 $\mathcal V$ 为完备, 余完备闭对称幺半范畴, $I,\mathcal C$ 为 $\mathcal V$-充实范畴.

给定 $\mathcal V$-充实的图 $X\colon I\to\mathcal C$ 与权 (weight) $W\colon I^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$, 加权余极限 $\operatorname{colim}^W X$ (又记作 $W\otimes_I X$) 满足如下泛性质: $$ \begin{aligned} &\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\operatorname{colim}^W X,c)\\ \simeq\, &\operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}_{\mathcal V}(I^{\mathrm{op}},\mathcal V)}(W,\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X(-),c)). \end{aligned} $$

换言之, $\operatorname{colim}^W$ 是脉函子 $$ \mathcal C\to \mathsf{Fun}_{\mathcal V}(I^{\mathrm{op}},\mathcal V), c\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X(-),c) $$ 的左伴随, 也可以理解为权 $W$ 作为 $I$ 上预层的几何实现 (米田扩张).

性质

与余端的关系

当 $\mathcal C$ 中对象沿 $\mathcal V$ 中对象的张量积存在时, 加权余极限等于余端 $$ \operatorname{colim}^W X = \int_{i\in I} W_i \otimes X_i. $$

证明. $$ \begin{aligned} &\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(\operatorname{colim}^W X,c)\\ &\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}_{\mathcal V}(I^{\mathrm{op}},\mathcal V)}(W,\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X(-),c))\\ &\simeq\int^*_{i\in I}\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(W_i,\operatorname{Hom}_{\mathcal C} (X_i,c))\\ &\simeq\int^*_{i\in I}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(W_i\otimes X_i,c)\\ &\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal C}\Big( \int_{i\in I}W_i\otimes X_i,c\Big). \end{aligned} $$

对权的余连续性

由定义, 加权余极限保持权 $W$ 的余极限, 即当 $W = \operatorname{colim}_j W_j$ 时, $$ \operatorname{colim}^W X = \operatorname{colim}_j\operatorname{colim}^{W_j}X. $$

沿元素范畴的余极限

命题. 当 $\mathcal V = \mathsf{Ani}$ 时, 加权余极限等于沿权函子 $W$ 的元素范畴 $\mathsf{Elts}(W)$ 的余极限: $$ \operatorname{colim}^W X = \operatorname{colim}(\mathsf{Elts}(W)^{\mathrm{op}}\to I\overset{X}{\to}\mathcal C). $$

证明. 先对 $W$ 为可表函子 $W=\mathbf{y}(i)$ 的情形验证: $$ \operatorname{colim}^{\mathbf{y}(i)}X=X(i)=\operatorname{colim}(\mathsf{Elts}(\mathbf{y}(i))\to\mathcal C), $$ 第二个等号是因为 $\mathsf{Elts}(\mathbf{y}(i))$ 有终对象 $(i,\mathrm{id}_i)$.

对于一般的 $W$, 注意到 $W$ 是可表函子沿 $\mathsf{Elts}(W)$ 的余极限, 参见预层. 由 $\operatorname{colim}^W X$ 关于 $W$ 的余连续性, $$ \begin{aligned} \operatorname{colim}^W X &=\operatorname{colim} _{(i,w)\in\mathsf{Elts}(W)}\operatorname{colim}^{\mathbf{y}(i)}X\\ &=\operatorname{colim}(\mathsf{Elts}(W)^{\mathrm{op}}\to I\overset{X}{\to}\mathcal C). \end{aligned} $$