定义
范畴 $\mathcal C$ 的扭箭头范畴 (twisted arrow category) $\mathsf{TwArr}(\mathcal C)$ 是其 Hom 函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,-)\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathsf{Ani}$ 的元素范畴.
具体地, $\mathsf{TwArr}(\mathcal C)$ 的对象为箭头 $f\colon X\to Y$, 态射为如下交换图.
$$
\begin{array}{ccc}
X_1 & \overset{f}{\rightarrow} & Y_1 \\
\uparrow & & \downarrow \\
X_2 & \underset{g}{\rightarrow} & Y_2
\end{array}
$$
注意文献中这个概念有时会相差一个反范畴.
性质
自然变换
对于两个函子 $F_1,F_2,\mathcal C\to\mathcal D$, 自然变换的集合可表现为沿扭箭头范畴的极限:
$$
\begin{aligned}
&\operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)}(F_1,F_2)\\
\simeq\operatorname{lim}_{(X\to Y)\in\mathsf{TwArr}(\mathcal C)}&\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F_1(X),F_2(Y)).
\end{aligned}
$$
